Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna

Transkript

1 TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar: Marna Araklyan, Ing Jovk och Armn Hallovc Examnator: Armn Hallovc Btygsgränsr: Maxpoäng För btyg A, B, C, D, E, Fx krävs, 9, 6,, rspktv 9 poäng. Hjälpmdl på tntamn TEN: Utdlad formlblad. Mnräknar j tllåtn. Komplttrng: 9 poäng på tntamn gr rätt tll komplttrng (btyg Fx) Skrv ndast på n sda av papprt. Skrv namn och prsonnummr på varj blad. Inlämnad uppgftr skall markras md kryss på omslagt Dnna tntamnslapp får j bhållas utan lämnas n tllsammans md lösnngar. Fullständga lösnngar skall prsntras tll alla uppgftr Uppgft. (p) (Studnt som är godkänd på KS hoppar övr uppgft.) a) Gvt vktorrna aa (,, ), bb (,, ) ooooh cc (,, ). Bstäm n nhtsvktor parallll md vktorn aa bb cc. b) Bstäm volymn av parallllppdn som spänns upp av vktorrna (,, ), (,, ) ooooh (,, ). Uppgft. (p) För vlka α och β är vktor a (,, α) vnklrät mot vktor b (, β,) om b? Uppgft. (p) Bräkna arbtt som uträttas av kraftn F (,, ) då tt objkt förflyttas rätlnjg från punktn P tll Q om P (,, ) och Q (,, ). (Enhtr: N, m och J.) Uppgft. (p) Bstäm avståndt mllan följand paralllla plan x y 5 och x y. Var god vänd.

2 Uppgft 5. (p) a) Bstäm dtrmnantn för matrsn A. 5 6 cos vv ssssssss b) Bstäm nvrsn tll matrsn B ssssssss cccccccc. Uppgft 6. (p) a) (p) Om arg( ) vad är då arg( )? b) (p) Gvt att och bstäm ( ). Uppgft 7. (p) Ekvatonn 5 har n lösnng. Bstäm alla lösnngar tll kvatonn. Uppgft 8. (p) a) (p) För vlka värdn på aa har följand kvatonssystm md avsnd på x, y och unka lösnngar (alltså xakt n lösnng)? x y ax y ay b) (p) Lös kvatonssystmt för a. Uppgft 9. (p) Bstäm strömmarna, och ndanstånd nät då R ohm, R ohm, R ohm, V volt och V 9 volt. R V A R B R V Lycka tll.

3 FACIT: Uppgft. (p) (Studnt som är godkänd på KS hoppar övr uppgft.) a) Gvt vktorrna aa (,, ), bb (,, ) ooooh cc (,, ). Bstäm n nhtsvktor parallll md vktorn aa bb cc. b) Bstäm volymn av parallllppdn som spänns upp av vktorrna Lösnng: (,, ), (,, ) ooooh (,, ). a) Bstäm vktorn vv aa bb cc. (6,, 8) (,, ) (,, ) (6, 6, ) Enhtsvktorn vv vv (6,6, ) (6,6, ) (,, ) vv Volymn (6 ) ( ) ( 9) 5v.. Svar: a) (,, ) b) 5 v.. Rättnngsmall: a) korrkt mtod md mndr räknflp b) korrkt mtod md mndr räknflp Uppgft. (p) För vlka α och β är vktor a (,, α) vnklrät mot vktor b (, β,) om b? Lösnng: Eftrsom a b då gällr att skalärproduktn a b Samtdgt kan skalärproduktn bräknas som a b (,, α ) (, β,) 6 β α Alltså, 6 β α () Eftrsom b då gällr att β β b 5 Alltså, 5 β ()

4 Lösnng av () gr att β ± Om β då ( ) α Om β då ( ) α 8 Svar: fall för α och β fall för α 8 och β Rättnngsmall: a) Korrkt n av kvatonr 6 β α llr 5 β gr p. Båda kvatonr korrkta gr p. Allt korrktp. Uppgft. (p) Bräkna arbtt som uträttas av kraftn F (,, ) då tt objkt förflyttas rätlnjg från punktn P tll Q om P (,, ) och Q (,, ). (Enhtr: N, m och J.) Lösnng: Arbtt W F PQ, där PQ (,,) W (,,) (,,) 9 J Svar: 9 (J) Rättnngsmall: Rätt llr fl. Uppgft. (p) Bstäm avståndt mllan följand paralllla plan x y 5 och x y. Lösnng: D två gvna plann är paralllla ftrsom d har paralllla normalvktorr, (faktsk samma normalvktor (,,) ). V väljr n (vlkt som hlst) punkt plant x y 5, t x punktn A(,,) och bräknar avståndt från A tll dt andra plant. Ax d By C D A B C Svar: Avståndt Rättnngsmall: Korrkt mtod md räknflp. Allt korrktp.

5 Uppgft 5. (p) a) Bstäm dtrmnantn för matrsn A. 5 6 cos vv ssssssss b) Bstäm nvrsn tll matrsn B ssssssss cccccccc. Lösnng: a) dt(a) (8 ) ( 6) ( ) 5 6 b) AA cccccc xxssssss xx cccccccc ssssssss cccccccc ssssssss ssssssss cccccccc ssssssss cccccccc Rättnngsmall: a) rätt llr fl b) rätt llr fl Uppgft 6. (p) a) (p) Om arg( ) vad är då arg( )? b) (p) Gvt att och bstäm ( ). Lösnng: a) 5 arg( ) arg( ) arg( ). 6 b) Mtod : ( 6 9 ( ) ( ) ) ( ) ( ) Mtod : (cos sn )(cos sn ) ( ) 6 6 ( )( ) ( ) ( ) 5 Svar: a) 6 b) 9 (llr 6 6 ( ) ( ) ).

6 Rättnngsmall: a) rätt llr fl b) Korrkt mtod md mndr räknflp. Allt korrktp Uppgft 7. (p) Ekvatonn 5 har n lösnng. Bstäm alla lösnngar tll kvatonn. Lösnng: Eftrsom kvatonn har rlla koffcntr och n lösnng så är också n lösnng. V dlar polynomt 5 md produktn ( )( ) ( )( ) ( ) 5. Polynomdvsonn gr ( 5 ( 5 ( ) /( ) ( 5) ) 5) V har kvar kvatonn som gör 7 och 7 Svar:,, 7 och 7 Rättnngsmall: Korrkt produkt )( ) 5 gr p. ( Korrkt polynomdvson och kvotn gr totalt p. Allt korrktp. Uppgft 8. (p) a) (p) För vlka värdn på aa har följand kvatonssystm md avsnd på x, y och unka lösnngar (alltså xakt n lösnng)?

7 x y ax y ay b) (p) Lös kvatonssystmt för a. Lösnng: dt(aa) aa( aa) (8 aa) aa aa 8 dt(aa) aa aa 8 aa, ± Svar: Ekvatonssystmt har unka lösnngar för alla aa ± V lösr kvatonssystmt för a. Rad gr då drkt att Rad gr yy 5 och rad gr slutlgn xx 8 Svar: Md valt av aa fås lösnngn xx 5, yy 8 Rättnngsmall: a) Korrkt dtrmnant gr p. Allt korrktp b) rätt llr fl. ooooh Uppgft 9. (p) Bstäm strömmarna, och ndanstånd nät då R ohm, R ohm, R ohm, V volt och V 9 volt. R V A R B R V Lösnng:

8 Från nätt får v följand kvatonr: R R V R R V llr 9 9 Lösnngn tll systmt är 5 (ampr). Svar: 5 (ampr). Rättnngsmall: a) Korrkt uppställnng av kvatonssystm gr p. Korrkt mtod och n av strömmarnap Allt korrktp.