Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

Transkript

1 Tntamn i Matmatik HF9 H9 juni 9 Tid: Lärar:Armin Halilovic Hjälpmdl: Formlblad Inga andra hjälpmdl utövr utdlat formlblad Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgiftr Btygsgränsr: För btyg A, B,, D, E krävs, 9,, rspktiv 9 poäng Gamlakursr: För btyg,, krävs, rspktiv 9 poäng Komplttring: poäng på tntamn gr rätt till komplttring btyg F Vm som har rätt till komplttring framgår av btygt F på MINA SIDOR Komplttring skr c:a två vckor ftr att tntamn är rättad Om komplttring är godkänd rapportras btyg E, annars rapportras F Börja varj ny uppgift på tt nytt blad, ta gör att rättningn blir säkrar Skriv ndast på n sida av papprt Skriv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgiftr skall markras md kryss på omslagt Dnna tntamnslapp får j bhållas ftr tntamnstillfällt utan lämnas in tillsammans md läsningar Uppgift r r r r a För vilka värdn på k är vktorrna a kb och b c vinklräta p då a r,,, b r,, och c r,,? b Bräkna aran av triangln AB då p A,,, B,, och,, c Bstäm vktorprojktion av vktorn a r,, p på linjn md riktningsvktor b r,, Uppgift a Lös matriskvationn md avsnd på X p XA B då A, B och b Lös följand kvation md avsnd på komplt tal z p z z

2 Uppgift Bräkna följand intgralr: a d p b cos d c d p Uppgift För vilka värdn på paramtrn a har systmt md avsnd på, y och z y z y z y az a akt n lösning p b ingn lösning p c oändligt många lösningar p? p Uppgift Bstäm vntulla snda asymptotr till funktionn Uppgift Lös matriskvationn AYB md avsnd på Y då A [ ] och B [ ] Uppgift 7 Bräkna gränsvär 7 t lim sin π y p p p Uppgift En ljusstrål går gnom punktn P,, och har riktningn p v r,, Stråln rflktras mot plant Π : y z Bstäm kvationr på paramtrform för dn rflktrad stråln P n r rflktrad strål Π Uppgift 9 Bstäm största vär av funktionn f arcsin 9 på intrvallt / / p Lycka till!

3 FAIT Uppgift r r r r a För vilka värdn på k är vktorrna a kb och b c vinklräta p då a r,,, b r,, och c r,,? b Bräkna aran av triangln AB då p A,,, B,, och,, c Bstäm vktorprojktion av vktorn a r,, på linjn md riktningsvktor b r,, a r r r r a kb o b c, k, k o,, k k Svar a k p baran av triangln AB är lika md AB A Eftrsom r r r i j k AB r r r A i j k, får vi : Aran AB A aranhtr Svar b aranhtr c Vktorprojktion av a r,, på b r,, är lika md r r a o b r r r b,, b o b 9 Svar c,, 9

4 Uppgift a Lös matriskvationn md avsnd på X p XA B då A, B och b Lös följand kvation md avsnd på komplt tal z p z z a Matrisn A är invrtrbar ftrsom Invrs matris: A A XA B XA B Vi multiplicrar kvationn från högr md A - och får XA A - B A - X B A - X Svar a X b z z z z z z 9 z ± 9 z ± i z ± i z i z i Svar b z i, z i 9 Uppgift Bräkna följand intgralr: a d p b cos d c d a p

5 d d dla i part bråk d ln ln Svar a ln ln b d cos substitution d d t sin sin cos t t Svar b sin c d Partialintgration g f g f d Svar c Uppgift För vilka värdn på paramtrn a har systmt md avsnd på, y och z az y z y z y a akt n lösning p b ingn lösning p c oändligt många lösningar p? Kofficintmatrisn a A gr a A DtA för alla värdn på paramtrn a mdför att fallt akt n lösning INTE kan förkomma

6 Vi användr Gausslimination och får y z y z y z y z z z / y az a 9 z a 9 z y z y z z / z / a 9 a Alltså är systmt saknar lösning om a Oändligt många lösningar om a Två ldand variablr och z, mn y varirar fritt Svar: a Fallt Eakt n lösning förkommr INTE b Ingn lösning om a c Oändligt många lösningar om a Uppgift Bstäm vntulla snda asymptotr till funktionn y p Polynomdivision llr nkl omskrivning av täljar i här fallt gr y Svar: Funktionn har n snd asymptot y Uppgift Lös matriskvationn AYB md avsnd på Y då A [ ] och B [ ] Matrisn A är int kvadratisk och därför A saknar invrsmatris!!! Eftrsom typ A, typ B, vi sr att för matrisn Y måst gälla typy Därför gör vi ansats a b Y c d som vi substiturar i kvationn AYB a b [ ] [ ] c d kv: a c kv : b d Härav a c, och b d där c och d är goyckliga tal p

7 Lösningar är alla matrisr Y som kan skrivas på följand sätt c d Y c d där c och d kan väljas fritt Svar: Y c c d d, c och d varirar fritt Uppgift 7 Bräkna gränsvär 7 t lim sin π 7 t " " lim sin π lim Svar: 7 t sin π π lim d d, och vi kan använda l Hospitals rgl: 7 t 7 7 lim d π cos π π cos π sin π d p π π Uppgift En ljusstrål går gnom punktn P,, och har riktningn p v r,, Stråln rflktras mot plant Π : y z Bstäm kvationr på paramtrform för dn rflktrad stråln P n r Q R M P B Linjn L gnom punktn P har kvationn:, y, z t, t, t Skärningspunktn B mllan linjn L och plant Π : y z fås ur t t t t B,,

8 Nu bstämmr vi projktionn Q av punktn P på normallinjn gnom B s bildn Eftrsom BP -,-, och n r,, har vi r BPo n r BQ proj r n BP r r n,,,, n o n Från B,, BQ,, har vi Q,, Låt punktn R vara spglbild av punktn P i normallinj gnom B Då gällr PR PQ,,,, Eftrsom P,, och PR,, har vi R,,- Dn rflktrand stråln går gnom B och R och därför har riktningsvktorn BR,, Ekvationn för linjn L:, y, z t, t, t llr t, y t, z t Svar: t, y t, z t Uppgift 9 Bstäm största vär av funktionn f arcsin 9 på intrvallt / / Ändpunktr: π f / arcsin π / arcsin π f Stationära punktr f punktn liggr i intrvallt / / Eftrsom > då / < < / f är då / < då / < < / har funktionn maimum i punktn / Största vär är π f / arcsin/ / Svar: f ma π p