Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik
|
|
- Helena Jonsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn att spinnn är paralllla rspktiv anti-paralllla? Rita n graf för dssa sannolikhtr som funktion av /k. räkna och visualisra ävn systmts mdlnrgi. id vilkn tmpratur, givn i nhtn /k, blir dt mr sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt? [ntamn F ] Problm För att studra gnskapr hos frromagntiska (llr antifrromagntiska) systm kan man använda Isingmodlln, som i frånvaro av yttr fält bskrivs av hamiltonopratorn ˆ J H i j < ij> där i (i,,., N) är spinn som kan anta värdna ±. Spinnn antas vara lokalisrad på tt gittr. Dubblsumman övr i och j går bara övr närmast grannar i gittrt, och faktorn ½ sr till att parn int dubblräknas. Konstantn J är n paramtr som angr styrkan hos växlvrkan mllan spinnn. i skall här anta att J är positiv, d.v.s. att växlvrkan är frromagntisk. rots att modlln sr nkl ut är dn i allmänht svår llr omöjlig att bhandla md analytiska mtodr. Man är därför hänvisad till att använda numriska mtodr llr förnkland approximationr. En sådan förnkling är mdlfältsapproximationn ( man fild thory ). Dn innbär i huvudsak att alla spinnn antas röra sig i tt gmnsamt mdlfält, orsakat av växlvrkan md omgivand spinn. Dn cntrala storhtn i mdlfältsapproximationn är mdlspinnt, som är noll om systmt är omagntisrat och skilt från noll om systmt är magntisrat. Man kommr fram till mdlfältsapproximationn gnom att göra omformningn ( i ) ( j ) ( i )( j ) + + i j i j + och sdan försumma dn sista trmn. Dn fysikaliska innbördn av dtta är att man försummar korrlationr mllan spinnn. Hamiltonopratorn kan då skrivas N ˆ H zj i i där z är antalt närmast grannar kring varj gittrpunkt. (a) stäm Hlmholtz fria nrgi i mdlfältsapproximationn som funktion av mdlspinnt och tmpraturn. (b) Sök minimum av Hlmholtz fria nrgi som funktion av och visa därignom att magntisringn blir noll om tmpraturn är högr än n viss kritisk tmpratur ( curitmpraturn ) mn skild från noll om tmpraturn är lägr än. (c) Mätningar på frromagntr har visat att tmpraturbrondt hos i närhtn av curitmpraturn följr formln a β där a är n konstant och där dn så kallad kritiska xponntn β har dt ungfärliga värdt 0, (i trdimnsionlla systm). ilkt värd på β finnr man i mdlfältsapproximationn? (d) Skissra systmts ntropi S, nrgi E och värmkapacitt som funktionr av. Studra spcillt gränsfalln 0 och samt områdt nära.
2 Lösning till problm i förutsättr att spinnn har längdn och bara kan pka upp llr nr. Produktn s s bara kan då bara anta värdna + (paralllla spinn) och - (antiparalllla spinn). i får fyra möjliga tillstånd som vi symboliskt kan btckna md,, och. oltzmannfaktorrrn för dssa tillstånd blir följand / k / k / k illståndssumman (partitionsfunktionn) är alltså Z + k / k / k 4cosh Sannolikhtrna för d fyra olika tillståndn är följand P / k P + + / k / k / k P / k P + + / k / k / k Sannolikhtrna för paralllla rspktiv antiparalllla spinn är Ppar P + P + Pant P + P + / k / k Dssa funktionr illustrras i ndanstånd diagram. / k 0.8 P par P ant k/ id höga tmpraturr blir alla tillstånd lika sannolika. I lågtmpraturgränsn går sannolikhtn för d antiparalllla tillståndn mot noll. id låga tmpraturr är P alltså störr än P +P, d.v.s. dt är sannolikar att båda spinnn pkar upp än att bara tt gör dt. id höga tmpraturr gällr dt motsatta. Dtta illustrras i ndanstånd diagram P P +P k/
3 Dn tmpratur då dssa båda sannolikhtr är lika stora kan bräknas ur kvationn P P +P. Md lit ftrtank insr man att när dtta inträffar måst dt gälla att P +P / och P P /. Härur fås vilkt gr + / k Mdlnrgin är,89 k ln k E + / k / k + tanh / k / k k Dss tmpraturbrond illustrras i ndanstånd diagram. E/ -0. k/ Enrgin är vid 0 och går mot noll vid höga tmpraturr. Svar illståndssumman är Z 4cosh. Sannolikhtn för paralllla spinn är k P par / + k och sannolikhtn för antparalllla spinn är P ant / + k. Mdlnrgin är E tanh k. id tmpraturr lägr än,89 blir dt mr k sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt. Lösningsskiss till problm (int hlt kompltt) (a) Hamiltonopratorn bskrivr tt systm av N fria spinn som vardra har två möjliga nrgir E zj ± zj illståndssumman för tt spinn är alltså Z ( ) zj zj zj, xp xp + xp k k k zj zj xp cosh k k Eftrsom dt int finns några korrlationr mllan spinnn kan tillståndssumman för hla systmt skrivas
4 N N zj zj Z (, ) Z (, ) xp cosh k k Hlmholtz fria nrgi blir alltså zj F (, ) k ln Z NzJ Nk lncosh k (b) i sökr minimum av F gnom att drivra md avsnd på och sätta drivatan lika md noll zj tanh 0 k Dnna kvation har uppnbarlign alltid lösningn 0. En nkl grafisk konstruktion visar att dtta är dn nda lösningn om zj/k. Om därmot < zj/k finns dt yttrligar två lösningar, n positiv och n ngativ, svarand mot att systmt har tt magntiskt momnt uppåt llr ndåt. Man kollar lätt (t.x. gnom att studra andradrivatan) att dssa två lösningar svarar mot minima i F. Systmt är alltså frromagntiskt md zj/k (c) Ekvationn för kan skrivas om på formn tanh 0 I närhtn av curitmpraturn är magntisringn litn. i kan därför approximra tanh-funktionn md d två första trmrna i n taylorutvckling vilkt gr tanh x x x + 0 Om > finns bara n rll lösning, 0. Om > har vi också d två lösningarna ± / ( ) / vilkt visar att β 0,5. Som syns stämmr dt int md dt xprimntlla värdt, som är 0, i tr dimnsionr och omkring 0, i två dimnsionr. Dt är n allmän gnskap hos mdlfältsapproximationr att d gr n flaktig bskrivning av fnomn i närhtn av kritiska punktr, ftrsom lokala korrlationr där blir myckt väsntliga. Längr bort från dn kritiska punktn kan mdlfältsapproximationn därmot g n ganska god bskrivning av vrklightn. I n dimnsion gr Isingmodlln int alls någon fasomvandling, om man lösr dn xakt. I fyra dimnsionr stämmr därmot dn xakta lösningn övrns md mdlfältsapproximationn i fråga om d kritiska xponntrna. Mdlfältsapproximationn blir bättr och bättr ju högr dimnsionstalt är. Motsvarand gällr för gasrs uppförand i närhtn av dn kritiska punktn och om många andra fasomvandlingar. Kritiska fnomn är tt intrssant områd inom dn statistiska fysikn, mn dt liggr utanför dnna kurs. (d) Hlmholtz fria nrgi kan skrivas om på formn
5 F ( ) Nk Nk ln cosh där bror av tmpraturn nligt formlrna ovan. Entropi, nrgi och värmkapacitt kan bstämmas ur formlrna F S( ) E( ) F( ) + S( ) E ( ) Dn fullständiga uttryckn blir komplicrad, mn i d olika gränsfalln blir dt ganska nklt.. Om > gällr att 0. Dt gr F S E( ) 0 Nk ln Nk ( ) 0 ln vilkt vi kund sagt utan att räkna alls.. I gränsn 0 gällr att llr -. Då finnr vi att F S E ( ) 0 Nk Nk 0 Ävn dssa rsultat är lätta att förstå. Man kan naturligtvis gnom sriutvckling undrsöka prcis hur S och går mot noll, mn dt avstår vi från. Dt lämnas som övning för dn intrssrad.. Studium av uppförandt i närhtn av är svårar. i hantrar dt gnom att göra n sriutvckling av F i potnsr av. ill kvadratisk ordning finnr vi att Dtta gr där F ( ) Nk Nk ln Nk ln + Nk Nk Nk Nk ln Nk ( ) ln d S ( ) Nk ln Nk + Nk ( ) d E( ) Nk + Nk d d
6 vilkt ldr till d 6 9 d Nk S Nk ln ( ) E( ) Nk Nk Mdlfältsapproximationn gr alltså att värmkapacittn har n diskontinuitt vid curitmpraturn, mn xprimntllt finnr man att värmkapacittn divrgrar som ( - ), där är n xponnt av storlksordningn 0,. Åtrign visar dt sig att mdlfältsapproximationn int gr n korrkt bskrivning av kritiska fnomn.
Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:
Förläsning 1 Eftr lit information och n snabbgnomgång av hla kursn börjad vi md n väldigt kort rptition av några grundbgrpp inom llära. Vi pratad om Ohms lag, och samband mllan ström, spänning och rsistans
Läs merKontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matmatik HF9 Datum: 5 aug 7 Vrsion A Kontrollskrivningn gr maimalt p För godkänd kontrollskrivning krävs p Till samtliga uppgiftr krävs fullständiga lösningar! Inga
Läs merTNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.
TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
Läs merKontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
Läs merarctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar
DERIVERINGSREGLER och några gomtriska tillämpningar DERIVERINGSREGLER ( f ( ) + g( )) ) + g ( ) ( af ( )) a ) a konstant ( af ( ) + bg( )) a ) + bg ( ) a b konstantr Produktrgln: ( f ( ) g( )) ) g( ) +
Läs mer1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
Läs merHittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär diffrntialkvation (DE) av första ordningn är n DE som kan skrivas på följand form Q( () Formn kallas standard form llr normalisrad form Om Q (
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 05-06- Hjälpmdl: Formlblad och räkndosa. Fullständiga lösningar rfordras till samtliga uppgiftr. Lösningarna skall vara väl motivrad och så utförliga
Läs merOm i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning REDUKTION AV ORDNING I) Diffrntialkvationr där saknas ( n) Om i n diffrntialkvation saknas, dvs om DE har formn F (,,,, ) 0, då kan vi sänka kvationns
Läs merRäkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar
Räknövningar populationsstruktur, inavl, ffktiv populationsstorlk, pdigr-analys - md svar : Ndanstånd alllfrkvnsdata rhölls från tt stickprov. Bräkna gnomsnittlig förväntad htrozygositt. Locus A B C D
Läs merTEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?
TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk
Läs merAnmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om
L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr
Läs mer2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: 6 januari 03 Skrivtid:
Läs merUndervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic
Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt
Läs merUmeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e
Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said
Kurs: HF9 Matmatik, Momnt TEN (Anals) atum: augusti 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said För godkänt btg krävs av ma 4 poäng. Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs,
Läs merspänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:
Läs mer24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.
Kurs: HF93 Matmatik, Momnt TEN (Analys) Datum: 9 januari 5 Skrivtid 3:5 7:5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said, Jonas Stnholm, Håkan Strömbrg För godkänt btyg krävs av ma poäng. Btygsgränsr:
Läs merNÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2
Likformig, Eponntial-, Normalfördlning NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Fördlning Rktangl (uniform, likformig) Eponntial Frkvnsfunk. f (), a b b a 0 för övrigt Fördlningsfunk. F () a,
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
Läs merre (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
Läs merTentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2
Tntamn TMV20 Inldand Diskrt Matmatik, D/DI2 207-2-20 kl. 08.30 2.30 Examinator: Ptr Hgarty, Matmatiska vtnskapr, Chalmrs Tlfonvakt: Ivar Simonsson (alt. Ptr Hgarty), tlfon: 037725325 (alt. 0705705475)
Läs merLektionsuppgifter i regressionsanalys
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN Lktionsuppgiftr i rgrssionsanalys A A ENKEL LINJÄR REGRESSION Från n undrsökning av vilka faktorr som påvrkar prist på villor i n sydsvnsk ort insamlads n dl
Läs merHOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Linjär diffrntialkvation (DE) md konstanta koffiintr är n kvation av följand
Läs merSlumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen
Jacob Edlund VMK/VMU 2009-03-10 Slumpjustrat nyckltal för noggrannht vid timmrklassningn Bakgrund När systmt för dn stockvisa klassningn av sågtimmr ändrads från VMR 1-99 till VMR 1-07 år 2008 ändrads
Läs merVid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.
UPPSALA UNIVERSITET Nationalkonomiska institutionn Vid tntamn måst varj studnt lgitimra sig (fotolgitimation). Om så int skr kommr skrivningn int att rättas. TENTAMEN B/MAKROTEORI, 7,5 POÄNG, 7 FEBRUARI
Läs merKONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn
Läs merANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV
Karl-Magnus Spiik Ky Tst / 1 ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV Bifogat finnr du situationr där man btr sig på olika sätt. Gnom att svara på dssa frågor får du n bild av ditt gt btnd (= din människotyp).
Läs merEkosteg. En simulering om energi och klimat
Ekostg En simulring om nrgi och klimat E K O S T E G n s i m u l r i n g o m n rg i o c h k l i m a t 2 / 7 Dsign Maurits Vallntin Johansson Pr Wttrstrand Txtr och matrial Maurits Vallntin Johansson Alxandr
Läs merdär a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t
REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:
Tntamn i Matmatik HF9 H9 juni 9 Tid: Lärar:Armin Halilovic Hjälpmdl: Formlblad Inga andra hjälpmdl utövr utdlat formlblad Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgiftr Btygsgränsr: För btyg A,
Läs mer4.1 Förskjutning Töjning
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 4. Förskjutning öjning a) ε ε. Sökt: Visa att töjningn i lmntt är ( ) ösning: I hållfn fick man lära
Läs merTryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
Läs merRevisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll
Rvisionsrapport 7/2010 Åstorps kommun Granskning av intrn kontroll Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Läs merFöreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening
Förläsning 5 och 6 Kraftr; stark, lktromagntisk, svag. Kraftförning Partiklfysik introduktion Antimatria, MP 13-1 Fynman diagram Kraftr och växlvrkan, MP 13-2 S ävn http://particladvntur.org/ 1 2 3 Mot
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!
Institutionn för Mkanik S4-945 ntamn i S4 Mkanik II 945 Inga hjälpmdl förutom: pappr pnna linjal passar. Lcka till! ) A r l 45 o B Problm Radin A md längdn r på tt svänghjul som rotrar md n konstant vinklhastight
Läs merS E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com
AVM 960 AVM 961 AVM 971 S D K N O F I.hirlpool.com 1 S INNAN APPARATN MONTRAS INSTALLATION KONTROLLRA ATT ugnsutrymmt är tomt för installationn. KONTROLLRA att apparatn int är skadad innan dn montras i
Läs merUppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar:
Läs merATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
ATLAS-xprimntt på CERN (wb-kamra idag på morgonn) 5A1247, modrn fysik, VT2007, KTH Laborationr: 3 laborationr: AM36: Atomkärnan. Handlar om radioaktivitt, absorbtion av gamma och btastrålning samt mätning
Läs mer247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun
PROTOKOLLSUTDRAG Sammanträdsdatum 2015-11-10 1 (1) KOMMUNSTYRELSEN Dnr KSF 2015/333 247 Hmsjukvårdsinsats för bond i annan kommun Bslut Kommunstyrlsn förslår kommunfullmäktig bsluta: 1. Hmsjukvårdsinsatsr
Läs merom de är minst 8 år gamla
VIKTIGA SÄKERHETSINSTRUKTIONER LÄS NOGGRANT OCH SPARA FÖR FRAMTIDA REFERENS VÄRM INTE UPP OCH ANVÄND INTE BRANDFARLIGA MATERIAL i llr nära ugnn. Ångor kan skapa n risk för brand llr xplosion. ANVÄND INTE
Läs merKnagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.
Knagg Knaggarna kan t.x. användas vid förbindning mllan ar och ar. I kombination md fäst är bärförmågan stor vid vältand och lyftand kraftr. Knaggarna tillvrkas av 2,0 ± 0,13 mm galvanisrad stålplåt och
Läs merTRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04
TRAFIKUTRDNIN SILBODALSKOLAN Tillhör dtaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 0--04 Innhåll Innhåll... INLDNIN... Bakgrund... Syft md utrdningn... NULÄS- OCH PROBLMBSKRIVNIN...
Läs merRobin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare
Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant
Läs merFörra gången: fördelningar Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.
örläsning 5 örra gångn: fördlningar Omfattand systm md många partiklar kan praktiskt bara bskrivas i statistiska trmr. Antal partiklar inom nrgiintrvall E till E +de gs av dn = D (E ) N (E ) de där D (E
Läs merINTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12
INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och
Läs merTentamen i Kemisk termodynamik kl 8-13
Tntamn i misk trmdynamik 20040-23 kl 83 Hjälpmdl: Räkndsa, BETA ch Frmlsamling för kursrna i kmi vid TH. Endast n uppgift pr blad! Skriv namn ch prsnnummr på varj blad! Alla använda kvatinr sm int finns
Läs merLösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)
Akadmin ör utbildnin, kultur oc kommunikation Avdlninn ör tillämpad matmatik Eaminator: Jan Eriksson Lösninar till TENTAMEN I MATEMATIK MAA0 oc MMA0 Basutbildnin II i matmatik Datum: auusti 00 Skrivtid:
Läs merAtomer: rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska systemet.
Förläsning 1 Atomr: rörlsmängdsmomnt och spinn. Pauliprincipn och priodiska systmt. Från kvantmkanikn, lösning till Schrödingrkvationn i 3 dimnsionr, har vi att lktronrna har rörlsmängdsmomnt L ( 1) Klassiskt
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, Momnt: TEN anals atum: Lördag, 9 jan Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovi Rättand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr:
Läs merRevisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner
Rvisionsrapport 2/2010 Åstorps kommun Granskning av lönkontorts utbtalningsrutinr Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Läs merTentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända
Läs merGRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD
GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD INLEDNING Sundsvall Norrlands huvudstad Sundsvall Norrlands huvudstad, är båd tt nuläg och n önskan om n framtida position. Norrlands huvudstad är int
Läs merVåra värderingar visar vilka vi är resultat från omröstningen
Nummr 1 2014 Anglica är vår nya intrnrvisor Våra värdringar visar vilka vi är rsultat från omröstningn NKI och mdarbtarundrsökning båd ris och ros Ldarn Ansvarstagand Ett åtrkommand tma i dt här numrt
Läs merDEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege
FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför
Läs mer4.1 Förskjutning Töjning
Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 rshn@kth.s 4. Förskjutning öjning a) Sökt: Visa att töjningn i lmntt är. du ösning: I grundkursn fick man lära sig att.
Läs merArkitekturell systemförvaltning
Arkitkturll systmförvaltng Mal Norström, På AB och Lköpgs Univrsitt mal.norstrom@pais.s, Svärvägn 3C 182 33 Danry Prsntrat på Sunsvall vcka 42 2009. Sammanfattng Många organisationr har grupprat sa IT-systm
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2017
Institutionn för tillämpad mkanik, Chalmrs tkniska högskola ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 3 AUGUSI 7 id plats: 4 8 i M hust Hjälpmdl: Ordböckr, lxikon typgodkänd räknar. ärar: Ptr Möllr, tl (77 55. Bsökr
Läs merÅstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna
Rvisionsrapport nr 4/2010 Åstorps kommun Granskning av kommunns kommunikation md mdborgarna Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018
Mkanik och maritima vtnskapr, Chalmrs tkniska högskola ENAMEN I FINI ELEMENMEOD MHA 9 AUGUSI 8 id och plats: 4 8 i M hust Hjälpmdl: ypgodkänd räknar. Lösningar Lärar: Ptr Möllr, tl (77) 55. Bsökr sal ca.
Läs merFöreläsning 10 Kärnfysiken: del 2
Förläsning 10 Kärnfysikn: dl 2 Radioaktivsöndrfall-lag Koldatring α söndrfall β söndrfall γ söndrfall Radioaktivitt En radioaktiv nuklid spontant mittrar n konvrtras till n annorlunda nuklid. Radioaktivitt
Läs merPer Sandström och Mats Wedin
Raltids GPS på rn i Vilhlmina Norra samby Pr Sandström och ats Wdin Arbtsrapport Svrigs lantbruksunivrsitt ISSN Institutionn för skoglig rsurshushållning ISRN SLU SRG AR SE 9 8 UEÅ www.srh.slu.s Tfn: 9-786
Läs merSAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING... 4. 1.1 Bakgrund... 4 1.2 Inledning och syfte... 4 1.3 Tillvägagångssätt... 5 1.4 Avgränsningar... 5 1.5 Metod...
Rvisionsrapport 2010 Malmö stad Granskning av policy och riktlinjr samt intrn kontroll mot mutor tc. Jakob Smith och Josabth Alfsdottr dcmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING...
Läs merYrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M
Yrks-SM tur och rtur E n l ä r a r h a n d l d n i n g k r i n g Y r k s - S M Yrks-SM 2010 Dt prfkta studibsökt Dn 19-21 maj 2010 arrangras nästa svnska mästrskap i yrksskicklight. Platsn är Götborg och
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016
Institutionn för tillämpad mkanik, Calmrs ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 9 APRI 6 id oc plats: 4 8, Eklandagatan 86 Hjälpmdl: Ordböckr, likon oc typgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl (77 55. Bsökr
Läs merTentamen 2008_03_10. Tentamen Del 1
Tntamn 28_3_ Tntamn Dl KS motsvarar (Dluppgift -2) Dluppgift Dt dcimala hltalt 95 är givt. a) Ang talt i dt hadcimala talsstmt. b) Ang talt i dt binära talsstmt. c) Ang talt md BCD-kod Dluppgift 2 z z
Läs merRevisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten
Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av övrförmyndarvrksamhtn Karin Hansson, Ernst & Young sptmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1 INLEDNING... 4 1.1 SYFTE OCH AVGRÄNSNING... 4 1.2
Läs merUppskatta lagerhållningssärkostnader
B 13 Uppskatta lagrhållningssärkstnadr Md lagrhållningssärkstnadr ass alla d kstnadr sm hängr samman md ch ppstår gnm att artiklar hålls i lagr. Dt är fråga m rsaksbtingad kstnadr ch därmd särkstnadr,
Läs merIntegrerade ledningssystem artikelsamling
Intgrrad ldningssystm artiklsamling Stockholm 2005-01-14 Dt är ffktivt och dt lönar sig att jobba intgrrat. Många organisationr jobbar idag md tt llr flra ldningssystm. Eftrsom strukturrna då är på plats
Läs mer5~ Atomer, joner och kemiska reaktioner
146 Atomr, jonr och kmiska raktionr 5~---------------------------- --Ifl nhå 11 1 sid. 148 I atomns inr sid. 152 Priodiska systmt Mtallr Jonr -- sid. 156 sid. 162 Syror och basr 2 sid. 166 Saltr sid. 170
Läs merICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr
Läs meri) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
Läs merLösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 18 december 2000
Lösningar till tntamn i Kärnkmi ak dn 8 dcmbr 2000 Dl A Vilkn nrgi har d fotonr som utsänds vid annihilation av n positron? (2p) Svar: 5 kv 2 Hur förändras oftast jonladdningn när jonr md hög nrgi passrar
Läs merLaboration 1 Svartkroppsstrålning Wiens lag
Ivar Gustavsson/ Jan Södrstn Matmatiska vtnskapr Götborg 8 novmbr 009 Linjär Algbra och Numrisk Analys TMA 671, 010 Laboration 1 Svartkroppsstrålning Wins lag Strålningsflödt vid svartkroppsstrålning till
Läs mer( ) κ ( ) CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET Teoretisk fysik och mekanik Göran Niklasson
CHALMERS EKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖEORGS UNIERSIE ortisk ysik och kanik Göran Niklasson ntan i rodynaik och statistisk ysik ör F3 (FF4) id och plats: orsdagn dn 5 april 4 kl. 8.45.45 i -hust. Exainatorr:
Läs merFöreläsning 6 och 7 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening
Förläsning 6 och 7 Kraftr; stark, lktromagntisk, svag. Kraftförning Partiklfysik introduktion Antimatria, MP 13-1 Fynman diagram Kraftr och växlvrkan, MP 13-2 S ävn http://particladvntur.org/ 1 2 3 Mot
Läs merTentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag
Tntamnsskivning i Mkanik Dl Dynamik fö M 558 Lösningsföslag. Låt v btckna kulans fat fö stöt och v kulans fat ft stöt. Låt btckna impulsn fån golvt på kulan. Enligt impulslagn gäll: ( ) : = mv cos mv cos
Läs merBengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002
ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV DELÅRSBOKSLUTET 2002-06-30 Bngt Sbring Sptmbr 2002 Sida: 1 Ordförand GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002 1. Inldning I dnna rapport kommr vi att kommntra våra notringar utifrån vår rvision
Läs merLust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden
Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn
Läs merMatematisk statistik
Tntamn TEN HF -- Matmatisk statistik Kuskod HF Skivtid: 8:-: Läa: Amin Halilovic Hjälpmdl: Bifogat fomlhäft "Foml och tabll i statistik " och miniäkna av vilkn typ som hlst. Skiv namn på vaj blad och använd
Läs merAlgebra och geometri 5B Matlablaboration
Mariana Dalarsson, ME & Johan Svnonius, IT Algra och gomtri 5B46 - Matlalaoration 6-- Kurs: 5B46 Handldar: Karim Daho Uppgift Enligt uppgiftn gällr följand vationr: p ( x) + x a + ax + a x a (.) 7 f (
Läs merFasta tillståndets fysik.
Förläsning 17 Fasta tillståndts fysik. (Fasta ämnn: kristallr, mtallr, halvldar, supraldar) Atomr kan ävn bindas samman till fasta ämnn, huvudsaklign i kristallform där d är ordnad på tt rglbundt sätt.
Läs mer1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,
Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, 000-0-, kl.45-.45 Tlfon: Andrs Logg, tl. 0740-4590 OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och
Läs mer(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy,
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA8 Diffrntial- och intgralkalkyl III Datum:
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2017
Institutionn för tillämpad mkanik, Chalmrs id och plats: Hjälpmdl: ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 2 9 JANUARI 27 4 8 i M hust ypgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl (772) 55. Bsökr sal ca. 5 samt
Läs merÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nycklord och innhåll x f, x sysm av diffrnialkvaionr Linjära sysm av diffrnialkvaionr x P x
Läs merTSRT62 Modellbygge & Simulering
TSRT62 Modllbygg & Simulring Förläsning 8 Christian Lyzll Avdlningn ör Rglrtknik Institutionn ör Systmtknik Linköpings Univrsitt C Lyzll (LiTH) TSRT62 Modllbygg & Simulring 2013 1 / 22 Sammanattning: Förläsning
Läs merBengt Sebring September 2000 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2000
Kommunrvisionn ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV RESEKOSTNADER OCH REPRESENTATION Bngt Sbring Sptmbr 2000 Sida: 1 Ordförand Kommunrvisionn INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Inldning... 2 2. Rsultat av granskningn...
Läs merSommarpraktik - Grundskola 2017
Sommarpraktik Grundskola 2017 1. Födlsår 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2. Inom vilkt praktikområd har du praktisrat? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Förskola/fritidshm Fritid/kultur
Läs merICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand
Icbrakrs 2 / 10 Götborgs Rgionn och GR Utbildning GR är n samarbtsorganisation för 13 kommunr i Västsvrig tillsammans har mdlmskommunrna 900 000 invånar. Förbundts uppgift är att vrka för samarbt övr kommungränsrna
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2018
Mkanik och maritima vtnskapr, Chalmrs Tid och plats: Hjälpmdl: TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA 2 8 JANUARI 28 8 i M hust Typgodkänd räknar. Lösningar Lärar: Ptr Möllr, tl (772 55. Bsökr sal ca. 5 samt
Läs merEpipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom
Epipoärgomtri dn fundamntaa matrisn Låt vara n punkt i kamracntrum rsp Låt Punktn bägg kamracntrum pipoarpant ti bägg avbidningarna ti vara dss avbidning i två bidr gnom samt d -dimnsiona motsvarightrna
Läs merICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr
Läs merDelårsrapport 2014-08-31
TRELLEBORGS KOMMUN Srvlcriämndn 2014-09-22 Dlårsrapprt 2014-08-31 Sammanfattning Nämndsttal (tkr) Dlår 140831 Årsbudgt 2014 Prgns 2014 Avvikls Vrksamhtns intäktr 260 267 386 016 385 016-1 000 Vrksamhtns
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
Läs merLösta exempel och gamla tentor i Materialfysik för E, IF1602 M. Göthelid Materialfysik, KTH-Electrum, Kista
Lösta xmpl oc gamla tntor i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8 Lösa xmpl oc gamla tantr i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8 Innållsförtckning
Läs merBilaga 1 Kravspecifikation
Bilaga 1 Kravspcifikation Prövning av anbud Skallkrav Ndan följr d skall-krav som ställs i dnna upphandling. Anbudsgivarn ombds fylla i ndanstånd tabll md tt kryss i JA llr NEJ rutorna för rspktiv fråga.
Läs merRevisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young
Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av samhällsbyggnadsnämndns och tillsynsnämndns styrning och ldning Irén Dahl, Ernst & Young Augusti 2010 Hylt kommun Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Läs mer