HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Transkript

1 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Linjär diffrntialkvation (DE) md konstanta koffiintr är n kvation av följand tp ( n) ( n ) a a a n a0 f ( ) () där koffiintr a n,, a, a, a0 är konstantr Om f ( ) 0 kallas kvationn homogn, annars ik-homogn (llr inhomogn) Dn allmänna lösningn till kvation () är () () p () ( dn allmänna lösningn till dn homogna kv () n partikulärlösning till () ) En homogn linjär diffrntialkvation md konstanta koffiintr är n kvation av följand tp ( n) ( n ) a n a a a0 0 () där koffiintr a n,, a, a, a0 är konstantr Dn allmänna lösningn till n homogn DE är linjär kombination av n obrond partikulärlösningar (som vi kallar baslösningar) n n Vi sökr linjärt obrond partikulärlösningar på formn r r Substitutionn i ( ) oh förkortning md gr n n r an r ar ar a0 0 () Ekvationn ( ) kallas dn karaktristiska kvationn

2 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ANDRA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER a a0 0 (4) Först lösr vi motsvarand karaktristiska kvationn r ar a0 0 () (Vi antar ndan, för nklhts skull, att koffiintr a, a 0 är rlla tal) a) Om r oh r är nkla rlla röttr (dvs r r ) då är r r oh två baslösningar till kvationn (4) Dn allmänna lösningn är r r b) Om r är n dubbl rot (dvs r r ) då är r r oh två baslösningar till kvationn (4) r r ) Om r oh r är två kompla röttr, r a bi, r a bi då är a osb oh a sin b två baslösningar till kvationn (4) Dn allmänna lösningn är a a osb sinb ärldning av ovanstånd formlr: a a0 0 (4) Om vi btknar D oh D då kan diffrntialkvationn a a0 0 (4) skrivas som ( D ad a0) 0 (4') Först lösr vi motsvarand karaktristiska kvationn r ar a0 0 () Om r oh r är nkla röttr till dn karaktristiska kvationn då kan () skrivas som ( r r )( r r ) 0 oh på samma sätt kan vi skriva kv (4') som ( D r )( D r ) 0 (4'') Vi substiturar ( D r ) z (s) i (4'') oh får n DE av första ordningn ( D r ) z 0 dvs z r z 0 som har lösningn (sparabl DE) r z C (z) Dtta substiturar vi i kv (s) oh får

3 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr ( r D r ) C llr r r C dn här kvationn ( Lin DE av första ordningn) lösr vi md hjälp av n intgrrand faktor P( ) d r d r F ( C F Q( ) d oh formln ( ) F ) som gr r r r ( ) ( C C d) ( ) llr r ( r r ) ( C C d) (*) r dvs r r 0 Fall Om r, då är r ( r r ) r 0 r ( ) ( C C d) ( C C d) ( C C d) dvs r ( C C) r r ( ) (notra att r r ) r ( r r ) Fall a Om r r dvs r r 0, från (*) får vi ( ) ( C C ) dvs r r ( ) Fall b Om r oh r är två kompla röttr, r a bi, r a bi då kan vi förnkla r r ( a bi) ( a bi) a bi a bi a bi ( ) ( (Eulrs forml) a [ (os( b) isin( b)) (os( b) isin( b))] a [( )os( b) ( i i)sin( b))] Om vi btknar ) A i i) bi ( oh ( B då kan vi skriva lösningn i dtta fall som a ( ) [ Aos( b) Bsin( b))] Därmd har vi bvisat ovanstånd formlr ) Empl Lös följand DE md avsnd på () 6 0 Dn karaktristiska kvationn r r 6 0 har två rlla olika röttr r oh r Därför är oh två baslösningar oh dn allmänna lösningn till kvationn

4 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR ÖVNINGAR: Uppgift Lös följand DE md avsnd på () 4 omogna linjära diffrntialkvationr a) b) 0 ) 6 0 d) 6 0 ) 0 f) 6 0 g) 0 h) 6 0 i) 4 0 j) 0 a) 8 b) ) d) ) f) g) h) i) j) 4 6 Empl Bstäm dn lösning till diffrntial kvationn 7 0 som uppfllr bgnnlsvillkorn ( 0) 0 oh ( 0) Dn karaktristiska kvationn blir r 7r 0 Dn har två rlla, olika röttr r oh r 4 4 Därför är oh två baslösningar oh 4 dn allmänna lösningn till kvationn Om vi utnttjar villkort ( 0) 0 får vi C C 0 (*) För att använda villkort ( 0) måst vi först drivra lösningn 4 Vi får 4 4 4

5 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr Villkort ( 0) gr nu 4 (**) Från (*) får vi C C som vi substiturar i (**) oh får 4 Eftrsom C C får vi C Dn sökta lösningn blir därmd 4 4 Uppgift a Lös följand bgnnlsvärdsproblm a) 8 0, ( 0) oh ( 0) 4 b) 4 0, ( 0) 4 oh ( 0) 0 a) 6 b) Uppgift b Lös följand randvärdsproblm a) 6 0, ( 0) oh b) 0, ( 0) oh ( ) ( ) 6 a) b) Empl Lös DE md avsnd på () Dn karaktristiska kvationn r 4r 4 0 har två rlla lika röttr r oh r ( r är n dubbl rot)

6 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 omogna linjära diffrntialkvationr ärav får vi två baslösningar oh dn allmänna lösningn till kvationn oh därför är Uppgift a Lös följand DE md avsnd på () a) 0 b) 0 ) d) 0 0 ) f) a) b) ) d) ) f) Uppgift b Lös följand bgnnlsvärdsproblm 6 9 0, ( 0) oh ( 0) 7 Empl 4 Lös DE md avsnd på () 0 Dn karaktristiska kvationn r r 0 har två kompla röttr r ± i ärav får vi två baslösningar os( ) oh sin( ) oh därför är 6

7 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 omogna linjära diffrntialkvationr os( ) sin( ) dn allmänna lösningn till kvationn os( ) sin( ) Uppgift 4a) Lös följand DE md avsnd på () a) 0 0 b) 0 ) 4 0 d) 4 0 ) 4 0 f) 0 0 g) 0 h) 4 0 a) ) sin( ) os( os( ) os() sin( sin( os( ) sin( os( ) sin( os( ) sin( b) ) ) ) d) ) ) ) f) ) os( g) os( ) sin( ) h) ) sin( ) Uppgift 4b) Lös följand bgnnlsvärdsproblm 9 0, ( 0) oh ( 0) 6 sin os Uppgift ) Lös följand randvärdsproblm π 4 0, ( 0) oh ( ) 4 sin os 7

8 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Empl Lös DE md avsnd på () 6 0 Dn karaktristiska kvationn r 6 0 har n rot r 6 6 Dtta gr n baslösning ärav 6 är dn allmänna lösningn till kvationn 6 Uppgift Lös följand DE md avsnd på () a) 8 0 b) 0 ) 0 d) 0 ) f) 4 a) ) ) 8 b) d) f) 4 8

9 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 9 omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ÖGRE ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER ( n) ( n ) a n a a a0 0 () Dn allmänna lösningn till n homogn DE är linjär kombination av n obrond partikulärlösningar (som vi kan kalla baslösningar) n n Vi sökr linjärt obrond partikulärlösningar på formn r r Substitutionn i ( ) oh förkortning md gr n n r an r ar ar a0 0 () Ekvationn ( ) kallas dn karaktristiska kvationn För nklhts skull btraktar vi kvationr md rlla koffiintr a k Om r k är n rll rot till kvation () md multipliitt v k då är r k r k,,, tillhörand baslösningar v k v k r k Om kvationn () har två kompla röttr a ± bi, md multipliitt v, då är a osb, a v a osb,, v osb oh a a v sin b, v sin b tillhörand baslösningar v a,, v b sin Empl 6 Lös DE md avsnd på () () (4) 0 Dn karaktristiska kvationn r r 4 0 kan faktorisras: r 4 ( r ) 0 r r r r ( r ) 0 r 0, r,,,4 Rotn r 0 har multipliitt 4 Tillhörand baslösningar är 0, 0, 0, 0 4 9

10 Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR Eftrsom 0, dtta gr,,, Från r får vi n till baslösning Dn allmänna lösningn är omogna linjära diffrntialkvationr Uppgift 6 Lös följand DE md avsnd på () (4) a) 0 b) 0 (4) ) 6 0 (4) d) 4 0 a) b) ) 4 4 d) sin 4 os 0