TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2017

Transkript

1 Institutionn för tillämpad mkanik, Chalmrs id och plats: Hjälpmdl: ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 2 9 JANUARI i M hust ypgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl (772) 55. Bsökr sal ca. 5 samt 6 3. ösningar: Btygsättning: Rsultatlista: Granskning: Anslås på anslagstavlan, avdlningn för dynamik, /; s ävn kurshmsidan. En fullständig och korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl ldr till poängavdrag. Ofullständig lösning (svar på ställt problm saknas) llr omfattand fl gr int något poäng. Maximal poäng är 2. Dt krävs 8 poäng för btyg 3; 2 poäng gr btyg 4; för btyg 5 krävs 6 poäng. Obsrvra att ovanstånd är btygssättning på nbart tntamn; för godkänd xamination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Anslås snast 24/ på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till btygsxpditionn snast /2 för kursdltagar som int har alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras btygt U (undrkänd). onsdag 25/ 2 3 samt frdag 27/ 2 3, Institutionn för tillämpad mkanik, plan 3 i Nya M hust. änk på: Skriv så att dn som ska rätta kan läsa och förstå hur tänkr. Dn som rättar tntamn gissar int llr antar int vad mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs har btydls vid bdömningn av n lösning. Förklara/dfinira införda btckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t.x förskjutningar och kraftr). Gör antagandn utövr d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit och förklara dssa. 27 9/PWM

2 åt vara tt områd i ( x, y) plant och btckna dss rand md ; n är n utåtriktad nhtsnormal till områdt. Vidar låtr vi v v( x, y) vara n (skalär) funktion och q q x ( x, y) q y ( x, y) n vktorvärd funktion, som båda är dfinirad på. Då gällr divqd q nd (divrgnstormt) där divq q x q y, samt vdivqd v q nd ( v) qd (Grn Gauss sats) där ( v) v v. En cylindrisk kork md längd och axialstyvht EA har prssats in i tt hål i tt lastiskt matrial. Man drar md n kraft P i korkns na änd och så läng ingn glidning skr fås tt mothåll ku( x) (kraft/längd) från dt omgivand matrialt; här är u( x) korkcylindrns axilla förskjutning och k n proportionalittskonstant. Dn axilla förskjutningn gs av lösningn till randvärdsproblmt EA u( x) ku x P d EA x x ku < x < P EA( ) a: Härld dn svaga formn av (variationsformulra) randvärdsproblmt. Gör sdan n finit lmntformulring md tstfunktionr valda nligt Galrkins mtod. (2p) b: Härld lmntstyvhtsmatrisn för tt linärt lmnt md konstant axialstyvht EA och längd h. dning: dt går bra att sätta och h i bräkningarna (ftrsom styvhtn här int bror på var längs x axln lmntt är placrat). (2p) N ( x) N 2( x) x c: Sätt P N EA 3, kn, k 3 kn/m 2 samt 5 mm och approximra lösningn till randvärdsproblmt md tt linärt lmnt. Axialkraftn i korkn är nligt dn xakta lösningn N EA bräkna N nligt FE approximationn. (2p) /PWM

3 ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion intrvallt v( x) och intgrra övr Intgrandns första trm partialintgrras d v EA kvu dv vea EA kvu och randtrmn utvcklas: vea v( )EA( ) v( )EA( ). Här kan vi sätta in båda randvillkorn och får då vea Pv( ). Vi kan nu formulra dn svaga formn av dt givna randvärdsproblmt: Bstäm u så att FE formulring: approximra u( x) md n linärkombination av valda basfunktionr N i ( x), i, 2,, n. Md N N N 2 N n och a a a 2 a n kan vi skriva u u h Na, där a är d obkanta nodvariablrna. Om FE approximationn sätts in i variationsproblmt har vi n obkanta (nodvariablrna a i ); vi får n kvationr gnom att välja tstfunktionn v( x) på n olika sätt. Md Galrkins mtod väljs v( x) N i ( x), i, 2,, n, vilkt är kvivalnt md att välja v till n godtycklig linärkombination av basfunktionrna x dv EA kvu Pv( ) u h x v N c N 2 c 2 N n c n Nc c N där u h c c c 2 c n är d godtyckligt valda kofficintrna i linärkombinationn. Insättning av och valt v i variationsproblmt gr c dn dn EA kn N a PN ( ) Vktorn inom klammrparntsn är alltså ortogonal mot varj val av c och måst alltså vara noll vktorn. Md B dn dn dn 2 dn n har vi alltså EAB B kn N a PN ( ) llr Ka f, där K EAB B kn N och f PN ( ) /PWM

4 ösning b: Vi btraktar vänstrldt i FE formulringn. På lmntt har vi approximationn u u h N N2 a a 2 N a och alltså EA dn dn k( N ) N d xa EA dn dn K a a k( N ) N K 2 a a Här är N och, så md och konstanta fås h -- ( x ) x x dn ( ) -- i h EA k K EA EA h EA h h 2 h 2 och K 2 k ( x ---- i x) 2 ( x ) ( x x ) i k 2 ( x h i x) 3 [ ] xi [( 2x 3 3 ( x )x 2 i 6 x x x) ] xi ( x) ( x ) ( x ) 2 6h 2 sym. 2[ ( x ) 3 ] xi k h3 h 3 kh 6h h 3 2h Alltså fås K K K 2 EA h kh ösning c: Md bara tt lmnt har vi h och K K EA k ( 6 3 ) 2 ( 2,5 3) ,5 57, [N/m] så md nod och 2 vid x rspktiv x fås Ka PN ( ) 65 57,5 3 a [N/m] 57,5 65 a 2 [N] md lösningn 6,26 [mm], a 2 7, 7 [mm]. a Normalkraftn i lmntt blir h dn N EA EA a EA h h -- a EA a 2 a [N] a /PWM

5 2 y Ett lastiskt mmbran är uppspänt på n symmtrisk formad ram nligt figurn. Om förspänningn är S (kraft/längd) och n last p( x, y) (kraft/yta) i z ld blastar mmbrant, kan förskjutningn w( x, y) i z ld bräknas som lösningn till randvärdsproblmt x p div( w) -- i S w på sym. a: Om problmt löss numriskt, sparar man arbt gnom att utnyttja symmtrin. Formulra om randvärdsproblmt så att symmtrin baktas. (p) b: Variationsformulra problmt och ang rgularittskrav på ingånd funktionr. Gör sdan n finit lmntformulring md tstfunktionr nligt Galrkins mtod. (2p) c: Antag att områdt har dlats in i fyra bilinära isoparamtriska lmnt. Md nodnumrring nligt figurn får man (för vissa värdn på och p S ) styvhtsmatrisn K och lastvktorn f som 7 8 K,86,48,4,52,48,49,27,27,,48,27,66,23,6,4,27,8,9,5,82,52,,23,9 3,2,47,7,2,8 [ ] f,48,6,47,46,5,3,5,7,45,43,82,2,5,43,7,2,8,3,2,3 9,9 4,88 5,79 8,9 29,76,57 9,9 4,88 5,79 3 [m] Bräkna nodvariablrna a a a 2 a 8 a 9 (2p) d: I vikt llr vilka områdn kan man förvänta sig att man får d (till storlk) minsta lmntn, om tt adaptivt FE program lösr problmt md h mtod? Svart ska motivras. (p) ösning 2a: På symmtrirandn måst normaldrivatan till w vara noll. i har då p div( w) -- i S w på g ( w) n på sym sym där n är n utåtriktad nhtsnormal till randn. g /PWM

6 ösning 2b: Multiplicra båda sidor av diffrntialkvationn md n tstfunktion v och intgrra övr områdt: vdiv( w) d v p. Använd Grn Gauss sats på vänstrldt och flytta S -- d randintgraln till högrldt; då fås: ( v) ( w) d v p S -- d v( w) nd g sym v( w) nd Dn sista randintgraln försvinnr pga (dt naturliga) randvillkort på ; för att bli av ävn md dn andra randintgraln (där w är obkant) ställr vi kravt att v på g ävn w måst uppfylla dtta (väsntligt randvillkor). Vidar måst alla inblandad funktionr vara kvadratiskt intgrrbara, samt ha kvadratiskt intgrrbara :a drivator. Dfinira sym V v: v på g, v 2 d < ( v) 2, d < Variationsformulringn blir då: Bstäm w V så att ( v) ( w) d v p S -- d v V FE formulring: Approximra lösningn som n linärkombination av basfunktionr N i ( x, y). Md N N N 2 N n och a a a 2 a n kan vi skriva w w h Na, där a är d obkanta nodvariablrna. FE approximationn sätts in i variationsproblmt nodvariablrna kan bstämmas ur d n kvationrna vi får gnom att välja tstfunktionn v( x, y) nligt Galrkins mtod: v( x, y) N i ( x, y), i, 2,, n. Dtta är dt samma som att välja v till n godtycklig linärkombination av basfunktionrna v N c N 2 c 2 N n c n Nc c N där alltså c c 2 c n är godtyckligt vald. Insättning av w h och valt v i variationsproblmt gr c c ( N ) Nd a N p S -- d Vktorn inom klammrparntsn är alltså ortogonal mot varj val av c och måst alltså vara N N 2 N n noll vktorn. Md B N har vi alltså Ka f där K B Bd och N N 2 N n f N p S -- d ösning 2c: Dt väsntliga randvillkort gör att vi måst ha a a 2 a 3 a 4 a 6 a 7 a 9 ; motsvarand basfunktionr (dvs N,, N 7, N 9 ) antar noll skilda värdn på g och är int gilltiga tstfunktionr. Eftrsom i:t kvationn rhålls md v är int kvationrna, 2, 3, 4, 6, 7 och 9 gilltiga. Vi har då N i /PWM

7 ,86,48,4,52,48,49,27,27,,48,27,66,23,6,4,27,8,9,5,82,52,,23,9 3,2,47,7,2,8,48,6,47,46,5,3,5,7,45,43,82,2,5,43,7,2,8,3,2,3 a 5 a 8 9,9 4,88 5,79 8,9 29,76,57 9,9 4,88 5,79 3 llr 3,2,2,2,7 a 5 29,76 a 8 4,88 3, som har lösningn a 5 a 9,95 8 9,92 [mm] ösning 2d: Vi dt inåtvända hörnt har vi n singularitt, så d minsta lmnt ska gnrras i områdt närmast dnna punkt. 3 Md lämplig dfinition av skalärprokt (*, *) och inr prokt a (*, *) kan variationsproblmt i förgånd uppgift skrivas Hitta w V så att a( w, v) v, p S -- v V och FE formulringn md tstfunktionr nligt Galrkin blir Hitta w h V h så att a( w h, v) v p, S -- v V h V h där V är rummt av funktionr som uppfyllr d krav problmt ställr (uppgift 2b) och FE rummt antas vara tt undrrum: V. Här är dn inr proktn och skalärproktn båda symmtriska och linära i båda argumntn. Vidar är a( v, v), md a( v, v) v. a: Visa att diskrtisringsflt w w h är a ortogonalt mot FE rummt: a(, v) v V h (p) b: Visa att lösningn till variationsproblmt minimrar dn kvadratiska funktionaln Π( v) --a ( v, v) v, p 2 S -- d v s visa att Π( w) Π( v) v V, md likht ndast för v w. (2p) ösning 3a: Vi subtrahrar FE problmt från variationsproblmt; dn rsultrand kvationn är gilltig bara för dn gmnsamma dfinitionsmängdn, så a( w, v) a( w h, v) v V h Om vi utnyttjar att dn inr proktn är linär i första argumntt finnr vi a( w w h, v) v V h varur dt ftrfrågad rsultatt följr /PWM

8 ösning 3b: åt v V vara godtycklig och dfinira funktionn u v w, där w är lösningn till variationsproblmt. Vi har då p Π( v) Π( w u) --a ( w u, w u) w u, -- { utnyttja linäritt} 2 S -- [ a( w, w) a( w, u) a( u, w) a( u, u) ] w p 2, -- s u, p -- s { a (, ) är symmtrisk} --a ( w, w) w, p 2 -- s --a ( u, u) a( w, u) u, p 2 -- s a( w, u) u, p -- s ty w lösr variationsproblmt Π( w) --a ( u, u) Π( w) 2 där dn sista olikhtn följr av att a( u, u), md likht ndast för u, d v s för v w ; alltså Π( v) Π( w), där w är lösningn till variationsproblmt. 4 Bågkonstruktionn i figurn är fast inspänd till grundn och blastas nbart av sin gntyngd ρg (kraft/volym i ngativ y ld). Om tjocklkn i z ld är konstant, så kan dn svaga formn av d styrand diffrntialkvationrna nligt 2D lasticittstori skrivas y ρg x ( v) D ud v fd v td () Här btcknar och områdt rspktiv randn. Vidar är f ρg dn givna volymslastn, v v x v y är n vktor md tstfunktionr, u u x u y är dn obkanta förskjutningsvktorn, t t x σ xx n x σ xy n y t y σ xy n x σ yy n y är traktionvktorn och ; obsrvra att i () har vi int infört randvillkorn och att randintgraln är längs hla områdts rand. I uttryckt för t är n n x n y n utåtriktad nhtsnormal till dt btraktad områdt. a: Eftrsom problmt är symmtriskt md avsnd på y axln räckr dt md att studra halva områdt. Ang för dtta fall samtliga randvillkor och utvckla randintgraln i (). (2p) b: FE formulra problmt () ta hänsyn till randvillkorn. Av din lösning ska dt framgå hur dn obkanta vktorn u approximras. Visa också hur matrisn sr ut för tt 4 nods isoparamtriskt bilinärt lmnt. (2p) B /PWM

9 c: Antag att vi skrivit n funktion som bräknar lmntstyvhtsmatrisn för tt 4 nods isoparamtriskt lasticittslmnt, K B DB dtjdξdη, md numrisk intgration. Vi vill nu modifira funktionn så att vi iställt bräknar lmntstyvhtsmatrisn som bhövs vid (approximativa) lösningn av Poissons kvation (t.x mmbranproblmt i uppgift 2 ovan). Vilka förändringar bhövs? (p) ösning 4a: Vid dn fasta inspänningn är förskjutning i x och y ld förhindrad; på d fria oblastad rändrna är normal och tangntialspänningarna noll; på symmtrirandn har vi ingn förskjutning i x ld och ingn tangntialspänning. Md t x och t y dfinirad nligt ts, har vi alltså u på fix t på fri u x t y, på sym fri fix sym y x Randintgraln blir v td v td v d v t x d ( v x t x v y t y ) d fix fri sym På fix är t x och t y obkanta (stödraktionr) och på sym är t x obkant; vi måst då bgränsa valt av tstfunktionr till sådana att v x på fix sym och v y på fix. Hla randintgraln blir då noll (vilkt är n följd av att vi int har någon (bkant) randlast). fix sym v x t x d ösning 4b: Approximra förskjutningsvktorn u u h u xh Na, där a a x a y a 2x a 2y a 3x u yh är nodvariablr (nodförskjutningar) och N N N 2 N n N N 2 N n är n matris md d valda basfunktionrna. Insättning i variationsproblmt (3) gr ( v) D ( Na) d där vi utnyttjat att randintgraln försvinnr om vi väljr bort basfunktionr som int satisfirar d väsntliga randvillkorn. Md btckningn B N kan vi skriva ( v) DBda v fd. Vi väljr sdan v fd tstfunktionr nligt Galrkin, d v s v och om dssa samlas radvis fås N N 2,,,,, N n, N N 2 N n ; varj val gr n kvation N N N n DBda N N fd N n llr kortar: B DBda N fd /PWM

10 För 4 nods lmntt har vi N N N 2 N 3 N 4 N N 2 N 3 N 4 (d basfunktionr som antar nollskilda värdn på lmntt), så B N N N N N ösning 4c: Md Poissons kvation har vi bara n obkant funktion u u h så approximationn på lmntt blir u N a md basfunktionrna N N och motsvarand nod- N2 N3 N4 variablr samlad i a. Vidar har vi nu diffrntialopratorn (iställt för ), så vi måst N N ställa upp n annan B matris: B N. Drivatorna bräknas som innan, ftrsom dn isoparamtriska avbildningn är oförändrad. u( x, y) Dn konstitutiva matrisn D, som i 2D lasticitt är n 3 3 matris, är nu n 2 2 matris (t. värmldningsproblmt innhållr dn trmisk konktivitt), så lmntstyvhtsmatrisn blir nu 4 4, jämfört md 8 8 i lasticittsproblmt. 27 9/PWM