SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Transkript

1 Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till rhålls gnom att intgrra båda ldn i P d Q d d Förklaring: Anta att h är n lösning till P Q Då gällr d d h P h Q Om vi intgrrar på båda ldn i sista kvationn får vi d d P h h d Q d och gnom att använda substitutionn d h h d d får vi P d Q d dvs För att kolla om n diffrntialkvation av första ordningn L,,' R,,' är sparabl, och därftr lösa dn, gör vi följand nkla stg: STEG Lös ut plicit första drivatan 'F, STEG Faktorisra högrldt i faktorr som innhållr ndast n variabl llr, om dtta är möjligt: t f g llr f g h k Om dt är omöjligt att faktorisra i faktorr md ndast n variabl då är kvationn int sparabl d STEG Ersätt md och sparra variablr dvs fltta "-faktorr" till vänstr och "faktorr" till hägr och ang kvationn på formn d A d B d Dn dln ska man hantra försiktigt När man dlar n kvation md tt uttrck som innhållr n obkant, måst man kolla om uttrckt som man dlar md innhållr n llr flra lösningar till kvationn Annars kan man tappa några lösningar STEG Du får lösningn gnom att intgrra båda ldn A d B d Dt räckr att addra konstantn till högrldn Sida av 9

2 Sparabla diffrntialkvationr STEG Förnkla lösningn och, om möjlig, ang på plicit form f STEG Kolla om kvationn har singulära lösningar Uppgift a Lös kvationn b Är kvationn 0 sparabl? Lösning a: STEG Vi lös ut ': 0 0 STEG Vi faktorisra högrldt i faktorr som innhållr ndast n variabl llr om dtta är möjligt: 0 d STEG Vi rsättr md, sparrar variablr och får d d d 0 sparra var d d 0 notra att 0 STEG Intgrra båda ldn d d formlsamling 0 arctan dn allmänna lösningn på implicit form 0 STEG Vi angr på plicit form : arctan arctan tan tan Svar a: tan dn allmänna lösningn på plicit form 0 Lösning b: Är kvationn sparabl? Stg Vi kan int faktorisra i produkt av faktorr som innhållr ndast n variabl llr, Därför är kvationn INTE sparabl Svar b: Nj Sida av 9

3 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Sparabla diffrntialkvationr Uppgift Lös följand diffrntialkvation md avsnd på cos Först rsättr vi md d d d d cos, och därftr sparrar variablr d d cos Slutlign intgrrar vi båda ldn: d d cos sin, dn allmänna lösningn på implicit form Svar: sin Uppgift a Lös följand diffrntialkvation md avsnd på b Ang lösningn på plicit form Först rsättr vi md d d och därftr sparrar variablr: d d d d Vi har sparrat variablr Dt kvarstår att intgrra båda ldn: d d arctan dn allmänna lösningn på implicit form b Eplicit form: Vi lösr ut ur förgånd kvation och får tan dn allmänna lösningn på plicit form Sida av 9

4 Sparabla diffrntialkvationr Uppgift Partikulär lösning a Bstäm dn allmänna lösningn till kvationn b Ang lösningn på plicit form c Bstäm dn lösning som satisfirar 0 bgnnlsvillkort a Notra att kvationn är int dfinirad för ± d Först rsättr vi md och därftr sparrar variablr: d d d Vi intgrrar båda ldn och får d d formlsamling arcsin dn allmänna lösningn på implicit form b Eplicit form: Vi lösr ut ur förgånd kvation och får sin dn allmänna lösningn på plicit form c Vi användr villkort 0 för att bstämma i dn allmänna lösningn, sin 0 Härav Anmärkning: Man kan använda tt av värdna k och sin är dn partikulära lösningn som satisfirar givt villkor d Notra ign att kvationn d är int dfinirad om ± dvs om sin Uppgift Singulära lösningar a Bstäm alla lösningar till kvationn * Sida av 9

5 d a Först rsättr vi md d d d Sparabla diffrntialkvationr När man dlar n kvation md t uttrck som innhållr n obkant måst man kolla om uttrckt som man dlar md innhållr n llr flra lösningar till kvationn Annars kan man tappa några lösningar För att sparra variablr dlar vi förgånd kvation md och därför antar att 0 Alltså fortsättning gällr om ± Mn vad gällr i fallt llr? Omdlbart inss att d två konstanta funktionr satisfirar kvationn * t 0 båda ldn i kvationn * är lika md 0 Alltså har vi fått två spcilla lösningar Om d int omfattas av dn allmänna lösningn då kallas sådana spcilla lösningar för singulära lösningar Vi fortsättr md sparation och intgration för att få dn allmänna lösningn d d arcsin sin sin Dn allmänna lösningn D två spcilla lösningar, finns int bland d allmänna lösningar, Dt finns int något -värd sådant att sin blir llr och därför kallas d för singulära lösningar Svar: Ekvationn har följand lösningar: sin Dn allmänna lösningn,, singulär lösning singulär lösning Uppgift Btrakta kvationn a Bstäm dn allmänna lösningn till kvationn b Skriv lösningn på plicit form d v s på formn f c Bstäm dn lösning som satisfirar bgnnlsvillkort 0 0 a Sida av 9

6 Sparabla diffrntialkvationr d d Vi dlar md - och antar att Omdlbart inss att funktionn är n lösning till kvationn d d d d ln ln dn allmänna lösningn på implicit form b Från förgånd kvation får vi ln ln ± ln ln Vi förnklar ± ± ± Vi btcknar konstantn ± D och får ± D D dn allmänna lösningn på plicit form som dssutom inkludrar dn spcilla lösningn c 0 0 D Svar: a ln ln b D c Uppgift 7 Lös kvationn md avsnd på vt dv 9 v dt v00 Ang lösning på plicit form För att sparra variablr dlar vi kvationn md 9 v 0 9 v undr antagand Sida av 9

7 7 Sparabla diffrntialkvationr dv dt, dvs v ± 9 v Anmärkning: dv Funktionrna v och v, uppnbart satisfirar kvationn 9 v dt int villkort v00, alltså är d INTE lösningar till vår bgnnlsvärdsproblm, mn Vi intgrrar kvationn: dv 9 v Vi lösr ut v dt v ln t v Dn allmänna lösningn på implicit form v ln v v v t v D v v D v vd v v D D D D v Dn allmänna lösningn på plicit form D Slutlign bstämmr vi D, D v00 0 D D v dn partikulära lösningn som satisfirar bgnnlsvillkort Svar: v t Uppgift Btrakta kvationn: cos a Bstäm dn allmänna lösningn till kvationn b Bstäm dn lösning som satisfirar 0 c Skriv lösningn på plicit form d v s på formn f Sida 7 av 9

8 Sparabla diffrntialkvationr a d cos cos d cos d cos d arctan sin Dn allmänna lösningn på implicit form samma läsningn på plicit form: tansin b 0 arctan sin 0 arctan sin c Eplicit form: tansin Svar: a arctan sin b arctan sin c tansin Uppgift 9 a p Lös följand diffrntialkvation Ang lösningn på plicit form b p Lös följand diffrntialkvation Bstäm ävn vntulla singulära lösningar a Anmärkning: Vi dlar kvationn md om uttrckt är skilt från 0 Substitutionn /, 0 i kvationn visar att dn konstanta funktionn är också n lösning En sådan lösning kallas singulär om dn int kan fås ur dn allmänna lösningn d d ln ln ln ln ln ln Sida av 9

9 9 Sparabla diffrntialkvationr ± ln ln D D Svar a: är dn allmänna lösningn på plicit form Anmärkning: Formln innhållr också dn konstanta lösningn /; alltså ingn singulär lösning i dtta fall b d d d d Vi dlar kvationn md om uttrckt är skilt från 0 Substitutionn ±, 0 i kvationn visar att d två konstanta funktionr är också lösningar till kvationn En sådan lösning kallas singulär om dn int kan fås ur dn allmänna lösningn d d d d arcsin sin Dn allmänna lösningn är alltså sin Dssutom har vi två singulära lösningar ± ftrsom d int kan fås ur dn allmänna lösningn Svar b: Dn allmänna lösningn är sin Ekvationn har dssutom två singulära lösningar är och Sida 9 av 9