Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

Transkript

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning REDUKTION AV ORDNING I) Diffrntialkvationr där saknas ( n) Om i n diffrntialkvation saknas, dvs om DE har formn F (,,,, ) 0, då kan vi sänka kvationns ordning md hjälp av substitutionn ( z( Ekvationn ( n) övrgår i F (, z, z,, z ) 0 Md andra ord får vi n kvation av ordning (n ) Om båd och saknas då kan vi, md substitutionn z,få n kvation av ordning (n ) På liknand sätt gör vi om alla: substitutionn ( k ) z ( k ),,,, saknas i kvationn Då användr vi Uppgift Lös DE 0, där 0 gnom att först rducra ordningn (Viktigt! Notra att homogna dln INTE har konstanta kofficintr och därför kan INTE lösas md ansatsn ) Lösning: Eftrsom saknas i kvationn, kan vi sänka kvationns ordning md hjälp av substitutionn ( z( (subs ) Ekvationn övrgår i z z 0, 0 Dtta är n linjär DE av första ordningn Först bräknar vi n Pd d ln ln (ftrsom 0) Konstantn C har vi i ndanstånd forml En intgrrad faktor är F Pd ln Enligt dn kända formln (finns i BETA) z F ( C F Qd ( C 0 d ( C Sida av 5 d

2 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning z ( C ) C Från (subs ), dvs från ( z( har vi slutlign ( z( d ( C ) d C ln D ( C ln D 44 ====================================================== II) Linjära homogna DE om n lösning är känd Om n lösning ( 0 till homogna DE ( n) ( n) a ) ( ) ( ) ( ) n an a a a ( 0 (kv 0) ( 0 är känd då kan vi sänka ordningn till (kv 0) gnom två substitutionr: Först, md hjälp av substitutionn ( z( ) (*) ( och därmd z z och z z z ) får vi n n kvation som saknar z Därför n n substitution u( z( (**) sänkr ordningn i kvationn Om vi har n lösning ( 0 till andragradskvation P( Q( 0 (kv ) ( viktigt att DE är på normalformn ) då kan vi använda formln ( ) Pd d (Forml ) och md mindr bräkning få n lin obrond lösning Sida av 5

3 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning Därftr är C C dn allmänna lösningn till kvationn Härldning av formln ( ) Pd d : Anta att ( 0 ( på tt intrvalli) är n givn lösning till P( Q( 0 (kv ) Vi substiturar ( z( (*), och därmd z z och z z z i (kv ) och får z z z P( z z ) Qz 0 (kv 3) Notra att z P z Qz ( P Q) z (ftrsom är n lösning till kv ) 0 z 0, så att kv 3 förnklas till z ( P) z 0 som saknar z Vi kan dla md z, z ( P) 0 z och intgrra båda ldn: ln Pd D ln z ln Pd D llr z Vi får llr D z ( ) z ( ) Därför är Pd Pd Vi bhövr n lösning (som är lin obrond från ) och väljr t Pd Härav z d ( ) z( ) ( ( ) Pd d, också n lösning till (kv ) V S B Anmärkning Dt är uppnbart och är linjärt obrond Enligt utrckt (forml ) är linjärt brond av ndast om t) ( ) Pd d C =konstant, dvs om Pd t 0, som är omöjligt (ftrsom 0 för alla Uppgift Ekvationn 0, > 0, har n lösning allmänna lösningn sin Bstäm dn Lösning Vi ska lösa problmt md två mtodr Först (nklar), mtod, gnom att använda (Forml ) och därftr mtod (svårar) gnom att utföra två substitutionr och utföra alla bräkningar Sida 3 av 5

4 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning Mtod (nkl) Vi användr formln Pd d ln( (ftrsom >0) ( ) Pd d Därför Pd ln Dtta substiturar vi i formln Pd sin sin sin d d d ( cot ( ) sin ( ) sin sin cos cos ( ) sin sin cos Därmd är C C( ) llr (om vi btr C D ) sin cos C D sin cos C D Mtod (omfattand bräkning) sin Vi användr substitutionn ( z( = z( och bräknar z z z z cos sin sin ) z z ( och z z z sin cos sin cos sin sin ) z ( ) z z ( 3 Vi substiturar ovanstånd i 0 och, ftr förnkling, får sin cos z z 0 llr sin z cos z 0 (notra att z saknas i kvationn) Sida 4 av 5

5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning Substitutionn z u gr n sparabl DE sin u cos u 0 som vi transformrar i du u cos d sin du u cos d sin Härav ln u ln sin C som kan skrivas som C u C sin ( sin ( Från C z u har vi z d C cot( C3 sin ( sin sin Slutlign ( z( = z( ( C cot( C 3 ) = sin cos sin cos C3 C C D sin cos C D Sida 5 av 5