LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Transkript

1 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär diffrntialkvation (DE) av första ordningn är n DE som kan skrivas på följand form Q( () Formn kallas standard form llr normalisrad form Om Q ( 0 får vi kvationn ( 0 (b) som kallas n linjär homogn DE av första ordningn Allmänna gnskapr: E Om ( 0 är n lösning till homogna DE (b) så är Y H ( ( dn allmänna lösningn till kvationn (b) E Om p ( är n lösning till ick-homogna DE () och Y H ( dn allmänna lösningn till tillhörand homogna DE (b) så är YH ( p( dn allmänna lösningn till () Empl i) Följand kvationr är linjära DE av första ordningn 4 sin( cos sin, 4 0 (linjär, homogn DE), 4 mdan är int linjär DE (ftrsom DE innhållr ) HOMOGENA LINJÄRA DE AV FÖRSTA ORDNINGEN En linjär homogn DE av första ordningn (b) kan vi lösa gnom att sparra variablr: 0 ( Notra först att konstantfunktion 0 är uppnbart n lösning Om 0 sparrar vi variablr : d d llr som vi intgrrar och får d Härav ln, P som vi kan skriva ( ) Sida av 5

2 Slutlign, om vi inför n n konstant D= har vi D (dn allmänna lösningn till lin homogna DE b) Notra att md D=0 är ävn dn konstanta lösningn, =0, inkludrad i dn allmänna lösningn Därför har kvationn (b) ingn singulär lösning Empl ii) Lös DE 0 cos Vi kan lösa DE gnom att sparra variablr, mn också att dirkt använda formln D som vi gr dn här gångn Md har vi cos D cos tan( D tan( D (*) D IKE-HOMOGENA LINJÄRA DE AV FÖRSTA ORDNINGEN () ( Q( Mtod Låt P ( och Q ( vara två funktionr som är kontinurliga på tt öppt intrvall I Dn allmänna lösningn till () på intrvallt I gs av formln ( Q( d (forml ) (Anmärkning : Formln finns i BETA, sidan 00 uppl 5:5) (Anmärkning : Formln gällr ndast om kvationn är skrivn på formn Q( Härldning: Vi kan härlda formln gnom Lagrangs mtod sk variation av konstant Dn tillhörand homogna kvationn ( 0 (b) har, nligt ovanstånd lösningn För att bstämma lösningn till ick-homogna kvation () btr vi kanstantn mot n (just nu okänd) funktion u ( Alltså ltar vi ftr lösningn på formn u( (*) Vi drivrar (*), u( u(, och substiturar i kvationn Dtta gr Sida av 5

3 u( u( u( Q( Härav u( Q( u( Slutlign, nligt (*), har vi u u( Q( P ( ( = Q Q( ( VSB Anmärkning Samma mtod användr vi för att lösa ick homogna linjära sstm av DE Mtod Ett sätt att lösa kvationn är att multiplicra () md n så kallad intgrrand faktor F A Oftast väljr vi ( för nklhts skull) A= dvs följand intgrrand faktor F () Eftr multiplicring får vi kvationn F ( F F Q(, som kan skrivas på formn ( F ) F Q( Härav F F Q( och slutlign ( F Q( d F () Man kan ävn skriva forml ( ) på följand sätt: ( Q( d (4) dvs vi har ign fått forml Anmärkning 4: Formlr och 4 kan används ävn för homogna fallt Om Q= 0 får vi ur forml 4 ( 0d dvs Dtta har vi rdan fått i (*) som dn allmänna lösningn för homogna kvationn Bgnnlsvärdsproblm Q( (B) 0) 0 Sida av 5

4 lösr vi nklast gnom att substitura 0 och 0 i dn allmänna lösningn och bstämma Man kan också använd följand forml som dirkt gr lösningn till bgnnlsvärdsproblm (B) 0 t ) dt ( 0 0 Q( t) 0 t ) dt dt) mn formln (*) har huvudsaklign tortiskt värd Eistns- och ntidight för bgnnlsvärdsproblm till n linjr DE: Låt och Q( vara kontinurliga funktionr på tt intrvall I=(a,b) Enligt intgralkalklns huvudsats, om och Q( är kontinurliga på I så istrar intgralrna i formln (som drivrbara funktionr) på hla I Därför formln (*) garantrar att dt finns akt n lösning på intrvallt I=(a,b) Lösningn är alltså dfinirad och på hla intrvallt I Entidigt på intrvallt I följr också från (*) Därmd har vi följand sats Eistns- och ntidightssatsn för bgnnlsvärdsproblm till n linjr DE Om och Q( är kontinurliga funktionr på tt intrvall I=(a,b) då har bgnnlsvärdsproblmt Q( (B) 0) 0 akt n lösning Lösningn är dfinirad på hla intrvallt (a,b) (*) Anmärkning: Skillnadn mllan istns- och ntdightssatsn satsr för linjära och icklinjära DE: Notra att istns- och ntdightssatsn för icklinjära DE ( sats ) garantrar istns ndast på tt litt intrvall ( 0 h, 0 h) runt punktn 0 mdan ovanstånd sats för linjära DE visar att lösningn istrar på hla I=(a,b) där och Q( är kontinurliga funktionr =================================================== Empl Lös följand diffrntialkvation md avsnd på ( (, 0 Först dlar vi kvationn ( md (standard form llr normal form) Därftr bstämmr vi P ( och Q ( :, Q( Sida 4 av 5

5 Mtod Vi kan dirkt använda forml (4) ( Q( d (4) Först ln [ftrsom 0] ln och därftr, nligt formln ( Q( ln ln d = ( d ( d ( d ( Mtod Intgrrand faktor För att bstämma intgrrand faktor F bräknar vi Lägg märk till att n konstant rdan finns i forml () så att vi bhövr ndast n primitiv funktion ln [ftrsom 0] ln och därför F ln Vi kan multiplicra kvationn md dn intgrrand faktorn och får ( som kan skrivas d ( F ) F Q( dvs d ( ) Härav dvs och slutlign ( llr Mtod Dn intgrrand faktorn substiturar vi i forml () ( F och får ( ( ( ( ( F Q( d d d ( ( (, Sida 5 av 5

6 Empl Lös följand diffrntialkvation md avsnd på ( ( sin( cos 5 (, 0, Q(, 5 sin cos sin sin cos sin cos tan cos cos [substitution tan t, dt cos dt ln t t ( ) ln tan ln(tan ( notra att rdan finns i formln ) Anmärkning 5: tan tan ftrsom 0 Anmärkning 6: För att bräkna ovanstånd intgral sin sin använda Bta upp 5:5, formln 7 sidan 69: ln tan sin a a Intgrrand faktor F: ln(tan F tan Dn intgrrand faktorn substiturar vi i forml () ( F ( F Q( d sin ( tan d ( 5 tan cos d 6 tan cos cos t { Intgraln bräknar vi md substitutionn : sin dt sin dt } cos t 5t 5cos ( ) tan 5cos 5 kan du tan 5cos 5 ÖVNINGAR Uppgift Sida 6 av 5

7 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Btraktaa följand diffrntialkvation md avsnd på ( (, a) Bstäm dn allmänna lösningn b) Bstäm dn lösning som satisfirar s villkort ) c) Bstäm dn lösning som satisfirar villkort ) Ang dn största dfinitionsmängdn för lösningn i b- rsp c-frågan Vi användr formln ( ) P ( Q ( d Först bräknar vi ln För att bli av md absolutbloppt btraktar vi två fall Fall, > 0 gr P ( ln ln och därmd blir P ( ln ln Formln gr ln ( ln d ( d ( ) Fall, < 0 gr P ( ln ln och därmd blir ln ln( (ftrsom omm <0) Formln gr ln( ln( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Fall gr samma lösning som Fall Notra att vi kan bta n godtckligg konstant D mot n n konstant D och skriva Svar a) dn allmänna lösningn är b) Villkort ) gr = och därförr Lösningn som går gnom punktnn (,), där har tt positivt värd, är int dfinirad för =0 Dn största dfinitionsmängdnn för lösningn är >0 Sida 7 av 5

8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 c) Villkort ) gr dvs = 4 och därför ( 4 Lösningn som går gnom punktn (, ), där har tt ngativt värd, är int dfinirad för =0 Dn största dfinitionsmängdn för lösningn ärr < 0 a) b), >0 c) 4, < 0 Uppgift Lös följand DE md avsnd på a) (, 0 b) ( cos sin cos, a) Först dlar vi kvationn ( ) md och får ( (standard form) Därftrr bstämmr vi P ( och Q ( : P (, Q( ) För att bstämma intgrrand faktor F bräknarr vi d Lägg märk till att n konstantt rdan finns i forml () så att vi v bhövr ndast n primitiv funktion P ( ln [ftrsom 0] ln och därför F ln Dn intgrrand faktorn substiturar vi i forml () F ( F Q( d ( ) ( ) ( ) ( ) Sida 8 av 5

9 Svar a) b) Från kvationn cos sin cos får vi cos, Q( sin cos cos sin Intgrrand faktor F: sin F Dn intgrrand faktorn substiturar vi i formln ( F ( F Q( d sin sin ( sin cos d { Intgraln bräknar vi md substitutionn : sin cos sin t t t t dt [part int] t sin sin sin sin ( sin ) sin sin sin Svar b) sin sin sin } sin t cos dt Uppgift a) Lös följand DE md avsnd på, ( 0) Bstäm också lösningns (största) dfinitionsintrvall b) Kan man bstämma lösningns dfinitionsintrvall utan att lösa problmt?, Q( ( Intgrrand faktor F: F Dn intgrrand faktorn F substiturar vi i formln ( F och får ( F Q( d Sida 9 av 5

10 ( d ( d ( ( dn allmänna lösningn) Bgnnlsvillkort, ( 0), gr 0 ( 0) Därmd ( som är dfinirad på (, ) b) Eftrsom och Q( är kontinurliga på intrvallt (, ) kan vi (md hjälp av istns- och ntidightssatsn för bgnnlsvärdsproblm till n linjr DE ) dra slutsatsn att lösningn är dfinirad och ntdig på intrvallt (, ) a) (, lösningns (största) dfinitionsintrvall är (, ) b) Ja Uppgift 4 Bstäm dn allmänna lösningn till diffrntialkvation Vi användr formln F ( F Q( d där, Q( Först bräknar vi Lägg märk till att n konstant rdan finns i forml () så att vi bhövr ndast n primitiv funktion Alltså F Dtta substituras i formln F ( F Q( d och fås ( ( d ( Intgral löss md subst: t ) ( ) ( ( Sida 0 av 5

11 Uppgift 5 (Stckvis dfinirad kofficint) Bstäm n funktion som är kontinurlig på intrvallt ( 0, ) som satisfirar (0,) 5, ( ) 0 (, ) Vi har faktiskt två diffrntialkvationr i intrvallt (0,) och 0 i intrvallt (, ) Första kvationn har dn allmänna lösningn ( använd t intgrrand faktor) Andra kvationn har dn allmänna lösningn D 5 Bgnnls villkort ) användr vi på andra kvationn (ftrsom liggr i intrvallt 5 D (, )) Vi har D 0 4 Därför är 0 om [, ) Kravt att ska vara kontinurlig på intrvallt ( 0, ) btdr också att ska vara kontinurlig i punktn = Därför gällr ) lim lim Därmd ) lim lim0 0 Dtta användr vi för att bstämma i lösningn som liggr till vänstr om punktn = 9 Från lim = () =0 har vi 0 llr Därför 9 i intrvallt (0,] Därmd är 9 (0,] 0 [, ) dn kontinurliga funktion som satisfirar dn givna DE (i varj dlintrvall) Anmärkning 7: Funktionn 9 (0,] är int drivrbar i punktn ftrsom 0 [, ) Sida av 5

12 vänstr och högrdrivatan är int lika i dnna punkt Därför kan vi int formllt kalla för lösningn övr hla intrvallt ( 0, ) Vi sägr att dn är lösning till DE övr varj av d två öppna dlintrvall (0,) och (, ), och kontinurlig i punktn = 9 0 (0,] [, ) ========================================== IKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFIIENTER I HOMOGENA DELEN OH ENKLA HÖGERLED Dn dln kan btraktas som rptition ftrsom fallt har undrvisats i kursn SF65, Envariablanals Ekvationr av följand tp a f ( (kv c) där a är n konstant och högrldt f ( är n funktion av följand tp: a a a polnom P n (,, sin b, cos b, P ( sin b, P ( cos b llr, mst gnrllt, n a ( Pn ( sin b Qm ( cos b kan vi lösa snabbt md hjälp av dn karaktristiska kvationn och n lämplig ansats ( Alla sådana kvationr kan man självklart lösa md (forml ) llr md intgrrand faktor) Dn allmänna lösningn till kvation () är ( ( H p där H ( är dn allmänna lösningn till dn homogna DE () och p ( är n partikulärlösning till DE () För att lösa homogna DE md konstanta kofficintr ( a 0 användr vi ansats r som vi substiturar i homogna DE och får r r r a 0, förkortar mn, och får r a 0 (Dn karaktristiska kvationn till homogna DE md konstanta koff) r a Härav r a och därför är n lösning till homogna dln Därmd är a H dn allmänna lösningn till homogna dln En partikulär lösning till hla kvationn a f ( (kv c) får vi gnom ansatsn p ( som är n funktion av samma tp som högrldt där polnom har obstämda kofficintr n Sida av 5

13 Rsonansfall: Vid insättning av n standard ansats för p ( kan dt hända att polnomts grad i vänstrldt blir mindr än polnomts grad i högrldt grad Ett sådant fall kallar vi rsonansfall Vi klarar rsonansfall ( i n linjär DE av första ordningn, md konstanta kofficintr) gnom att använda n n ansats q p( där ( p är dn tidigar använt standardansatsn Altrnativt kan vi klara rsonansfall md hjälp av formln Uppgift 6 Bstäm dn allmänna lösningn till diffrntialkvation a) md hjälp av dn karaktristiska kvationn och n lämplig ansats för p ( b) Md hjälp av forml ( llr n intgrrand faktor) a) Först homogna DE 0 Dn homogna dln har konstanta kofficintr och därmd får vi använda mtodn mdkaraktristiska kvationn: r 0 r som gr n lösning och dn allmänna lösningn H Partikulärlösning: Högrldt är tt polnom av första gradn dvs dn tp som vi kan klara md hjälp av ansatsn Vi försökr md ansatsn p A B Vi drivrar p A, substiturar i kvationn och får A ( A B) llr A A B Härav A = och A+B = 0 dvs B = Därför p A B Slutlign H ( p( är dn allmänna lösningn till (hla) DE b) Samma kvation kan vi lösa md hjälp av intgrrand faktor: Eftrsom P (, har vi P F ( ) Därmd F ( F Q( d ( d = (partill intgration) ( d = ( ) Uppgift 7 Vi btraktar kvationn 0 a) Vad är flt i följand lösningsmtodn : Karaktristiska kvationn r 0 gr r och därmd blir dn allmänna lösningn b) Lös kvationn på tt korrkt sätt Sida av 5

14 a) Mtodn md karaktristiska kvationn kan användas ndast om homogna DE har konstanta kofficintr Kofficintn som står framför är int konstant d b) Vi kan sparra variablr ( skriva som ) och intgrra, llr dirkt använda formln H Uppgift 8 Vi btraktar kvationn, > 0 Dn homogna dln 0 ( ) P ln har lösningn H A a) Kan vi finna n partikulär lösning md ansatsn p b) Lös kvationn, > 0 a) Nj ftrsom mtodn md ansatsn gällr om följand två villkor är uppfllda: homogna dln har konstanta kofficintr och högrldt är n är n funktion av följand tp: a a a polnom P n (,, sin b, cos b, Pn ( sin b, Pn ( cos b llr, mst gnrllt, a ( Pn ( sin b Qm ( cos b I vårt fall är ingn av d två villkor uppflld b) Använd forml llr intgrrand faktor Intgrrand faktor F: ln ln ln( ) F ( 0) Dn intgrrand faktorn F substiturar vi i formln ( F ( F Q( d och får ( d ( d ( ) ( dn allmänna lösningn) Uppgift 9 Bstäm dn allmänna lösningn till diffrntialkvation Lös följand DE md avsnd på ( a) 6 5 b) 4 0 c) 4 d) 6 4 a) Lösning till dn homogna kvationn: Ansats för n partikulär lösning: p A H c 8 Sida 4 av 5

15 En partikulär lösning: p 5 / 6 8 Dn allmänna lösningn : c 5/ 6 8 c 5/ 6 b) Lösning till dn homogna kvationn: H c Ansats för n partikulär lösning: p A B En partikulär lösning: p Dn allmänna lösningn : c c c) Lösning till dn homogna kvationn: H c Ansats för n partikulär lösning: p A B En partikulär lösning: p c 4 6 d) Lösning till dn homogna kvationn: H c Ansats för n partikulär lösning: p A B En partikulär lösning: p 4 c 4 Lös följand DE md avsnd på ( a) 0 b) 4 (4 4) 4 a) Lösning till dn homogna kvationn: Ansats för n partikulär lösning: p A En partikulär lösning: p c H c b) Lösning till dn homogna kvationn: Ansats för n partikulär lösning: En partikulär lösning: c ( ) p p ( ) 4 H c ( A B) 4 4 Sida 5 av 5