Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y"

Lucas Håkansson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Diffrnilkvionr, lndd ml DIFFERENTIALEKVATIONER, BLANDADE EXEMPEL Ugif i Bsäm y [srl DE, linjr DE, homogn konsn llr ickkonsn kofficinr ] för ndnsånd diffrnilkvionr ii Bsäm dn llmänn lösningn ill vrj DE y y 0 y y 0 c y y 0 Svr: i Homogn linjär md konsn kofficinr mn också srl ii y i Homogn linjär md ick-konsn kofficinr mn också srl ii y c i srl j linjär frsom kvionn innhållr y y ii llr y llr y ± 0 D Ugif Bsäm y och dn llmänn lösningn ill följnd DE y y 0 y y c y y d y y sin Svr: i Ty: linjär DE md konsn kofficinr i homogn dln mn också srl y 0 y d 0 y ii Dn llmänn lösningn är y i Ty: Båd srl och linjär DE All kofficinr i homogn dln är in konsnr och därmd kn vi INTE nvänd krkrisisk kvionn för lös homogn kvionn Isäll nvändr vi modn md ingrrd fkor ii Dn llmänn lösningn är y c i Ty: Srl DE Ej linjär frsom d finns y i kvionn ii Dn llmänn lösningn är y d i Ty: Linjär DE md konsn kofficinr i homogn dln Ej srl ii Dn llmänn lösningn är y sin cos Ugif Bsäm dn lösning ill y y som sisfirr y 0 Sid v 7

2 Diffrnilkvionr, lndd ml Svr: y Ugif Bsäm dn lösning ill följnd diffrnilkvion, > 0 som sisfirr villkor Vi nvändr formln F F Qd där P d F sk ingrrnd fkor Förs räknr vi P d d ln ln ngnd >0 ln F P d ln Formln gr F F Qd d d ln ln Villkor gr 0 och därför ln Svr: ln Ugif Lös följnd diffrnilkvion y y Ang lösningn å lici form Lös följnd diffrnilkvion y y cos y sin Bsäm ävn vnull singulär lösningr y y Anmärkning: Vi dlr kvionn md y om uryck är skil från 0 Susiuionn y /, y 0 i kvionn visr dn konsn funkionn y / är också n lösning En sådn lösning klls singulär om dn in kn fås ur dn llmänn lösningn Sid v 7

3 Diffrnilkvionr, lndd ml y y y ln y y y ± y D y d d ln y D y Anmärkning: Formln innhållr också dn konsn lösningn y / om D0; llså ingn singulär lösning i d fll 0 D Svr : y är dn llmänn lösningn å lici form, ing singulär lösningr y y cos y sin y cos y sin d y cos sin d Vi dlr kvionn md y om uryck är skil från 0 Susiuionn y, y 0 i kvionn visr dn konsn funkionn är också n lösning ill kvionn En sådn lösning klls singulär om dn in kn fås ur dn llmänn lösningn cos sin d y cos sin d y ln y sin cos sin cos y sin cos y ± sin cos y D sin cos Dn llmänn lösningn är llså y D Anmärkning: Formln innhållr också dn konsn lösningn y om D0; llså ingn singulär lösning i d fll Svr : Dn llmänn lösningn är y sin cos D, ing singulär lösningr Sid v 7

4 Diffrnilkvionr, lndd ml Ugif 6 Lös följnd DE y y y y y c y y sin d y y cos Svr: y y y Ugif 7 Bsäm dn lösning ill Svr: y 9 y som sisfirr y 0 0, y 0 Ugif 8 Lös följnd diffrnilkvionr md vsnd å y y 6 y y 0 7 y y y 8 c y y rsonnsfll Svr : y 8 Svr : y sin cos Lösning c: Dn krkrisisk kvionn: r r 0 r r 0 r 0, r och därför hr vi homogn dln: YH Anss: y A B y A B y A B y A Susiuionn i kvionn y y gr A A B, Härv A, B0 och därför y Svr c: y Ugif 9 Använd susiuionn z sin y för lös följnd ick-linjär kvion n y y cos y π md vsnd å y Vi nr 0 < y < z sin y z cos y y Om vi mulilicrr DE md cos y får vi sin y y cos y * Susiuion i kvionn * gr n linjär DE md vsnd å z Sid v 7

5 Diffrnilkvionr, lndd ml z z ** P d P d Vi nvändr formln z Q d och får z Efrsom z sin y hr vi y rcsin z dvs y rcsin Svr: y rcsin Ugif 0 Använd susiuionn z y för lös följnd ick-linjär kvion y y y md vsnd å y, där och är rll konsnr z z y z yy y y Susiuion i kvionn gr z y y Efr mulilikion md y for vi y z y och frsom y z ill slu n linjär DE md vsnd å z z z P d P d Vi nvändr formln z Q d Förs Pd d och därför: z d z z Härv y ± Sid v 7

6 Diffrnilkvionr, lndd ml Svr: y ± Ugif En rikl rör sig längs n rä linj md hsighn v Acclrionn är lik md v Bsäm v om v0 0 Enlig ugifn gällr v Efrsom v hr vi följnd kvion, v v som vi lösr gnom srr vrilr: dv dv v d d v Vi ingrrr kvionn: dv v Vi lösr u v d v ln v Dn llmänn lösningn å imlici form v ln v v v v D v v D v vd v v D D D D v Dn llmänn lösningn å lici form D Slulign sämmr vi D, D v00 0 D D v dn rikulär lösningn som sisfirr gynnlsvillkor Svr: v Ugif Lddningn i ndnsånd LR krs sisfirr följnd DE L R U kv Sid 6 v 7

7 Diffrnilkvionr, lndd ml Bsäm lddningn om L hnry, R ohm, 6 frd och U vol, i00 mr och 0 coulom Efr sus L, R och i kvionn U R L hr vi 6 kv Härv H Prikulärlösning: A A A Susiuion i kv gr / 6 A A A A A Härv: Bgynnls villkorn: 0 och i i gr och 0 gr / och Allså Svr: Sid 7 v 7

Relevanta dokument

TENTAMEN Datum: 19 aug 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000

TENTAMEN Datum: 19 aug 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000 TENTAMEN Dum: 9 ug 08 TEN: Dffrnlkvonr, kompl l och Tlors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000, L000 Skrvd: 8:-: Hjälpmdl: Bfog formlld och mnräknr v vlkn p som hls Lärr: Armn Hllovc Dnn nmnslpp får j hålls