TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

Transkript

1 TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar gränsvärdt. Vi har arctan d, vilkt innbär att gränsvärdt =. 5 P.0 RIT FÖRST EN RELEVNT FIGUR! Tältdukns ara (som dn bskrivs i uppgitsttn) är och h = clindrns höjd. πr πrh, där R särns (och clindrns) radi πr Ur dtta lösr vi ut h och år h πr πr Tältts volm V πr h, och rsättr vi h md uttrckt ovan år vi tr örnkling π π V V( R) R R R R md dinitionsmängdn 0 R (där gränsrna ås då V 0 ) π Drivring gr V ( R) πr 0 R π, där nbart R liggr i dinitionsområdt ör V. π Vi har alltså dn stationära punktn R, som är n lokal maimipunkt (Visas int här mn du skall själv π visa dtta md hjälp av drivatans tcknschma!!!) Vi har ävn att lim V( r) lim V( r) 0, så R gr största volmn ör tältt då R R0 π πr h πr maimal volm R π π (llr då = 0 (visa dtta!)) Volmn är alltså störst då tältt (nbart) har ormn av n halvsär, vilkt gr π π Vi kan ävn bräkna (svårar) V Svar: V ma P.7 Ej ullständig lösning! Vad attas? ma V Sätt = antalt 50-lappar som prist ökas md π Då blir vinstn = V ( ) (50 50)( 80 ) (80 ) Ntt pris ntalt uthrda Kostnad ör Kostnad ör rum tr höjning outhrda rum uthrda rum Drivra dtta och bstäm (vntulla) stationära punktr. Här inns bara dn stationära punktn 5. 8 ). Visa att dtta värd gr maimal vinst gnom att studra drivatan i tt (sdvanligt) tcknschma.

2 P.8 ( ) cos gr oss ( ) sin 0 ör 0 (s Kap i kursbokn) md likht ndast ör 0. Etrsom är kontinurlig ör 0 och ( ) 0 ör 0, md likht ndast i nstaka punktr, så är alltså strängt väand ör 0, v.s.v. P. b) Vi har ( ) arctan ln arctan ln arctan ln,, 0 0 För att undrsöka gränsvärdt då 0 skrivr vi om ör 0, t obsrvra att gränsvärdt är på dn obstämda ormn. Vi har ( ) arctan ln arctan ln ln( ) 0 ln arctan ln( ) då 0 0 ln0 På motsvarand sätt år vi ör 0 (Obsrvra att gränsvärdt är på ormn ( ) arctan ln då 0 (nm: ävn trmn 0 Etrsom då, vilkt int är obstämt) : 0 ) () då 0 och () 0 så är linjn 0 vrtikal asmptot. Vidar gällr dt att () då. En sdvanlig undrsökning av vntulla snda asmptotr (GÖR DET!) visar att sådana int inns. Etr örnklingar av rspktiv drivata har vi: För 0 har vi ( ) , d.v.s. är stationär punkt. ( ) För 0 har vi också ( ) 0, d.v.s. är stationär punkt. ( ) Sdvanligt tcknschma visar att är n lokal maimipunkt och gr n trrasspunkt. Vi har π ( ) ln π ln 0 och π ( ) ln π ln 0 t ln ln Kurvan skissas: smptot: 0 Lokalt ma: ( ) π ln

3 P. (Jämör md E 8 rån Förläsning 7) Sätt ( ) arctan( ) arctan arctan. tt visa: ( ) 0 ör alla R Vi drivrar och år ( ) = ( ) ( ) liknämnigt!) (UTFÖR FÖRENKLINGEN Gör t.. Vi har alltså ( ) 0 ör alla R. Då är ) C ( konstant. Vi bstämmr C ( 0) arctan arctan0 arctan 0. lltså gällr att ( ) 0 ör alla R, v.s.v. nm: Om man utnttjar att arctan arctan ör 0 så år man lättar drivringar och örnklingar. P.5 Vi har lim sin 0 (0) (Gränsvärdt = 0, t sin 0 då 0 trsom 0 och sin är 0 bgränsad, spcillt ävn kring 0 ). lltså är kontinurlig övrallt. Vidar har vi att dt ör 0 gällr att ( ) sin sin 0 0. Dtta innbär prcis, nligt dinitionn av lokalt minimum, att har lokalt minimum i 0, v.s.v. P.6 Vi har ( ), vilkt innbär att tangntns lutning i punktn,a samma punkt är då k N. a Ur dssa villkor år vi i punktn a,a Tangntns kvation: aln) Normalns kvation: md -aln) a, a 0, är T a ( a) a T(0) a (tangntns skärning md - a Dn bskrivna triangln har alltså aran (s igur) Trianglns bas Trianglns höjd a a a a ( a) a a N ( a) a (0) a N (normalns skärning 5, a ( a) 0a 0 0a a a Dtta gr minsta ara (VIS DETT) min k T a. Normalns lutning i Svar: Trianglns ara kan anta alla värdn

4 P.8c) Låt ( ) arctan ln( ) ( ) 0 har. Vi har, D, lim ( ), vilkt innbär att linjn lim ( ) (t arctan är bgränsad mdan ln( ) ). Vi drivrar: ) (, och vi skall alltså undrsöka hur många rlla lösningar kvationn är n lodrät asmptot till kurvan (). Vidar är ) ( ( ) Tcknstudium (UTFÖR DETT!) visar att 0 är n lokal minimipunkt md ( 0) 0 och är n lokal maimipunkt md ( ) π ln 0 trsom ( 0) 0 och är strängt väand ör 0 (s tcknschmat som du själv gjort). D, så antar värdt 0 prcis två gångr nligt utrdningn ovan Etrsom är kontinurlig på komplttrad md gran () ndan. P.0 Sätt ( ) ln, tt visa: ( ) 0 ör. är kontinurlig och drivrbar. ( ) 0 ör ( ) 0 ör trsom täljarn är ngativ och nämnarn är positiv ör. Etrsom är kontinurlig och ( ) 0 så är strängt avtagand ör. Dtta mdör att ( ) 0 ör, v.s.v. nm : Om vi iställt sättr g( ) ln skall vi visa att g ( ) 0, d.v.s. vi skall på motsvarand sätt som ovan visa att g strängt väand ör. P. arcsin har dinitionsmängdn, ( ) D. π Vi har i ändpunktrna ( ) 0 rsp. ( ) π 0. Vidar har vi ( 0). Dssutom har kurvan inga asmptotr. För att å ram v. stationära punktr drivrar vi: π ( ) 0 md arcsin 6

5 Tcknstudium (UTFÖR DETT) visar att är strängt väand ör och strängt avtagand ör, d.v.s. är n lokal maimipunkt. nm: Gnom att studra (), kan man visa att kurvan är konkav på hla sin dinitionsmängd. (Dock ingt krav här.) ör Svar: π Lokalt ma, 6 V π π, 6 P.5 ( ) aln, 0. a a Vi har ( ). Tcknt på () avgör v. monotonitt. Etrsom 0 räckr dt att tcknstudra drivatans täljar. Låt g( ) a. Vi har då lim g( ) lim g( ) a. Vidar är g( ) ( ) 0. Vi år 0 g( ) a, som är tt lokalt minimivärd (GÖR TECKENSTUDIUM V g () ). Några andra trmvärdn har int g. Vi har alltså nligt ovan att a g( ) a, vilkt innbär att g ( ) 0 om a och g ( ) 0 om a 0. Enligt ovan avgörs tcknt ör () av tcknt hos g (), och därmd är strängt väand om a och strängt avtagand om a 0, d.v.s. vi har svart: är monoton om a llr a 0. nm: Ndan är g() ritad ör i tur och ordning a, a, a 0, a 0.