NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2

Transkript

1 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Fördlning Rktangl (uniform, likformig) Eponntial Frkvnsfunk. f (), a b b a 0 för övrigt Fördlningsfunk. F () a, b a 0 om om 0 a b a b Väntvärd a b Varians ( b a) Normal ( ) ( t ) Uppgift. En stokastisk variabl är rktangulärfördlad och har frkvnsfunktionn 0, 0 f ( ) h, 0 0 0, 0 a) Bstäm konstantn h. b) Vad är sannolikhtn att 0? c) Bstäm väntvär och variansn för. a) 0 ( Man kan använda ovanstånd forml för frkvnsfunktionn llr, altrnativt, rita rktangln och bstämma h så att aran mllan -aln och blir. ) av 7

2 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning b) 0 ) = (Rktanglfördlning) 0. Altrnativt kan vi använda fördlningsfunktionn rktanglfördlning 0 0 c) Väntvär 5 Variansn Uppgift. En lktronisk komponnt harr ponntialfördlad livslängd ξ md mdlvär 3 år. a) Bstäm paramtr λ för ponntialfördlningn. b) Bräkna sannolikhtn att n komponnt har livslängdn. c) Vad är sannolikhtn att av 5 sådana komponntr högst n har h livslängdn? a) Samban mllan väntvär och paramtrn λ i n ponntialfördlning ( s ovanstånd forml) är Väntvär:. Härav 3 λ Därmd ξ. b) P c) Låt η vara antalt komponntr md livslängdn blandd d 5. Då gällr η Bin5, p där p= η = =0.047 av 7

3 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning i) NORMALFÖRDELNINGEN (GAUSSFÖRDELNINGEN) Om n s.v. ξ har frkvnsfunktionn f ( ) ( ), där 0 sägrr vi att ξ är normalfördlad och btcknar, Fördlningsfunktionn btcknar vi md. Empl: ii) DEN STANDARDISERADE NORMALFÖRDELNINGENN Låt η vara n normalfördlad s. v. md 0 d v s 0, Då är η dn så kallad STANDARDISERADE NORMALFÖRDELNINGENN Täthtsfunktionn (=frkvnsfunktionn)) är (), Tillhörand fördlningsfunktion btcknar vi md. ETT VIKTIGT SAMBAND mllan fördlningsfunktionn för n normalfördlad s. v, och standardisrad fördlningsfunktionn är F( ) ( ) 3 av 7

4 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning Dtta samband härldr vi md hjälp av variablbyt i intgralnn F ( ) Vi substiturar t Nya gränsr: Alltså dvs F( ) ( ) v.s.v. Vi kan bräkna F () md hjälp av samban F() ( ) och n tabll för. (Vi upprpar att är fördlningsfunktionn för standardisrad normalfördlningn N(0, )) Empl. f ( t) v Bstäm P 0.34 ( t ) och därmd t v ochh t v v F( ) f ( t) dv dv. dv v dv ( ) Vi användr följand tabll ( mdd positiva Formlr och tabllr i statistik ) i formlsamlingn Tabll 5: Normalfördlningn, N ( 0,), positiva -värdn, 0 ( ) ( ) ( ) t 0 0,0 0,0 0,03 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,09 0,5359 0,5753 0,64 0,657 0,6879 0, = 0.34 = av 7

5 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning Empl. Bstäm P 0.4 Vi användr följand tabll ( mdd ngativa ) i formlsamlingn Formlr och tabllr i statistik Tabll 6: Normalfördlningn, N ( 0,), ngativa -värdn, 0 t ( ) - 0,0-0, - 0, - 0,3-0,4-0,5. 0 0,5000 0,460 0,407 0,38 0,3446 0,3085 0,0 0,0 0,033 0,04 0,05 0,4960 0,490 0,4880 0, ,480 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,468 0,49 0,4090 0,405 0,403 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3409 0,337 0,3336 0, ,364 0,3050 0,305 0,98 0,946 0,9 0,06 0,07 0,08 0,09 0,476 0,47 0,468 0,464 0,4364 0,435 0,486 0,447 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3594 0,3557 0,350 0, ,38 0,39 0,356 0,3 0,877 0,843 0,80 0,776 Svar: P 0.4= 0.4 = Uppgift 3. Låt 0,. Bstäm ( md hjälp av tablln för fördlningsfunktionn till standardisrad normalfördlning, sidor 3-4 i formlsamlingn) följand sannolikhtr: a).4 ).3 b).4 f) ).3 c).4 g) h) d).4 a).4 =.4 = b).4 = ( kontinurlig s.v) =.4 =.4 = c).4 =.4 =.4 = d).4 ( kontinurlig s.v) =.4 =.4 = ).3 =.3 =0.093 f).3 = g) = = h) 0.6. =. 0.6 = av 7

6 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning Uppgift 4. (Invrsn till () ) Låt 0,. Bstäm så att a) b) Mtod. Vi användr sidor 3-4 i formlsamlingn. a) Vi har ( ) och sökr. Från tablln väljr vi sannolikhtn som är närmast och ta är 0,8770. Motsvarand är.6. Svar a).6 b) 0.7 Mtod. a) Vi har ( ) och sökr. Vi avrundar () till två dcimalr, ( ) användr tablln på sida 5 som dirkt gr invrsn till (). Vi får =.75. b) ( ) Från tablln på sida 5 får vi (Notra skillnadn i svarn md mtodrna och. Båda svar är faktiskt approimativa, och accptras på tntamina och KS.) Uppgift 5. Låt 0,. Bstäm följand sannolikhtr: a) b) 8, c) 8 d) 8. Vi användr där 0, dvs 0 a b c) d) Uppgift 6. Låt 50,. Bstäm ( btingad) sannolikhtn att 49 om vi vt att Vi btcknar md A händlsn 49 6 av 7

7 Likformig, Eponntial-, Normalfördlning och md B händlsn 47 5 Vi ska bstämma. Eftrsom, först bräknar vi och Därför Ndanstånd uppgift visar att tt normalfördlad s.v. N(, ) liggr i intrvallt [, ] md 95.4% sannolikht. Uppgift 7. Låt,. Bstäm sannolikhtn Svar: Uppgift 8. Låt,. Bstäm sannolikhtn Svar: av 7