Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI2 den 27 maj 2010

Transkript

1 Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI den 7 maj 010 Uppgift 1: rik och Simon har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket innebär att man kastar pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att rik träffar tavlan med sannolikheten 0.7 medan Simon oberoende av riks resultat träffar tavlan med sannolikheten 0.4. De båda vännerna kastar var sin pil mot tavlan samtidigt. a) Anta att endast en pil träffar tavlan. Vad är sannolikheten att det är Simon som har kastat den? b) Anta att tavlan träffas av minst en pil. Vad är sannolikheten att Simons pil har träffat den? Uppgift : I figuren nedan är A, B och C reläer som är slutna med sannolikheterna 0.6, 0.4 respektive 0.3. L 1 och L betecknar två lampor som är inkopplade i det elektriska systemet. Händelserna att de olika reläerna är slutna är oberoende. L 1 C B L A a) Beräkna sannolikheten att ingen av lamporna L 1 och L lyser. b) Beräkna sannolikheten att exakt en av lamporna L 1 och L lyser. Uppgift 3: Antal tankfartyg som ankommer till en bestämd hamn under loppet av en dag har visat sig vara Poissonfördelat med parametern λ. Hamnen kan maximalt betjäna 3 tankfartyg dag. De tre först ankomna blir betjänade, eventuellt övriga blir omdirigerade till en annan hamn. a) Bestäm sannolikheten för att det en bestämd dag kommer att omdirigeras fartyg till en annan hamn. b) Hur stor kapacitet bör hamnen byggas ut till för att med minst 9%:s sannolikhet kunna betjäna samtliga fartyg som ankommer en bestämd dag? Uppgift 4: Håkan säljer julgranar till jul. Han har funnit att det är liten efterfrågan på stora granar (minst 4 meter höga). Han bedömer efterfrågan på följande sätt: Fortsättning uppgift 4 på nästa sida

2 Fortsättning uppgift 4: Antal efterfrågade stora julgranar sannolikhet Han köper dessa granar för 30 kr styck och säljer dem för 90 kr. Vidare kostar det honom 10 kr att bli av med en sådan gran, som han inte lyckas sälja. Hur många granar av denna typ bör han skaffa för att hans förväntade vinst skall bli så stor som möjligt? Uppgift : n transistors livslängd (i år) antas vara exponentialfördelad med en genomsnittlig livslängd på 8 år. a) Vad är sannolikheten att den håller i minst 10 år? b) Anta att den är hel efter 4 år. Vad är den betingade sannolikheten att den håller i ytterligare 10 år? Uppgift 6: Dygnsmedeltermperaturen i juli i Luleå varierar från år till år och kan anses vara en stokastisk variabel ξ med väntevärde 18 och standardavvikelse, där temperaturen är angiven i o C. För att hjälpa amerikanska turister vill man räkna om ovanstående värden till o F. Om ξ är temperaturen i o C så är η 9ξ / + 3 motsvarande temperatur i o F. Bestäm väntevärde och standardavvikelse till η. Uppgift 7: Livslängden för en viss sorts batteri kan ses som en normalfördelad variabel med väntevärdet 40 timmar och standardavvikelsen timmar. tt batteri används tills det går sönder varvid det omedelbart byts ut mot ett nytt. a) Vad är sannolikheten att livslängden hos ett batteri skiljer sig från väntevärdet med minst timmar? b) I en fabrik har man köpt in sådana batterier vars livslängder är oberoende. Beräkna sannolikheten att fabriken har minst 1097 timmars användningstid totalt från dessa batterier. c) Vad är sannolikheten att ett sådant batteri (enligt antagande om normalfördelning) är urladdat redan vid inköpet? (8 poäng) Uppgift 8: På en byggarbetsplats kör man sand med en skottkärra från ett sandupplag till betongblandaren. Mängden sand per lass varierar på ett sådant sätt att lassvikterna kan ses som oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärdet 100 kg och standardavvikelsen 0 kg. n viss dag behöver man 000 kg. Anta att man denna dag beställer 1 kärror sand. Hur stor är sannolikheten att den kvantitet sand man då får uppgår till minst 000 kg?

3 Lösningar till tentamen i matematisk statistik för MI 11/1-0 Uppgift 1: S Simon träffar tavlan rik träffar tavlan P(S) 0.4 P() 0.7 C S P( S) P( C S) P(S) 0.4 S C P( S C ) P( C S C ) P(S C ) 0.6 P() 0.7 P( C ) C S S C a) Det har blivit precis en träff. C S S C P(S precis en träff) P(S precis en träff) P(precis en träff) C P(S ) (oberoende) C C P(S ) + P(S )

4 b) Det har blivit minst en träff. C S S C P(S minst en träff) P(S minst en träff) P(minst en träff) P(S) (oberoende) 1 P(ingen träff) P(S) C 1 P(S C ) Uppgift : Använd beteckningarna A A är sluten B B är sluten C C är sluten P(A) 0.6 P(B) 0.4 P(C) 0.3 a) P(L 1 lyser) P(B C) P(B) P(C) P(L 1 lyser inte) P(L lyser inte) P(A C ) P(ingen lampa lyser) P(L 1 lyser inte L lyser inte) b) P(exakt en lampa lyser) P(L 1 lyser L lyser inte) + P(L 1 lyser inte L lyser) Uppgift 3: ξ antal tankfartyg per dag ξ är Po(λ) a) P(ξ > 3) 1 P(ξ 3 ) 1 e - ( ) ! 1!! 3! b) Beräkna minsta värdet på A så att P(ξ A) 0.9 Det enklaste är givetvis att pröva sig fram. Man får ganska enkelt att 0 1 P(ξ 4 ) 1 e - ( ) ! 1!! 3! 4! 0 1 P(ξ ) 1 e - ( ) ! 1!! 3! 4!! Det krävs alltså att hamnen kan betjäna minst tankfartyg på en dag

5 Uppgift 4: ξ antal efterfrågade granar I inköpskostnad η total försäljningssumma ζ kostnad för att bli av med osåld gran Förväntad nettovinst ) (η ζ) I Köp av 1 gran: I 30 kr ξ x P(ξ x) η ζ Förväntad nettovinst (η ζ) I kr Köp av gran: I kr ξ x P(ξ x) η ζ η ζ (η ζ) Förväntad nettovinst (η ζ) I kr Köp av 3 gran: I kr ξ x P(ξ x) η ζ η ζ (η ζ) Förväntad nettovinst (η ζ) I kr Köp av 4 gran: I kr ξ x P(ξ x) η ζ η ζ Fortsättning uppgift 4 på nästa sida

6 Fortsättning uppgift 4 (η ζ) Förväntad nettovinst (η ζ) I kr Köp av gran: I kr ξ x P(ξ x) η ζ η ζ (η ζ) Förväntad nettovinst (η ζ) I kr Håkan maximerar sin förväntade vinst om han köper in 4 granar. Uppgift : ξ livslängd ξ är xp(λ 8 1 ) eftersom (ξ) λ a) P(ξ > 10) 1 P(ξ 10) 1 (1 e -λx ) e -λx e P 8 ( ξ > 14 ξ > 4) P( ξ > 14 ) e 8 b) P(ξ > 14 (ξ > 4 ) 4 P( ξ > 4) P( ξ > 4) e 8 e 0.86 Uppgift 6: ξ temperaturen i o C i Luleå (ξ) 18 S(ξ) η temperaturen i o F i Luleå där η 9ξ / + 3 (η) 9 (ξ) / / Var(η) 9 Var(ξ) / 9 / 1.96 S(η)

7 Uppgift 7: ξ i livslängden hos batteri i (ξ i ) 40 S(ξ i ) a) P( ξ 40 > ) P(ξ < 3) + P(ξ > 4) P(ξ < 3) + (1 P(ξ < 4)) P(Z < ) + 1 P(Z < ) P(Z < 1) + 1 P(Z < 1) (1 P(Z < 1)) ( ) b) η antal batterier vars livslängd större än 40 timmar η är Bin(n, p) Bin(, 0.) P(η ) 1 P(η 1) 1 P(η 0) P(η 1) c) P(ξ 0) P(Z 0 40 ) P(Z < 8) Uppgift 8: ξ vikt på ett lass sand (ξ) 100 kg S(ξ) 0 kg η total vikt på 1 lass med sand η ξ 1 + ξ ξ 1 (η) (ξ 1 ) + (ξ ) (ξ 1 ) kg Var(η) Var(ξ 1 ) +. + Var(ξ 1 ) 1 0 S(η) 1 0 kg P(η > 000) 1 P(η < 000) 1 P( Z < P(Z < 0.70 ) P(Z < 0.70 ) )