Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro

Transkript

1 Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn 5886 Hjälpmedel: Tabell- och ormelsamling och Chalmersgodkänd miniräknare Besöker tentamen: c:a kl 5.5 och 7.00 Lycka till! Uppgit : Man har urnor. I den ena inns vita och 3 svarta kulor. I den andra inns en vit och en svart kula. Man lyttar en slumpmässigt vald kula rån den örsta urnan till den andra utan att notera dess ärg. a) Om man drar en kula rån den andra urnan, vad är då sannolikheten att den är vit? b) Man drar en kula rån den andra urnan och inner att den är vit. Vad är den betingade sannolikheten ör att den lyttade kulan var svart? Uppgit : Vid ett konstruktionsarbete kan tiden med vilken arbetet kan örsenas betraktas som en diskret stokastisk variabel med öljande sannolikhetsördelning: ξ = x (i dagar) 3 4 P(ξ = x) a) Bestäm väntevärde och varians ör det antal dagar som arbetet kan örsenas. b) Ett öretag håller just nu på med 0 sådana konstruktionsarbeten. Vad är sannolikheten att högst av dem blir örsenade med 4 dagar. Anta att längden av tiderna ör konstruktionsarbetena är oberoende av varandra. Uppgit 3: personer. Anta att vi studerar ödelsedagarna hos ett antal slumpmässigt utvalda a) En grupp består bara av 5 personer. Vad är sannolikheten att alla 5 har olika ödelsedagar. b) En annan grupp består av 00 personer. Bestäm sannolikheten att exakt av dem är ödda den januari. Uppgit 4: Man har två reläer som är inställda ör utlösning.0 respektive.5 sekund eter en impuls. Utlösningstiderna är N(.0, 0.) respektive N(.5, 0.) och oberoende. Bestäm sannolikheten ör att det andra reläet utlöses öre det örsta om de samtidigt utsätts ör en impuls.

2 Uppgit 5: Livslängden ör en viss typ av elektronrör är exponentialördelad med λ= Ett sådant rör ingår i en radarutrustning som ständigt är i bruk på ett artyg. När ett sådant rör går sönder byts det genast ut mot ett nytt. Om man har 50 sådana elektronrör i lager på artyget, beräkna en tid T sådant att lagret räcker åtminstone denna tid med sannolikheten 0.. Livslängden ör olika rör är oberoende. Uppgit 6: Vid en undersökning av alkohols inverkan på reaktionstiden på 6 slumpmässigt utvalda personer ick man öljande resultat (tid i sekunder): Person öre alkohol eter alkohol skillnad A B C D E F Anta att reaktionstiderna öre och eter alkohol är normalördelade. a) Beräkna ett 95%-igt konidensintervall ör den genomsnittliga skillnaden mellan reaktionstiderna öre och eter alkohol. b) Tyder denna undersökning på att alkohol påverkar reaktionstiden? Du måste motivera ditt svar ör att å poäng. c) Beräkna ett 95%-igt ensidigt uppåt begränsat konidensintervall ör motsvarande standardavvikelse. Uppgit 7: Anta att man har en Markovkedja i diskret tid som kan illustreras med nedanstående lödesdiagram A C D B ortsättning uppgit 7 på nästa sida

3 ortsättning uppgit 7 a) Anta att man startar processen i tillstånd A. Vad är sannolikheten att komma tillbaka till tillstånd A (ör örsta gången eter man lämnat A). b) Hur många steg örväntas det ta ram till absorption om man börjar i tillstånd A? (8 poäng) Uppgit 8: Anta att ett öretag har maskiner som arbetar parallellt oberoende av varandra. Var och en går sönder med intensiteten 0.. Så ort en maskin går sönder påbörjas reparationen. En serviceman reparerar en maskin med intensiteten 0.4. Två servicemän kan inte arbeta samtidigt på samma maskin. När maskinerna är hela har en serviceman inget annat arbete som väntar. En serviceman kostar öretaget 000 kronor/timme. Vilken timkostnad måste öretaget ha ör en stillastående maskin ör att det skall löna sig att anställa servicemän som kan reparera de maskinerna?

4 Uppgit : Lösningar till tentamen i matematisk statistik, LMA00, 0039 A = Den dragna kulan rån urna är vit P(A) = A C = Den dragna kulan rån urna är svart P(A C ) = B= Den dragna kulan rån urna är vit P(A B) = P(B A) ÿ P(A) = = P(A C B) = P(B A C ) ÿ P(A C ) = = A B B C = = A C 7 a) P(B) = b) P(A C B) = P (A C B) 5 3 = = P(B) Uppgit : ξ = antal dagar som ett arbete blir örsenat. a) E(ξ) = x P( ξ = x ) = Ω i i = i i = Var(ξ) = x P( ξ = x ) [ E( ξ) ] = Ω b) η = antal arbeten som blir örsenat med 4 dagar η är Bin(n, p) = Bin(0, 0.) P(η ) =

5 Uppgit 3: Man brukar räkna med att ett år har 365 dagar. a) P(alla har olika ödelsedagar) = b) ξ = antal personer som har ödelsedag den januari ξ är Bin(n, p) = Bin(00, ) P(ξ = ) = Uppgit 4: ξ = Utlösningstiden ör relä ξ är N(µ, σ) = N(.0, 0.) η = Utlösningstiden ör relä η är N(µ, σ) = N(.5, 0.) Beräkna P(η < ξ) = P(η ξ < 0) Bilda en ny stokastisk variabel ζ = η ξ E(ζ) = E(η) E(ξ) =.5.0 = 0.5 Var(ζ) = Var(η) + Var(ξ) = = 0.05 P(ζ < 0) = P(Z < ) = P(Z <.4 ) = P(Z <.4 ) = Uppgit 5: ξ = Livslängden ör en viss typ av elektronrör ξ är Exp(λ) = Exp( 0.005) η = ξ + ξ ξ 50 E(η) = n = 50 ÿ λ = Var(η) = n = 50 ÿ λ = P(η > T) = 0. ñ P(η < T) = 0.9 T 0000 P(η < T) = P(Z < ) = T 0000 Tabellen ger P(Z <.8) = 0.9 l =.8 ñ ñ T = tidsenheter

6 Uppgit 6: x = skillnaden mellan reaktionstiderna öre och eter alkohol n = 6 l 3 d 6 xi = =.6 i= 6 xi = =.435 i= x n x i = = n i = s = n x i= i n xi i= n n = = a) Ett 95%-igt konidensintervall ör µ t =.57 s 0.48 x ± t ± ± [ 0.73, 0.693] n 6 b) Ett 95%-igt konidensintervall bygger på en metod som i 95 all av 00 ger ett intervall som täcker över det sanna värdet. Etersom skillnaden = 0 inte täcks över av intervallet så tyder undersökningen på att reaktionstiden påverkas av alkohol. c) Ett 95%-igt ensidigt uppåt begränsat konidensintervall ör σ: [0, (n )s χ 0.95 ] = [0, ( 6 ) ] [ 0, 0.59 ].45 Uppgit 7: a) Tillbaka till A eter steg: eter steg: eter 3 steg: eter 4 steg: eter n steg: () = P(kvar i A) = 0 () = P(A C A) = (3) = P(A C C A) = (4) = P(A C C C A) = (n) = n- 0.6 ortsättning uppgit 7a på nästa sida

7 ortsättning uppgit 7a Summan av en geometrisk serie ås med hjälp av öljande ormel: örsta värdet i serien kvoten mellan två närliggande värden i serien Första värdet = 0. och kvoten mellan två närliggande värden = 0. = (t) t= = () + () + (3) +. = = = = ( ) = = = Alltså, om vi startar i A så har vi 67.5%:s chans att komma tillbaka till A. b) För att å diagonalens :or så långt ner i matrisens högra hörn som möjligt döps tillstånden B och C om till C * och B *. Övergångsmatrisen år då öljande utseende: A = Rader och kolumner som hör ihop med de absorberande tillstånden stryks. Den stympade övergångsmatrisen betecknas P *. P * = Fortsättning uppgit 7b på nästa sida

8 Fortsättning uppgit 7b N = E P * = = Beräkna inversen N - * = [ ] E P det N = det = 0.8 ( 0.6) ( 0.9) = 0. 6 N - = = Medeltid till absorption betingat av start i tillstånd A = = 6.54 tidsenheter Uppgit 8: Vi börjar att beräkna timkostnaden när en reparatör är anställd. Denna situation kan illustreras med hjälp av nedanstående diagram. Tillstånden anger antal trasiga maskiner. λ = 0. λ = 0. 0 µ = 0.4 µ = 0.4 π = π 0 = π0 π = π 0 = 8 π0 π 0 + π + π = 3 8 π 0 + π0 + π0 = π 0 ( + + ) = π0 = π0 = π = π0 = 3 8 = 3 4 π = 8 π0 = = 3 Alltså, den asymptotiska tillståndsvektorn blir π = [ 3 8, 3 4, 3 ] Fortsättning uppgit 8 på nästa sida

9 Fortsättning uppgit 8 Sannolikhetsördelningen ör kostnaden per timme ör stillastående maskiner: Antal stillastående maskiner Kostnad Sannolikhet 0 0 X X Förväntad timkostnad ör stillastående maskiner: X X 3 = 3 6 X Timkostnad ör maskiner och en reparatör = 3 6 X + 000:-- Vi ortsätter med att beräkna timkostnaden när två reparatörer är anställda. Tillstånden anger antal trasiga maskiner. λ = 0. λ = 0. 0 µ = 0.4 µ = 0.8 π = π 0 = π0 π = π 0 = 6 π0 π 0 + π + π = 5 6 π 0 + π0 + π0 = π 0 ( + + ) = π0 = π0 = Fortsättning uppgit 8 på nästa sida

10 Fortsättning uppgit π = π0 = = π = π0 = = Alltså, den asymptotiska tillståndsvektorn π = [,, ] Sannolikhetsördelningen ör kostnaden per timme ör stillastående maskiner: Antal stillastående maskiner Kostnad Sannolikhet 0 0 X X Förväntad timkostnad ör stillastående maskiner: X + X = X Timkostnad ör maskiner och två reparatörer = X + 000:-- 5 Det är billigare att anställa två reparatörer än en om 0 6 X + 000:-- < X + 000:-- X > 650: d.v.s. om kostnaden ör en trasig maskin kostar öretaget mer än 6 50 kronor/timme så lönar det sig med reparatörer i örhållande till en.