Övningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord

Transkript

1 Övningstentamen Uppgift : I en kvalitetskontroll är det fyra olika fel A, B, C och D som kan förekomma oberoende av varandra där P(A) 0.03, P(B) 0.05, P(C) 0.07 och P(D) 0.. a. Beräkna sannolikheten att något fel förekommer. b. Beräkna sannolikheten att minst två fel förekommer. Uppgift : Olle och Elin kommer ofta till min trädgård, men aldrig tillsammans. Olle kommer tre gånger så ofta som Elin, och givet han är där, stjäl han äpple med sannolikheten 0.3. Elin däremot stjäl äpple, när hon kommer, med sannolikheten 0.8, den tjyvaktiga skatan. Om någon en dag varit i min trädgård och knyckt äpplen, hur stor är då sannolikheten att det var Elin? I problemet förutsätter vi, att vi betraktar en årstid, då det finns äpplen i trädgården, och att de enda möjliga äppeltjuvarna är Olle och Elin. Uppgift 3: En tärning har blivit viktad så att sannolikheterna för, 3, 4 och 5 prickar är /7 i stället för /6. Sannolikheterna för och 6 prickar är lika stora. Låt ξ vara antal prickar som kommer upp och beräkna: a. P(ξ ) b. E[ξ] och V[ξ] c. Förändrades väntevärdet eller variansen när du viktade tärningen och i så fall hur? Motivera! Uppgift 4: I ett betjäningssystem, är tiden som åtgår för betjäning, exponentialfördelad med väntevärdet 0 min. Alla tider kan antas vara oberoende. Hur stor är då sannolikheten att minst av inkomna kunder får en betjäningstid, som var och en överstiger 40 minuter? (4p) Uppgift 5: I en lokal finns 50 glödlampor vars livslängd är normalfördelad med µ 300 timmar och σ 50 timmar. Lampornas livslängd är oberoende. När 50 lampor slocknat i lokalen byter man alla lampor. Beräkna approximativt sannolikheten att bytet sker inom 50 timmar. (4p) Uppgift 6: Man ville undersöka hur glassförsäljningen beror på yttertemperaturen och bestämde under ett antal dagar antal sålda glassar (y i ) och medeltemperaturen (x i ) (mätt i o C över 8 o C) under en sommarmånad. I en regressionsanalys anpassade man en rät linje y bx + a till dessa mätdata. Man fann då, att skattningarna av a och b blev 4 och 57. Förklaringsgraden blev 83%. Förklara i ord innebörden av dessa tre skattningar, dvs tolka siffrorna i vardagsspråk.

2 Uppgift 7: Vid en opinionsundersökning ville man ha reda på andelen (p) personer i en stor stad som ville att man skulle bygga en bro över en älv, som rann genom staden. Man valde därvid ut 0 personer och av dessa visade sig 744 vara positiva till bygget. a. Beräkna ett symmetriskt konfidensintervall för andelen p, med konfidensgraden 95 %. b. Hur många personer skulle man tillfrågat om man ville ha ett konfidensintervall vars längd är ca 4 procentenheter? Uppgift 8: Låt ( x, x,...x 0 ) vara ett observerat stickprov på en stokastisk 0 variabel som är N(µ,σ) och låt x 36, 4 och x 347, 3. i i Beräkna uppåt begränsade konfidensintervall för µ och σ. Konfidensgraden skall vara 95% i båda fallen. 0 i i Uppgift 9: I en livsmedelindustri tillverkar man förpackningar vars vikt är N(µ,). Tidigare har väntevärdet varit 750g, men efter en ändring av förpackningsmaskinen misstänker man att detta värde ändrats. Man vill testa hypotesen H 0 : µ 750g mot hypotesen H : µ < 750g på nivån 5% genom att ta ett stickprov av storleken och använda stickprovsmedelvärdet som testvariabel. a. Bestäm testets förkastelseområde och testes styrka för : µ 745g. (Man anser att en avvikelse på 5g nedåt är en väsentlig avvikelse. b. När man utför testet finner man att stickprovsmedelvärdet är 745.3g. Kan man anse att nollhypotesen är sann? Tycker du att man borde förändra testet på något vis? Motivera!

3 Övningstentamen Uppgift : P(A)0.03 P(B)0.05 P(C)0.07 P(D)0. C C C C a) P(något fel) P(0 fel) - P(A B C D ) {oberoende} C C C C - P(A ) P(B ) P(C ) P(D ) b) P(minst fel) [P(0 fel) + P( fel)] [ { }] Uppgift : P(Elin kommer) a P(Olle kommer) 3a P(stöld Olle kommer) 0.3 P(stöld Elin kommer) 0.8 P(Elin kommit stöld) P(Elin kommit stöld) P(stöld) P(stöld P(stöld Elin kommit) P(Elin kommit) Elin kommit) P(Elin kommit) + P(stöld Olle kommit) P(Olle kommit) 0.8 a 0.8 a a 0.47 Uppgift 3: ξ antal prickat P(ξ) P(ξ3) P(ξ4) P(ξ5) /7 a) P(ξ) 0.5( {/7 + /7 + /7 + /7}) 3/4 b) E(ξ) 3.5 på grund av symmetrin 3 3 V(ξ) ( ) c) Väntevärdet blev samma som tidigare eftersom ändringen i viktningen var symmetrisk. Variansen blev större eftersom vikterna på en vanlig tärning försköts mot ändpunkterna och 6, vilka alltså blev större än /6 vardera. Uppgift 4: ξ betjäningstid ξ är Exp(λ) med E(ξ) 0 min ñ λ 0.05 P(ξ 40) - P(ξ<40) - (- e -40λ ) e η antal inkomna kunder vars betjäningstid överstiger 40 minuter η är Bin(n; p) Bin(; 0.35). P(η )

4 Uppgift 5: ξ livslängden hos en glödlampa ξ är N(µ; σ) N(300; 50) P(ξ<50) P(z< 50 µ ) P(z< ) P(z< -) σ 50 η antal glödlampor som går sönder inom 50 timmar. η är Bin(n; p) Bin(50; 0.587). 50 n p P(η 50) - P(η<50) - P(Z< ) P(Z< n p ( p) P(z <.787) ) Uppgift 6: a 4 är antal glassar som såldes vid temperaturen 8 o C. b 57 är skillnaden i glassförsäljning mellan dagar då temperaturerna skilde sig åt med grad. R 83% är den andel av variationen i glassförsäljningen som kan förklaras av dagarnas temperaturskillnader. Uppgift 7: andelen i urvalet är 744 pˆ a) b) ±.96 ñ 0.6 ± n ñ ( ) n.96 ñ n Uppgift 8: ξ är N(µ; σ), σ är okänd, stickprovsstorleken < x.8 s a) Använd t-fördelningen med 9 df t µ < ) b) 0 σ (n )s ñ 0 σ χ

5 Uppgift 9: ξ är N(µ; ) n Testet: H 0 : µ 750 H : µ < 750 signifikansnivån: α 0.05 a) Förkastelseområde: x < Styrkan P(förkasta H 0 µ 745) P(z< ) P(z<0.063) b) H 0 kan inte förkastas, men eftersom en förändring på 5g anses vara väsentligt är det troligt att H 0 inte är sann. Man borde ta större stickprov eftersom σ är ganska stor i förhållande till vad som kan anses vara en väsentlig genomsnittlig avvikelse.