Övningstentamen i matematisk statistik

Transkript

1 Övningstentamen i matematisk statistik Uppgift : Från ett register över manliga patienter med diabetes fick man följande statistik i procent: Lindrigt fall Allvarligt fall Patientens Någon förälder med diabetes Någon förälder med diabetes ålder ja nej ja nej Under 4 år 5 8 Över 4 år 5 Anta att en patient väljs ut slumpmässigt. Låt händelserna A, B och C definieras av A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes a) Är händelsen att patienten är ett allvarligt fall beroende eller oberoende av att någon av föräldrarna har diabetes (enligt ovanstående tabell)? b) Beräkna följande 3 sannolikheter och beskriv i ord vad de betyder ) P(A C B C ) ) P(A C B C ) 3) P(A C B C C ) (8 poäng) Uppgift : Anta att en butik har en låda med reservdelar. Av dessa är 5 trasiga men det vet ju inte personalen. När man säljer reservdelarna tar man slumpmässigt upp dem en och en. En kund kommer in i butiken och köper av dessa reservdelar. a) Hur stor är sannolikheten att minst en av dem är trasiga? b) Anta att den första reservdelen är trasig. Vad är sannolikheten att den andra också är trasig? Uppgift 3: I en annons läser du att 9 av läkare rekommenderar Potters dundermedicin som kosttillskott för vårtrötta personer. Eftersom du aldrig har hört talas om dundermedicinen tidigare undrar du om detta påstående verkligen är sant. Du väljer därför slumpmässigt ut 4 läkare för att fråga dem vad de rekommenderar för kosttillskott. Anta att påståendet verkligen är sant. Vad är då sannolikheten att högst av de tillfrågade läkarna rekommenderar Potters dundermedicin? Uppgift 4: Till en telefonväxel kommer det i genomsnitt 3 samtal per timme. Anta att antalet telefonsamtal är Poissonfördelat. a) Vad är sannolikheten att det kommer fler än samtal under en 5 minuters period? b) Anta att ett samtal just har kommit in till telefonväxeln. Beräkna sannolikheten att det tar längre tid än minuter innan nästa samtal kommer.

2 Uppgift 5: Anta att man har stokastiska variabler, ξ och η. Sannolikhetsfördelningen för ξ beskrivs i nedanstående tabell: ξ x P(ξ x) Den stokastiska variabeln η kan beräknas med hjälp av sambandet η (ξ ). Beräkna väntevärdet och variansen för η. Uppgift 6: Ett slumpmässigt urval på skaderapporter tas på ett försäkringsbolag vid avdelningen för bilförsäkringar. Man ser då att 75 % av alla rapporter innehåller ersättningskrav på minst 3 kronor. Man vill nu studera nästa 4 skaderapporter som kommer in. Vad är sannolikheten att fler än 7 % av dessa 4 nyinkomna rapporterna har ersättningskrav på minst 3 kronor? Uppgift 7: Anta att man har en Markovkedja med de tre tillstånden E, E och E 3. Övergångsmatrisen har följande utseende: P Beräkna förväntad tid till absorption om man startar i tillstånd E. Uppgift 8: I en fabrik finns likadana maskiner, som arbetar samtidigt. Deras livslängder antas vara oberoende och exponentialfördelade med väntevärdet timmar. När en maskin går sönder börjar den genast repareras. Anta att det finns två reparatörer. Reparationstiderna kan antas vara oberoende och exponentialfördelade med väntevärdet 5 timmar. En trasig maskin kostar 55 kronor/timme i produktionsbortfall om den står stilla. Beräkna fabrikens förväntade timkostnad för produktionsbortfallet.

3 Lösningar till övningstentamen i matematisk statistik Uppgift : A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes a) P(A).4 och P(C) d.v.s. P(A) P(C) medan P(A C).8 d.v.s. A och C är beroende b) ) P(A C B C 5 + ) P(patienten är ett lindrigt fall över 4 år).35 ) P(A C B C ) P(patienten är inte ett allvarligt fall under 4 år) P(A B)..9 3) P(A C B C C ) P(patienten är ett lindrigt fall under 4 år vars föräldrar inte har diabetes). Uppgift : ξ är Hyp(N, n, Np) Hyp(,, 5) a) P(ξ ) P(ξ ) b) P(:a trasig : trasig) P(båda P(: a trasiga) trasig) Uppgift 3: 9 av, d.v.s. 9% av alla läkare rekommenderar medicinen P(en slumpmässigt vald läkare rekommenderar medicinen).9 ξ antal läkare som rekommenderar medicinen ξ är Bin(n, p) Bin(4,.9) P(ξ )

4 Uppgift 4: a) λ.5 samtal / min λ.5 samtal / 5 min P(ξ > ) P(ξ ) e (! ) !! b) η tiden mellan två samtal η Exp(λ.5 samtal / min) P(ξ > ) P(ξ ) ( e -.5 ) e Uppgift 5: ξ x η (ξ ) P(ξ x) Ovanstående värden sammanställs till en sannolikhetsfördelning för η. η (ξ ) P(η y) E(η) Var(η) Uppgift 6: skaderapporter studeras. 75% av dessa innehåller ersättningskrav på minst 3 kronor. Att så många rapporter har studerats betyder att vi kan anta att andelen skaderapporter med ersättningskrav på minst 3 kronor är.75. P(en slumpmässigt vald skaderapport har ett krav på minst 3 kr).75 ξ antal skadeståndskrav med ett ersättningskrav på minst 3 kr ξ är Bin(n, p) Bin(4,.75) Eftersom np( p) > så används normalapproximation. E(ξ) np Var(ξ) np( p) fortsättning uppgift 6 på nästa sida

5 fortsättning uppgift 6 P(ξ >.7 4) P(ξ > 88) P(ξ < 88) P(Z < 88 3 ) 75 P(Z <.39 ) ( P(Z <.39 )) P(Z <.39 ).977 Uppgift 7: Överföringsmatrisen P Transformera de tre tillstånden E, E och E 3 enligt följande: E E * E E 3 * E 3 E * Detta ger nedanstående överföringsmatris P * Rad 3 och kolumn3 stryks P* * Invertera uttrycket I P* * det (I P* * ).3.8 (.5) (.).4 (I P* * ) Förväntad tid till absorption vid start i E, d.v.s. E * (.5 +.3) tidsenheter.

6 Uppgift 8: maskiner och reparatörer λ. λ. µ. µ.4 Den asymptotiska fördelningen: λ. π π π π µ. λ λ.. π π π π µ µ π + π + π π + π + π π π 4 4 π 44 4 π 44 π 44 Kostnad för en maskin 55 / timme Antal timmar Total kostnad, ξ Sannolikhet Förväntad kostnad E(ξ)