Blandade problem från elektro- och datateknik

Transkript

1 Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna vara sönder. Bestäm väntevärdet av livslängden samt 5 %-kvantilen, dvs efter hur lång tid 95% av komponenterna förväntas vara sönder. E. Inom mobiltelefoni indelar man ett geografiskt område i olika celler. Anta att varje cell har fem kanaler och beteckna en ledig kanal med 0 och en upptagen kanal med 1. Låt sannolikheten för ledig kanal vara p. a) Vad blir sannolikheten att alla kanaler är upptagna? b) Hur många kanaler är lediga i genomsnitt? E3. En illasinnad student försöker ta sig in på en webbsida som är skyddad med lösenord. Anta att det finns n lika sannolika lösenord och studenten konstruerar en slumpgenerator som prövar dem i slumpmässig ordning. Detta gör att ett lösenord som inte fungerat kan komma att testas igen. Bestäm väntevärdet för antalet test Xn som behövs för att studenten skall ta sig in på webbsidan. E4. En binär kommunikationskanal används för att sända ord på n bitar vardera. Låt sannolikheten att en bit kommer fram korrekt till mottagaren vara p. Anta att koden är felrättande upp till och med k felaktiga bitar. Vad blir sannolikheten att ett ord kommer fram korrekt om n = 8 och k =? E5. För att detektera fel vid överföringen av meddelande över en brusig binär informationskanal så adderas till varje grupp om åtta bitar en extra paritetsbit så att antalet ettor i den resulterande niobitarsföljden är jämn. Om mottagaren detekterar en niobitars följd med udda antal ettor antar man att det har uppstått ett fel och begär upprepning av meddelandet. Sannolikheten är 0.0 för varje bit och fel på olika bitar anses vara oberoende. Bestäm sannolikheten att det blir ett fel på ett åttabitars ord i två fall: med respektive utan paritetsbit. 1

2 E6. Spänningen från två bruskällor i ett elektroniskt system kan ses som oberoende normalfördelade variabler X och Y med väntevärde 0 volt. Effekten (variansen) för X är 0.5 och för Y a) Beräkna sannolikheten att det totala bruset X+Y är mindre än 1.3 (volt). b) Beräkna sannolikheten att den största av variablerna X och Y är mindre än 1 volt. E7. Andelen defekta elektroniska komponenter i ett visst stort parti antas vara a) Åtta komponenter väljs ut slumpmässigt och monteras ihop. För att kretsen skall fungera krävs att minst sju av dessa fungerar. Beräkna sannolikheten att kretsen fungerar. b) Om 500 komponenter väljs ut slumpmässigt, vad blir sannolikheten att 1 eller färre är defekta? Använd normalapproximation. E8. Utsignalen från en viss elektronisk krets är Y ( t) = ( X ( t) + X ( t 0.1)) /, där X(t) är insignalen (växelspänning). Variansen för X(t), dvs. effekten, är 0 (W ) oberoende av t. Kovariansen mellan insignalen vid olika tidpunkter är h C( X ( t), X ( t + h)) = 0e. Bestäm variansen (effekten) för Y(t) och utsignalens kovarians C(Y(t),Y(t+h)). Ledning: V ( X ( t) + X ( t 0.1)) = V ( X ( t)) + V ( X ( t 0.1)) + C( X ( t), X ( t 0.1)). E9. Vid en mätning av bruseffekt används medelvärdet av tre mätningar gjorda med 0.5 sekunders mellanrum. Variansen vid varje mätning är 0.4 (W ). Kovariansen mellan två mätningar är 0.4e -t, där t är tidsförskjutningen mellan mätningarna. Bestäm variansen för effekten, dvs. för Y = (X1+X+X3)/3, där Xi är de enskilda mätningarna. E10. Ett elektroniskt system har felintensiteten r(t) = 5 + t fel/år. Bestäm väntevärdet av livslängden. Ledning: använd sambandet mellan felintensitet och funktionssannolikhet. Därefter kan man utnyttja en omskrivning av normalfördelningens fördelningsfunktion. E11. Ett system är kopplat enligt schemat nedan. Alla komponenter har exponentialfördelad livslängd med de intensiteter (fel/månad) som står i

3 figuren. Bestäm funktionssannolikheten och MTTF. Systemet fungerar om den vänstra komponenten och minst en av de högra fungerar. b a E1. I systemet nedan har alla komponenter exponentialfördelade livslängder. Talen i figuren betecknar felintensiteter (förväntat antal fel per månad). När en av komponenterna i den vänstra delen går sönder bär den andra hela lasten, vilket gör att den har felintensiteten 6 fel/månad. Systemet går sönder när antingen bägge komponenterna till vänster eller den högra är sönder. När systemet har gått sönder repareras det (så det blir lika bra som ett nytt system) med intensiteten μ = 30. c 4 4 a) Rita tillståndsdiagrammet och skriv ner intensitetsmatrisen A. Ledning: använd fyra tillstånd. b) Bestäm sannolikheten att systemet fungerar när t går mot oändligheten (stationärt tillstånd). E13. Vid test av en dator placeras den i en miljö där den utsätts för störningar. Antalet störningar är Poissonfördelat med väntevärdet m = störningar per minut. Provet avslutas efter 00 störningar. Beräkna sannolikheten att provet varar i minst två timmar. 3

4 Statistisk teori och metodik (Kapitel 11-17) E14. Om två oberoende exponentialfördelade variabler adderas erhålls en s.k. Gamma-två-fördelning. Denna fördelning har viktiga tekniska tillämpningar: t.ex. är summan av väntetid och betjäningstid i ett kösystem, d.v.s. totala tiden i systemet, ofta gamma-två-fördelad. Fördelningen har täthetsfunktionen f X ax a xe, x 0, ( x) = 0, x < 0. Bestäm ML-skattningen av parametern a baserad på observationerna x1,, xn. E15. Vid en undersökning har 160 studenter av 1800 tillfrågade svarat att de är intresserade av att skaffa en 3G-mobil. Bestäm ett konfidensintervall med konfidensgraden 0.95 för andelen intresserade. Anta att stickprovet är taget ur en stor population så att binomialfördelningen kan användas. E16. Vid mätning av impedansen för vissa elektroniska kretsar erhålls följande resultat ( k Ω ): 1.3, 1.0, 1., 1.4, 1.6, 1.4, 1.5. Anta att data är ett slumpmässigt stickprov från N( m, σ ) med okänd standardavvikelseσ. Bestäm ett 95 % konfidensintervall (tvåsidigt) för väntevärdet m. E17. Enligt lång erfarenhet har en viss typ av kopparkablar en ytdefekt per 40 cm i genomsnitt. Man anser att defekterna är oberoende av varandra samt före-kommer med konstant intensitet och tror därför att antalet defekter på en viss sträcka är Poissonfördelat. Studenterna Stina och Jeannine kvalitetsgranskar 100 respektive 130 m kopparkablar och finner 180 respektive 10 defekter. a) Testa hypotesen att den ursprungliga teorin med ett fel per 40 cm är korrekt, dvs. att k =.5 fel/meter. Använd ett tvåsidigt test. b) ML-skatta felintensiteten k med hjälp av bägge resultaten. Väntevärdet blir alltså kx, där x är antal meter kopparkabel. E18. Vid kalibrering av en elektronisk flödesmätare jämför man det avlästa värdet Y med det verkliga värdet X. Resultat (centiliter/s): Avläst (Y) Verkligt (X)

5 a) Beräkna korrelationskoefficienten (Pearsons r) mellan uppmätt och verkligt värde. b) Gör en regressionsanalys. Vad blir regressionskoefficienterna och förklaringsgraden? Verkar modellen beskriva data på ett bra sätt? E19. Vid mätning av impedansen för sex exemplar av en viss sorts elektronisk komponent erhölls följande resultat (kiloohm): 17, 17.5, 17.3, 17.8, 17.4, a) Gör ett konfidensintervall för väntevärdet m av impedansen med konfidensgraden 0.95 och ett med konfidensgraden Utgå från normalfördelningen och anta att standardavvikelsen är okänd. b) Anta nu att man vet att standardavvikelsen är 0.4. Testa hypotesen H0: m = 18 på nivån E0. Två studenter undersöker sambandet mellan antal timmar man lagt ner på kvalitetskontroll av en viss programvara (per programrader) och antal fel per 1000 programrader. Resultat: Timmar (X) Fel (Y) a) Bestäm kovariansen och korrelationen (Pearsons r) mellan X och Y. b) Använd data för att anpassa en regressionslinje Y = a + bx. c) Pröva istället med regressionskurvan Y = a + b/x. Jämför med resultatet i genom att beräkna förklaringsgraden R i bägge fallen. Vilken modell är att föredra? E1. Man vill göra en stickprovsundersökning för att bestämma andelen felaktiga programmoduler från en viss projektgrupp. Man vill veta denna andel på 0.05 när, dvs. man vill göra ett konfidensintervall med konfidensgrad 0.95 och bredd Hur många programmoduler måste man undersöka om a) man inte vet något om andelen felaktiga? b) man tror att andelen är högst 0.? E. En telekomingenjör undersöker amplituden för en viss signal som funktion av frekvensen. Han anser att amplituden y (volt) bör variera som 1 y = 1 + kf, 5

6 där f är frekvensen i khz, medan k är en konstant. Bestäm minsta-kvadratskattningen av k med hjälp av nedanstående data. Ledning: invertera bägge led. y f E3. Spänningen u över en kondensator mäts. Den ursprungliga spänningen är u0 och spänningen vid tiden t ges av bt u = u0e, t 0. Ett experiment gav följande resultat: t u Gör en lämplig transformation av ekvationen ovan och skatta u0 och b med linjär regression. E4. Vi vill testa om paket försvinner vid dataöverföring. Vi sänder 100 testpaket och mäter antalet förlorade paket, a) Hur skulle man kunna testa om förlustsannolikheten p är större än 0.4 om signifikansnivån skall vara 0.05? b) Anta att den verkliga förlustsannolikheten är p = 0.6. Vad blir styrkan hos testet? c) Vad skall n vara om vi vill att styrkan skall vara minst 0.95? E5. För att avgöra om brusnivån för en viss kanal är för hög för att möjliggöra effektiv användning av kanalen mäter vi 100 stickprov av brusamplituden och får värden x1,., x100. Anta att standardavvikelsen är känd och lika med 5 och att en acceptabel nivå på väntevärdet är m =. a) Hur skulle man kunna testa för att avgöra om väntevärdet är större än om signifikansnivån skall vara 0.1. b) Om det verkliga väntevärdet är 3, vad är testets styrka? c) Vad skall n vara om styrkan skall var minst 0.95? 6