Blandade problem från maskinteknik

Transkript

1 Blandade problem från maskinteknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-7) M1. Vid tillverkning av en viss maskintyp får man spiralfjädrar från tre olika tillverkare. Varje dag levererar tillverkare A 100 fjädrar, B 200 och C 300. Man väljer slumpmässigt tre fjädrar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att man får en från var och en av tillverkarna? M2. Ett flygplan antas kunna flyga om minst hälften av dess motorer fungerar. Anta att motorerna fungerar oberoende av varandra och låt p vara funktionssannolikheten för varje motor. För vilka värden på p är ett fyrmotorigt plan säkrare än ett tvåmotorigt? M3. Vid kvalitetskontroll godkänns ett visst (stort) parti med bultar om fem slumpmässigt valda bultar alla är funktionsdugliga. Vad är sannolikheten att partiet godkänns om andelen felaktiga är 0.01? M4. Man tillämpar nu samma kontrollprocedur som i föregående uppgift på mindre partier. Vad är sannolikheten att man godkänner ett parti med 50 bultar varav 10% är felaktiga? M5. Diametern hos en cylindrisk maskindel skall vara 25 mm. På grund av bearbetningsfel och mätfel är den istället normalfördelad med väntevärdet 25 mm och standardavvikelsen 0.05 mm. a) Beräkna sannolikheten att diametern ligger mellan 24.9 och 25.1 mm. b) Man har ett parti med 20 maskindelar. Beräkna sannolikheten att den del som har störst diameter är mer än 25.2 mm. Anta att diametrarna är oberoende. M6. Antalet fel i ett system under en viss tidsperiod antas vara Poissonfördelat med väntevärdet kt, där t är tidsperiodens längd och k är den konstanta felintensiteten. a) Bestäm sannolikheten för högst 100 fel under en ettårsperiod om k = 8 fel/månad. Använd lämplig approximation. b) En servicefirma för statistik över felen hos n identiska system enligt ovanstående. Systemen är oberoende av varandra. Bestäm approximativt sannolikheten att de tillsammans har högst 100n fel under ett år. Motivera approximationen. 1

2 M7. Vid belastning med en viss kraft förlängs en stålstav en sträcka som på grund av materialvariationer och mätfel anses normalfördelad med väntevärde 3 mm och standardavvikelse 0.4 mm. Vad är sannolikheten att stålstaven förlängs a) mer än 3.5 mm? b) mindre än 2 mm? c) mellan 2.5 och 3.5 mm? M8. I en livsmedelsindustri har man en förpackningsmaskin som skall fylla på påsar med 500 g av en viss produkt. På grund av slumpmässiga fel är mängden normalfördelad med ett visst väntevärde m som man kan ställa in och en standardavvikelse 5 g. Vad skall man ställa in vikten m på om man vill att minst 99% av alla påsar skall innehålla minst 500 gram? M9. Tiden mellan fel i en viss produktionsanläggning anses vara exponentialfördelad med väntevärdet 5 dagar. Vad är sannolikheten att a) det dröjer mer än 5 dagar mellan två fel? b) det dröjer högst 7 dagar mellan två fel? M10. En ingenjör har konstruerat en svetsrobot. Man gör ett test där roboten skall svetsa 100 fogar. Om den klarar 98 eller fler godkänns den. Anta att roboten klarar att svetsa en godtagbar fog med sannolikheten Vad är då sannolikheten att den godkänns? M11. En ingenjör läser i en teknisk tidskrift att livslängden för en viss typ av komponent anses Weibullfördelad med λ = 1/ b = 0.16 (år -1 ) och c = 1.2. Beräkna a) sannolikheten att komponenten håller i minst fem år. b) sannolikheten att den håller i högst åtta år. M12. (Gauss approximationsformler) Poiseuilles formel säger att mängden vätska som strömmar genom ett rör med diametern r och trycket p1 respektive p2 vid rörets bägge ändar är π p1 p2 4 r 8η L m 3 /sekund. Man har mätt rörets radie med ett visst mätfel, vilket gör att radien är en stokastisk variabel R N (30,1) mm. Rörets längd är 2 m, viskositeten Ns/m 2 och tryckskillnaden 4 Pa. Beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för flödet (liter/sekund). 2

3 Statistisk teori och metodik (Kapitel 11-15) M13. Tiden till första felet (MTTF) för en viss maskin anses vara exponentialfördelad. Bestäm ML-skattningen av intensiteten λ om man har observationerna x,..., x. 1 n M14. Man vet av erfarenhet att standardavvikelsen vid mätning av diametern av en cylindrisk axel är ca 0.1 mm. a) Hur många axlar måste man mäta om man vill bestämma medeldiametern med en standardavvikelse på högst 0.02 mm? b) Man mäter diametern på fyra axlar från samma parti. Bestäm ett konfidensintervall för väntevärdet om medelvärdet av diametern är 14 mm. M15. Vid kvalitetskontroll av en viss typ av ventiler är 102 av 120 funktionsdugliga. Gör ett konfidensintervall för andelen funktionsdugliga komponenter med konfidensgraden 0.90 och ett med konfidensgraden Använd normalapproximation. M16. Vid mätning av draghållfastheten för sju stålbalkar fick man följande resultat (Megapascal): 200, 210, 195, 223, 205, 212, 222. a) Gör ett konfidensintervall för väntevärdet m med konfidensgraden Utgå från normalfördelningen och anta att standardavvikelsen är okänd. b) Anta nu att man vet att standardavvikelsen är 10. Testa hypotesen H0: m = 220 på nivån (Tvåsidigt test) M17. Följande data är vikter av slumpmässigt valda vevaxlar (kg): 8.530, 8.528, 8.531, 8.532, 8.532, 8.533, 8.534, a) Gör ett konfidensintervall för väntevärdet av vikten. Använd konfidensgraden 0.95 och anta att data är normalfördelade med okänd standardavvikelse. b) Ett stickprov från en annan avdelning inom samma fabrik ger vevaxlar med följande vikter (kg): 8.528, 8.529, 8.529, 8.529, 8.529, Testa på nivån 0.05 hypotesen H0: Väntevärdet av vikten är detsamma i de bägge stickproven (tvåsidigt test). Anta att standardavvikelserna är lika. 3

4 M18. Två specialstål jämförs med dragprov. Man får följande brottgränser (MPa): Material 1: 300, 310, 318, 305, 320 Material 2: 290, 295, 305, 290, 280, 282 Är hållfastheten olika för de bägge specialstålen? Testa på nivån 0.05 (tvåsidigt test) och redovisa de antaganden som görs vid testet. M19. På ett tekniskt utbildningsprogram studerar man sambandet mellan bilars motorstyrka och deras bensinförbrukning. Beräkna Pearsons korrelationskoefficient med hjälp av nedanstående data som alla gäller samma bilmärke och modellserie, men med olika motorer. Verkar sambandet linjärt? Skulle man använda en annan korrelationskoefficient? Motivera! Motorstyrka (hk) Förbrukning (l/mil) M20. Följande livslängder har uppmätts för kullager i en studie som refereras i Hand et al (1994) (enhet okänd): 17.88, 28.92, 33.00, 41.52, 42.12, 45.6, 48.48, 51.84, 51.96, 54.12, 55.56, 67.8, 68.64, 68.88, 84.12, 93.12, 98.64, , , , , Anta att data är exponentialfördelade och skatta intensiteten λ. M21. Följande data är livslängder i timmar (drifttid) för transmissionen i en viss typ av traktorer. Anta att observationerna är exponentialfördelade och skatta felintensiteten. Tillverkaren vill i reklamen ange en nedre gräns a som är sådan att 90 % av alla transmissioner fungerar minst så länge. Vad blir a? Data (timmar i drift innan fel): 4200, 5160, 6600, 7000, 3900, 2600, 4210, 9400, M22. Man misstänker att en elektronisk laboratorievåg visar för låg vikt och lämnar in den på service. Vid fyra provvägningar av en hundragramsvikt med några minuters mellanrum får man följande resultat före respektive efter service. Före: 99.8, 99.5, 99.3, 99.4 Efter: 99.9, 100.1, 100.1,

5 Kan man på nivån 0.05 (tvåsidigt test) förkasta nollhypotesen Servicen gav ingen skillnad? Anta att mätfelen är normalfördelade med okänd standardavvikelse. Vad blir resultatet av ett ensidigt test på nivån 0.05? M23. Finns det ett samband mellan veckodag och produktionsresultat? Följande antal enheter har producerats vid en viss fabrik tio slumpmässigt utvalda måndagar, tisdagar etc. Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Testa hypotesen Samma produktionsresultat oavsett veckodag med ett variansanalys på nivån M24. En maskinteknolog vill undersöka hur etanolförbrukningen för olika miljöbilar beror av bilens vikt. Resultat: Bilmodell Tjänstevikt (kg) Förbrukning (l/mil) Ford Focus Ford Mondeo Saab Biopower Volkswagen Jetta Volvo S Beräkna både Pearsons och Spearmans korrelationskoefficienter samt ekvationen för regressionslinjen. Vad blir förklaringsgraden R 2? M25. Den miljöintresserade maskinteknologen i förra uppgiften går vidare med att studera bensindrivna bilars koldioxidutsläpp som funktion av bilens motorstyrka. Resultat: Bilmodell Motorstyrka (hk) CO 2 (g/km) Audi A BMW 320i Ford Fiesta Opel Astra Saab Toyota Avensis Volkswagen Passat Volvo V Beräkna Pearsons korrelationskoefficient mellan motorstyrka och CO2-utsläpp. Bestäm ekvationen för regressionslinjen. Vad blir förklaringsgraden? Slutsats? 5