Tentamensskrivning i stokastik MAGB64, 7.5 ECTS den 8 juni 2012 kl 14 19

Transkript

1 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i stokastik MAGB64, 7.5 ECTS den 8 juni 2012 kl Hjälpmedel: Godkänd räknare och Mathematics Handbook Beta. Jourtelefon: OBS! Motivera lösningarna i rimlig omfattning. Exakta svar skall helst förenklas, 10 t ex 3 = 120 men uttryck av typen 25! eller 18 behöver kanske inte beräknas. 7 Använd omdömet. Avrunda intelligent om du inte svarar med exakt värde. 1 Vi hälsar på hos Snövit och de sju dvärgarna. a En torsdag delar Snövit och dvärgarna upp sig i två grupper om fyra i varje grupp. Den ena gruppen skall gå till gruvan och den andra skall plocka nyttiga växter i skogen. På hur många sätt kan indelningen ske? b På fredagen delar man upp sig i två lag om fyra som skall spela en fotbollsmatch. På hur många sätt kan den indelningen göras? c Vad är sannolikheten att precis en av dvärgarna som var i Snövits grupp på torsdagen hamnar i samma fotbollslag som hon på fredagen? (3) 2 Låt X och Y vara oberoende normalfördelade variabler med väntevärden 25 respektive 10 och standardavvikelser 6 respektive 3. 2a Ange! och! för 2X 5Y 2b Bestäm P(X < 2Y) 2c Vi gör ett stickprov om 10 observationer vardera på X och Y. Ange (svar räcker)! och! för (i)!!!!! (ii)! (3) 3 A och B är tennisstjärnor. Bägge har fruktade servar och vi vill testa hypotesen!! : De har samma sannolikhet att få in sin förstaserve. Under den senaste perioden har A lyckats med 180 av 600 förstaservar. Under samma tid har B lyckats med 175 av 500 förstaservar. Testa!! på 5%-nivån. Mothypotesen är a De har olika sannolikhet att få in sin förstaserve. b B har större sannolikhet än A att få in sin förstaserve (ensidigt test). (3) 4 Låt!!,! (!,!) vara en diskret tvådimensionell slumpvariabel given av!(1, 1) =!,!(2, 1) =!,!(1, 2) =!,!(2, 2) =!. Bestäm a E[X] b E[X Y = 2] c E[XY] d V[X] (4)

2 5 Vid en undersökning av en viss målgrupp ställdes följande två frågor: 1. Dricker du alkohol? 2. Anser du att alkoholhaltiga drycker skall få säljas i livsmedelsbutiker? Svaren ges i tabellen nedan fråga 1 fråga 2 JA NEJ totalt JA NEJ totalt Använd!! -test för att testa hypotesen!! : Inställningen i fråga 1 är oberoende av inställningen i fråga 2 (5% signifikansnivå). (2) 6 Betrakta en Poissonprocess {N(t), t 0} med intensitet! = 3. Bestäm a P[N(2) = 6] b P[N(2) = 6 och N(3) N(1) = 1] (2) 7 Ett tvåmotorigt flygplan färdas över ett 1000 mil brett hav. De två motorerna har exponentialfördelad livslängd; var och en har (oberoende av den andra) sannolikheten 1!!!.!!! att gå sönder under de kommande s milen. Båda motorerna måste fungera för att planet skall hålla sig i luften. a Vad är sannolikheten att planet kommer fram? b Vad är sannolikheten att planet klarar 900 mil men störtar mindre än 100 mil från målet? (2) 8 Du har en Poissonfördelad variabel och du vill skatta parametern!. Du gör en observation och räknar antalet händelser under en tidsenhet. Det blir 618. Visa hur man skattar! med Maximum Likelihoodmetoden och bestäm det värde som skattningen ger. (2) 9 Du spelar bordtennis. Ställningen är nu 9 9, dvs den första som får två bollars ledning har vunnit setet. a Vad är din sannolikhet att vinna setet om du vinner de enskilda bollarna med sannolikhet 0.52? 9bc Om bägge har sannolikhet 0.5 att vinna de enskilda bollarna: b vad är sannolikheten att det står tjugo bollar senare? c hur många bollar förväntas återstå av setet? (3)

3 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i stokastik MAGB64, 7.5 ECTS den 24 augusti 2012 kl Hjälpmedel: Godkänd räknare och Mathematics Handbook Beta. Jourtelefon: OBS! Motivera lösningarna i rimlig omfattning. Exakta svar skall helst förenklas, 10 t ex 3 = 120 men uttryck av typen 25! eller 18 behöver kanske inte beräknas. 7 Använd omdömet. Avrunda intelligent om du inte svarar med exakt värde. 1 Vi hälsar på hos Snövit och de sju dvärgarna. a Av initialerna i Snövit, Butter, Blyger, Prosit, Glader, Toker, Kloker och Trötter kan man till exempel bilda "ordet" SBBPGTKT. Hur många olika ord kan man bilda genom att flytta om bokstäverna? (Alla 8 bokstäver måste vara med.) b Varje morgon väljs genom lottning vilken av de sju dvärgarna som skall sopa golvet. Vad är sannolikheten att det en viss vecka blir samma dvärg som får sopa måndag, tisdag och onsdag? c Snövit väljer ut fyra olika dvärgar; en skall diska, en skall laga mat, en skall städa och en skall hugga ved. På hur många sätt kan sysslorna fördelas bland de sju dvärgarna? d Den som sopar får en liten chokladkaka då han är klar. Dessa sparas till söndagkvällen. På hur många sätt kan veckans sju chokladkakor fördelas bland de sju dvärgarna? (4) 2 På bageriet säljs franskbröd. Dessa har normalfördelad vikt med väntevärde 200 g och standardavvikelse 10 g. a Hur stor andel av bröden väger över 175 g? b Vad väger det tyngsta av de 5 % lättaste bröden? c Bröden säljs i påsar om fyra i varje. Vad är sannolikheten att en slumpvis vald påse väger under 675 g? d Påsarna kostar 39 kr styck. Du köper 4 påsar. Vad är sannolikheten att kilopriset blir mer än 50 kr? (4) 3 Låt!!,! (!,!) = 0.4 3! + 2! ; 0! 1, 0! 1. a Bestäm E(X) b Bestäm E(X Y = y) c Bestäm V(X) (4)

4 4 Vid utgångsportarna efter en sångtävling på Löfbergs arena tillfrågades 144 av de besökarna om de ansåg att rätt låt hade vunnit. 54 svarade ja. a Ange ett 95-procentigt konfidensintervall för hur många som skulle ha svarat ja om samtliga besökare hade fått frågan. b Antalet kvinnor som fick frågan var 84 och av dessa svarade 49 ja. Vi vet att totala antalet kvinnliga besökare var Testa hypotesen!! : Andelen besökare som ansåg att rätt låt vann är densamma bland män och kvinnor (5%-nivån). (3) 5 Du har en sexhörning med hörn markerade 0, 1, 2, 3, 4, 5. Med start i hörn 0 går du till hörn 1 med sannolikhet 0.5 och till hörn 5 med sannolikhet 0.5. Från det nya hörnet gör du på samma sätt, dvs en symmetrisk slumpvandring. a Om du fortsätter vandringen tills du besökt alla hörn, vad är sannolikheten att vandringen avslutas i hörn 2? b Vilket är förväntade antalet steg tills du har besökt alla hörn? (3) 6 Bombardiet möter Ruritanien i en fotbollsmatch. Bombardiet gör B mål och Ruritanien gör R mål, där B och R är Poissonfördelade slumpvariabler; B ~ Po(0.3) och R ~ Po(0.2). a Beräkna sannolikheten att Ruritanien vinner matchen. b Beräkna sannolikheten att Ruritanien vinner åtminstone två matcher om de möts fem gånger med samma förutsättningar. (3) Gör beräkningarna med minst tre decimalers noggrannhet men avrunda svaren till två. 7 I tvättmaskinen ligger N par strumpor där varje par har individuell färg. Du tar ut strumporna en efter en och hänger på tork. a Om N = 6 (dvs 12 strumpor), vad är sannolikheten att de fyra första strumporna du hänger upp har olika färg, men att den femte strumpan har samma färg som någon av de fyra första? b Vad blir ML-skattningen av N, givet att första dubletten uppträdde vid den femte strumpan? (3)

5 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i stokastik MAGB64, 7.5 ECTS den 14 januari 2013 kl Hjälpmedel: Godkänd räknare och Mathematics Handbook Beta. Jourtelefon: OBS! Motivera lösningarna i rimlig omfattning. Exakta svar skall helst förenklas, 10 t ex 3 = 120 men uttryck av typen 25! eller 18 behöver kanske inte beräknas. 7 Använd omdömet. Avrunda intelligent om du inte svarar med exakt värde. 1 På fem krokar hänger fem bokstäver, en på varje krok. Bokstäverna bildar ordet MOTTO. Nu har två bokstäver fallit ned och ett litet barn som passerar hänger upp dem slumpmässigt (en bokstav på varje tom krok). Vad är sannolikheten att det står MOTTO då barnet är klart? (3) 2 Bruna ägg säljs i kartonger om sex i varje. Äggens vikt antas normalfördelad med väntevärde 55 gram och standardavvikelse 4 gram. Vita ägg säljs i kartonger om tio i varje. Dessa ägg antas ha normalfördelad vikt; väntevärde 50 gram och standardavvikelse 3 gram. a Vi tar ett vitt och ett brunt ägg. Vad är sannolikheten att deras sammanlagda vikt är mindre än 100 gram? b Vi har två kartonger bruna ägg och en kartong vita ägg. Ange väntevärde och standardavvikelse för äggens sammanlagda vikt. (3) 3 Detta gäller samma ägg som i uppgift 2. Handlaren har blivit misstänksam mot de vita äggen. Hen formulerar en hypotes:!! : Äggens vikt är normalfördelad med! = 50 gram (! = 3 gram). Som mothypotes väljer handlaren att äggen har lägre förväntad vikt. Hen kontrollväger de vita äggen i tio kartonger. I vilket intervall ska totalvikten ligga för att hypotesen ska förkastas på 1%-nivån? (2) 4 Låt!!,! (!,!) =!! ; 0! 2, 0! 1. a Bestäm c b Bestäm E(Y X = 1) (3) 5 En rätvinklig triangel har kateter med längderna X och Y som är oberoende och likformigt kontinuerligt fördelade på intervallet ]0, 1]. Bestäm sannolikheten att hypotenusan är längre än 1. (2)

6 6 Vi har åtta parallella komponenter, var och en med exponentialfördelad livslängd med väntevärde 50 timmar. a Vad är sannolikheten att en given komponent håller i 150 timmar? b Om de åtta komponenterna är oberoende, vad är sannolikheten att mindre än tre av dem fortfarande fungerar efter 150 timmar? (3) 7 En hiss befinner sig på plan 3 i en oändligt hög byggnad. Den har en enda knapp; trycker man på den så rör sig hissen ett plan uppåt med sannolikheten 0.6 och ett plan nedåt med sannolikheten 0.4. Vad är sannolikheten att hissen någonsin når plan 0? (2) 8 Antalet män som kommer in i en butik under nästa minut är Poissonfördelat med parameter 2 och antalet kvinnor med parameter 3. Ange sannolikheten att det kommer 4 män och 6 kvinnor under de kommande två minuterna betingat av att det kommer 2 män och 3 kvinnor under den kommande minuten. (3) 9 Vi har sju dvärgar. Varje dag under en vecka väljs en av dem slumpmässigt (med återläggning; samma dvärg kan väljas fler än en dag). Vad är sannolikheten att precis en av dvärgarna inte blir vald? (3)