TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Transkript

1 Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Kalkylator Bifogad formelsamling: Formelblad och tabeller i statistik Språklexikon: Persiska - Svenska, Svenska - Persiska. Engelska - Svenska, Svenska - Engelska Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3 = 20, 4 = 30, 5 = poäng Allmänna anvisningar: Rättningstiden är som längst tre veckor Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Rustan Halldin Telefonnummer:

2 1

3 Högskolan i Borås Tentamen i Matematisk statistik, 7.5 hp, TT091A. Ingenjörshögskolan Rustan Halldin Fullständiga lösningar krävs. Enbart svar ger 0 poäng på uppgiften. Varje lösning skall börja överst på nytt blad. 1. a) Två symmetriska 6-sidiga tärningar kastas en gång var, oberoende av varandra. Beräkna sannolikheten att de två tärningarna ger olika resultat. (1 p) b) Man har sex oberoende observationer 68, 77, 73, 84, 100, 92 från en normalfördelning där det är känt att σ = 15. Beräkna ett 98 % konfidensintervall för µ. (2 p) c) Låt X och Y vara oberoende variabler. X har väntevärde 5 och varians 3. Y har väntevärde 13 och varians 7. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för 3X 2Y. (2 p) d) Låt X 1 och X 2 vara oberoende normalfördelade stokastiska variabler, N(2, 3). Beräkna P(X 1 + X 2 16). (2 p) 2. A och B är händelser med sannolikheterna P(A) = 0.35 och P(B) = Beräkna P(A B) i följande fall: a) A och B är disjunkta. (1 p) b) A och B är oberoende. (2 p) c) B kan bara inträffa om A inträffar. (2 p) 3. En kontinuerlig stokastisk variabel X har frekvensfunktionen: f ( x) 1 x( , x) 2, 0 x 6 för övrigt a) Visa att f(x) är en frekvensfunktion. (1 p) b) Bestäm väntevärde och varians till X. (2 p) c) Bestäm typvärdet (the mode) till X. (2 p) 4. Antag att man kastar pil på en cirkulär piltavla med radien 25 cm. Om avståndet från pilen man kastar till mittpunkten är mindre än 5 cm vinner man 10 kronor, om avståndet är mellan 5 och 10 cm vinner man 5 kronor, om det är mellan 10 och 25 vinner man ingenting, och hamnar pilen utanför tavlan får man betala 20 kronor. Man kastar pilen så att avståndet från pilen till tavlans mittpunkt är likformigt fördelat mellan 0 och 30 cm. Bestäm den förväntade vinsten. (4 p) 5. Hönsägg delas in i tre viktklasser: små, medelstora och stora. Antag att äggens vikt i gram är normalfördelade med väntevärde 70 och standardavvikelse 8. a) Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt valt ägg väger mindre än 54 gram? (1 p) b) Om vi vill ha lika stor andel av äggen i var och en av de tre kategorierna, bestäm var gränserna mellan kategorierna skall dras. (2 p) c) Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt valt stort ägg väger mer än 80 gram? (2 p

4 6. Sannolikheten att en viss typ av prefabricerade byggelement är behäftade med fel är 5 %. En byggmästare köper 1000 sådana byggelement. Vad är sannolikheten att minst 40 och högst 70 är behäftade med fel? (5 p) 7. Två studenter har i en undersökning samlat in följande data: Antal Frekvens Den ena studenten tycker sig se att de observerade värdena är Poissonfördelade, men den andre studenten håller inte med. Formulera hypoteser och utför ett 2 -test för att avgöra vem som har rätt. Testa på signifikansnivån 1 %. Motivera din slutsats! (5 p) 8. En stokastisk variabel X är normalfördelad N(µ, σ). Man vet att σ = 3.1. Ett stickprov på storlek 17 ger medelvärdet Testa nollhypotesen H 0 : µ = 500 mot mothypotesen H 1 : µ > 500 på signifikansnivån 2 %. a) Avgör med hjälp av ett klassiskt hypotestest om det finns anledning att förkasta nollhypotesen. Motivera din slutsats. (2 p) b) Beräkna testets styrka för µ = 502. (1 p) c) Beräkna testets p-värde. (1 p) d) Vad menas med ett tests signifikansnivå. (1 p) 9. Man har ett slumpmässigt stickprov x 1, x 2,, x n från en stokastisk variabel X som har frekvensfunktionen f ( x) 1 9 x e 10 9!, x 0, x x 0 0 där θ är en okänd parameter och större än 0. Härled maximum-likelihood-skattningen av parametern θ. (4 p) 10. En ideell förening planerar en insamling och skickar till var och en av de medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på 50 eller 100 kronor. Från tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att det är lika vanligt med det större som det mindre bidraget och att 20 % av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Beräkna approximativt sannolikheten att föreningen får in minst kronor. (5 p)

5

6

7

8

9

10

11

12