FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Transkript

1 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik kl Examinator och Jour: Henrike Häbel, tel alt Hjälpmedel: Valfri miniräknare tomt minne och ingen möjlighet att koppla upp sig till nätet; kontrolleras av examinatorn, dubbelsidigt A4 ark med egna anteckningar samt med skrivningen utdelade tabellsidor och formelsamling. Maxpoäng: 0. För godkänd krävs minst 5 p, för Väl Godkänd 4 p. Eventuell bonuspoäng från 06 adderas. Lösningar skall redovisas till varje uppgift. Uppgifterna är ej ordnade efter svårighetsgrad. Rättningsprotokoll anslås senast tre veckor efter tentamen.. Visa att för två oberoende händelser A och B i något utfallsrum Ω med A B gäller att antingen P A 0 eller P B. För två oberoende händelser gäller att P A B A B P A P AP B. Likheten stämmer om P B eller P A 0, eftersom då blir P A P A respektive I långväga digitala dataöverföringar t.ex. från en satellit är risken för överföringsfel relativt hög. Vi ska studera överföringen av en bit, som är antingen en nolla eller en etta. Antag i en specifik application att felrisken är.5% och att man sänder ungefär 40% nollor och 60% ettor. Givit att en etta tagits emot, hur stor är sannolikheten att det var en etta som sändes? A : nolla sändes, A : etta sändes, B : etta tagits emot. P A 0.4, P A 0.6, P B A , P B A p Page of 7

2 P A B Bayes P A P B A P A P B A + P A P B A p 9. Ett osymmetriskt mynt kastas tre gånger. Resultaten av kasten erhålls oberoende. Antag att sannolikheten för krona är 0. och beräkna sannolikhetsfunktionen av den stokastiska variabeln X antal erhållna kronor. p X k , k , k 0. 0., k , k 0.4, k 0 0.5p 0.44, k 0.5p 0.9, k 0.5p 0.07, k 0.5p 4. Ett tärningsspel i ett kasino går till så att en spelare satsar pengar och väljer en siffra mellan och 6. En croupier kastar tre tärningar. Om en, två eller tre av tärningarna visar den valda siffran så får spelaren två, tre respektive fyra gånger insatsen av banken. Om ingen av tärningarna visar det valda numret förlorar spelaren. Antag att spelaren satsar 50 kr och beräkna den förväntade vinsten. Page of 7

3 Låt X vara antal av det valda numret. Då är , k 0 p X k 6 6, k 6 6, k 6 6 0, k 5 6, k 0 0.5p 75 6, k 0.5p 5 6, k 0.5p 6, k 0.5p Låt Y vara vinsten. Då är p Y k p X k, men för k 50, 50, 00, 50 och man får EY Antag att X är en kontinuerlig stokastisk variabel med täthetsfunktion { c x f X x, x, där c R är en konstant. a Bestäm konstanten c. b Låt Y X och beräkna väntevärdet EY och variansen V Y. c Beräkna fördelningsfunktionen F X x och sannolikheten P X > 0.5. a c x dx c [ x x ] c 0! c 0 p b EX R xf X xdx [ ] 0 x x dx x 0 x Page of 7

4 a Bestäm konstanterna a, b R. Du kan använda att P X 4. p och därmed blir EY EX EX V X reg. EX EX EX [ x x 4 dx x 0 0 x5 5 R. x f X xdx ] och därmed blir V Y V X 4V X c För x gäller F X x x 0 f X tdt x 0 x x + t t dt 0 [ t t ] x 6x x x x + 5 och därmed får man 0, x < F X x 0 6x x + 5, x, x > 0.5p så att P X > 0.5 F X p 6. Betrakta följande simultana sannolikhetsfunktion för X och Y med värden i {,, 4} respektive {, 0, }. X, Y 0 6 a 4 b 4 0 b Är X och Y oberoende? c Är händelserna X och Y oberoende? d Beräkna EXY och V XY. p p Page 4 of 7

5 a och a p b p b Nej, eftersom P X 4, Y 0 5 P X 4P Y 4 c Ja, händelserna X och Y är oberoende eftersom d P X, Y P X P Y EXY Eftersom X och Y är ej oberoende, gäller INTE EXY EXEY! Därför måste man också beräkna V XY med E[XY ] [EXY ]. och därmed E[XY ] V XY p 9 0.5p 7. Antag att vikten av metallskivor kan approximeras med en µ, 4.5-normalfördelad variabel i gram. Hur många observationer måste man göra för att konfidensintervallet för µ med konfidensgraden 95% skall högst ha längden? Vi får ett exakt 00 α% konfidensintervall med α 0.05 för µ med ] [ ] σ I µ [ x ± λ 0.05 n x ± n med längden n! n. 7. Page 5 of 7

6 . Följande mätvärden för intelligenskvot IK kommer från två grupper av personer A och B. A B Härvid anses dem uppmätta värdena vara två oberoende stickprov från en Nµ A, σ- respektive Nµ B, σ-fördelning med σ 6. a Beräkna ett 99% konfidensintervall för skillnaden. Ger detta intervall någon grund för att påstå att de IK-väntevärdena skiljer sig mellan grupperna? b Är det rimligt att anta samma varians i de båda grupperna? a Vi har n A 0, n B, X A 96.6, x B 0.5, λ p 00 α% konfidensintervall med α 0.0: I µa µ B x A x B ± λ σ ± [.,.4] 0.5p n A + n B 0 + Det vill säga att konfidensintervallet innehäller värde 0, så det ger ingen grund för påståendet att de IK-väntevärdena skiljer sig mellan grupperna. b Om grupperna har valds helt slumpmässigt, så är det rimligt att anta samma varians i de båda grupperna. Men om det finns vissa skillnader mellan grupperna ålder, utbildning, etc., då kan spridningen variera. 9. Antag att man har ett stickprov x,..., x n av storlek n, d.v.s. x i är observationer av oberoende och likafördelade stokastiska variabler X i med väntevärde µ och varians σ. När man skattar variansen σ finns det flera möjliga alternativ, till exempel s n x i x och s n i a Visa att s är ej väntevärdesriktig. x i x. b Ibland använder man plus/minus två gånger standardavvikelsen för att ange ett approximativt mått för spridningen. Varför gör man så? i p p Page 6 of 7

7 a men Es reg. E Xi nx n reg. def. n i i EXi n EX }{{}}{{} V X i+ex i V X+EX V X i + EX i nv X + EX n i σ + µ σ n n + µ n i nσ + nµ σ nµ n nσ σ n n n σ σ n Es E n s n n Es n n σ σ b Två kommer från λ , som motsvarar en 95% konfidensnivå för normalfördelade data. Även om data inte är normalfördelade är två gånger standardavvikelsen ett bra tumregel för hälften av konfidensintervall längden. Lycka till! Page 7 of 7