(a) Vilket av följande alternativ är sannolikheten för JACKPOT: P (A \ B), P A C \ B, P (A \ B), P A C \ B C?

Transkript

1 Lösningar till tentamen i Militärteknik Grundkurs Metod 1OP103 Del: Statistik Datum: , Tid: Hjälpmedel: Kurslitteratur, egna anteckningar, miniräknare, dator (ej internettillgång) Ansvarig lärare: Stefan Johansson Avdelningen för Militärteknik, Försvarshögskolan För att bli godkänd på kursen så ska denna deltentamen vara godkänd. Gräns för Godkänd: För godkänt krävs minst hälften av total maxpoäng (12 poäng). Om man får mindre än hälften av total maxpoäng så genomförs omtentamen. Gräns för Väl Godkänd: För att tentamen ska bedömas som Väl Godkänd så krävs minst 75 % av totalpoängen (18 poäng). Bonuspoäng: Bonuspoäng från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Kurslitteratur, formelsamling, miniräknare, dator (ej internettillgång). Genomförande: Lösningar skrivs på utdelade papper. Lös ej era uppgifter på samma papper. Använd endast ena sidan av papprena. Lösningar ska vara motiverade och resonemang ska gå att följa. 1. Några alerta studenter funderar en dag på livets väsentligheter. Det anses att rast nummer 2 försenas med sannolikheten 0:3 (P (A), d.v.s. A betecknar händelsen att rast 2 försenas). Dessutom kan man se att kat är förstärkt med sannolikhet 0:2 (P (B), d.v.s. B betecknar händelsen att kat är förstärkt). Omfattande mätningar säger att sannolikheten för JACKPOT (d.v.s. förstärkt ka och rasten tas ut i tid) är 0:05. (a) Vilket av följande alternativ är sannolikheten för JACKPOT: P (A \ B), P A C \ B, P (A \ B), P A C \ B C? A C : Rasten tas ut i tid. B: Förstärkt ka. A C \ B: Rasten tas ut i tid och Förstärkt ka. Svar: P A C \ B (b) Bestäm sannolikheten för P (A \ B) och beskriv händelsen i ord. A: Rasten är försenad. B: Förstärkt ka. A \ B: Rasten är försenad och Förstärkt ka. Följande är känt, och sökt sannolikhet är markerad: B B C A P (A \ B) 0:3 A C 0:05 0:2 1 Då ses att P (A \ B) = 0:2 0:05 = 0: Svar: P (A \ B) = 0: 1

2 (c) Är A och B oberoende? Om oberoende föreligger så ska P (A) P (B) = P (A \ B) P (A) P (B) = 0:2 0:3 = 0:06 6= 0: = P (A \ B) Svar: Händelserna är beroende (2+2+2 p) 2. Två personer försöker ta ett välgrundat beslut om tårtinköp. För att bestämma storleken på tårtan så vill de kartlägga hur mycket tårta en person avser äta. De utför varsin utredning. Person 1 skapar en stokastisk variabel X som anger hur många tårtbitar en person äter. Person 2 tycker att tårtbit är ett för inexakt mått, så han skapar en stokastisk variabel Y som anger sammanlagd vikt (kg) av tårta som en person äter. Efter noggrann utredning så blev resultatet en sannolikhetsfunktion och en täthetsfunktion som beskriver de stokastiska variablerna (se bifogade grafer) Om ovanstående känns rörigt så behöver du bara veta att du ska undersöka de två stokastiska variablerna som nns i bifogade gurer. (a) Skissa på hur de två fördelningsfunktionerna ser ut. OBS! Ingen härledning, bara skiss, men motivera hur du tänkt när du ritat skissen. 2

3 3

4 Svar: Se gurerna 4

5 (b) Nyttja de 4 graferna för att bestämma P (1 X 3) och P (Y > 0:25). OBS! Du ska visa i samtliga grafer hur du tänkt, och överslagsräkningar är tillåtet. P (1 X 3) = 0:3 + 0:2 (summera staplar i sannolikhetsfunktionen) eller P (1 X 3) = 0:6 0:1 (höjdskillnad i fördelningsfunktionen) P (Y > 0:25) = 0:96 (kan approximeras genom att räkna rutor i täthetsfunktionen) eller P (Y > 0:25) = 1 0:04 = 0:96 (kan approximeras genom att räkna höjdskillnad i täthetsfunktionen) Svar: Se ovanstående uppskattningar (3+3 p) 3. Är man morgontrött så måste man se till att vara ute i god tid. Tiden för din resa till arbetet mäts i minuter med den normalfördelade stokastiska variabeln X 2 N (60; ). (a) Bestäm sannolikheten för att du ska komma i tid om jobbet börjar 70 minuter efter resans starttid P X 60 0:67 = (0:67) = P (X 70) = P X 60 0:7486 Svar: är sannolikhet för att komma i tid (b) Hur lång tid bör du planera för resan om sannolikheten för att komma för sent ska vara 0.25? Låt planerad restid vara x: P (X > x) = 0:25 1 0:25 = 0:75 = P (X x) = P X 60 = x 60 x 60 Leta i tabell 1 efter sannolikheten 0.75, så fås x 60 0:675 x 0: = 70:125 Svar: Om restiden planeras till 70:125 minuter så fås önskad sannolikhet. (c) Här ska du bestämma sannolikheten med största möjliga noggrannhet. Hur lång tid bör du planera för resan om sannolikheten för att komma för sent ska vara ? Låt planerad restid vara x: P (X > x) = P X 60 = 0:00001 > x 60 Ur tabell 2 fås då direkt x 60 = 4:2649 x = 4: = 123:9375 Svar: Om restiden planeras till 123:9375 minuter så fås önskad sannolikhet. 5

6 (d) (Ej poänggivande) Kan du argumentera för brister i modellen? Ett exempel på att modellen inte är komplett: P (X < 0) = P X 60 > 60 = 0:00003 Är det rimligt att överhuvudtaget kunna få möjlighet att anta negativa restider? Svar: Se resonemang ovan ( p) 4. Man har upptäckt oroande tendenser i förorter till storstäder. För att utreda det så har man mätt intelligenskvoter (IQ) hos personer i två förorter till Göteborg. IQ hos 10 invånare i Borås: 60, 54, 24, 55, 43, 40, 36, 49, 19, 79 IQ hos 10 invånare i Halmstad: 25, 26,27,33,45,65,83,84,88,90 (a) Bedöm huruvida någon (eller båda) kan anses för normalfördelade. De olika data rangordnas var och en för sig och ritas in i varsitt normalfördelningspapper. Borås: % % 25% 35% 45% 55% 65% 75% 85% 95% Halmstad: % % 25% 35% 45% 55% 65% 75% 85% 95% Genom att studera bifogade normalfrödelningspapper så tycks Borås ansluta sig bäst till en normalfördelning (rät linje). Svar: Borås kan anses vara normalfördelade, men ej Halmstad. (b) Välj den som ser ut att bäst passa som normalfördelning och uppskatta på något sätt fördelningens väntevärde och standardavvikelse. I bifogat normalfördelningspapper över Borås, så är det utmärkt skattning för väntevärde och standardavvikelse. Svar: Väntevärde skattas till 44 och standardavvikelse skattas till 62:5 36:5 2 = (4+2 p) 6

7 Bifogade normalfördelningspapper till uppgift 4: Uppgiften är löst genom att rita för hand och sedan är dessa papper inskannade.. 7

8 . 8