Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Transkript

1 Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016

2 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation) Väntevärdesriktig (unbiased) Metoder för punktskattning Momentmetoden Maximum Likelihood

3 STICKPROV Chalmers University of Technology

4 Populationer kontra stickprov Antag att vi vill mäta Genomsnittlig vikt på alla 5-åringar i Sverige: Population: alla 5-åringar i Sverige. Genomsnittligt antal sidor i alla skönlitterära böcker i stadsbiblioteket. Population: alla skönlitterära böcker i stadsbiblioteket. Genomsnittlig IQ hos alla Chalmers-studenter. Population: alla Chalmers-studenter. Men det kan vara svårt att mäta hela populationen.

5 Stickprov När man vill mäta något i en population, men inte kan mäta hela populationen, så drar man ett stickprov istället. Ett stickprov utgör ett antal upprepade oberoende mätningar på en viss stokastisk variabel eller från en viss fördelning. Stickprovet ska vara oberoende och representativt för populations, så att det ger en uppskattning av det mätta värdet i hela populationen.

6 Definition: stickprov Stokastiska variabler,, kallas för stickprov från en fördelning om de är oberoende och lika fördelade enligt. De faktiska mätvärdena på stickprovet betecknas som vanligt med,,.

7 Stickprovsmedelvärde och varians För ett stickprov,, ges stickprovsmedelvärdet av = 1 Stickprovsvariansen ges av = 1 1 = 1 1 Stickprovsstandardavvikelse: =

8 Statistisk analys (inferensteori) Statistik används för att dra slutsatser om en stor population med hjälp av stickprov. Tex Skatta parametrarna i någon fördelning Utföra hypotestest

9 Statistika (statistic) Antag att vi vill skatta parametern i någon fördelning mha stickprovet,,. En statistika är en funktion av stickprovet som används för att skatta en parameter. Exempel: Stickprovsmedelvärdet skattar väntevärdet. Stickprovsvariansen skattar variansen. En statistika är också en stokastisk variabel.

10 PUNKTSKATTNING Chalmers University of Technology

11 Punktskattning (point estimation) Låt,, vara ett stickprov från någon fördelning som har parameter. Statistikan Θ =h(,, ) som används för att skatta kallas för punktskattningen av. Punktskattningens verkliga värde betecknas =h(,, )

12 Väntevärde och varians av Låt,, vara ett stickprov från en fördelning med väntevärde och varians. Då har stickprovsmedelvärdet Väntevärde: = Varians: =

13 Centrala gränsvärdessatsen Om,, är ett stickprov från en fördelning med väntevärde och varians så är stickprovsmedelvärdet approximativt (, / ) och = / (0,1)

14 Vanliga punktskattningar Väntevärde och varians i en fördelning =, = Proportionen som tillhör en viss grupp =, där =antal av som tillhör gruppen Skillnad i väntevärde mellan två grupper = Skillnad i proportioner mellan grupper =

15 Skillnad i medelvärden Vi har två oberoende stokastiska variabler och med väntevärden och varians (, ) och (, ), respektive. Låt,, och,, vara stickprov på och. Då har vi att, +

16 Skillnad i medelvärde På samma sätt som tidigare = ( ) + (0,1)

17 Väntevärdesriktig (unbiased) Antag att vi har ett stickprov,, från någon fördelning med parameter Θ. Vi vill skatta Θ mha stickprovet, men hur? Vad är en bra skattning? Ett viktigt kriterium: En skattning Θ är väntevärdesriktig om Θ =Θ Dvs olika stickprov skulle ge olika värden, men i snitt skulle vi ha att =.

18 MOMENTMETODEN OCH MAXIMUM LIKELIHOOD

19 Metoder för punktskattning Väntevärde och varians kan skattas mha stickprovsmedelvärdet och variansen. Men hur gör man för en allmän parameter? De två vanligaste metoderna för punktskattning Momentmetoden Maximum Likelihood

20 Stickprovsmoment Låt,, vara ett stickprov på en stokastisk variabel. Det :te momentet för :s fördelning är, för =1,2,3, Det :te stickprovsmomentet är då 1, för =1,2,3,

21 Momentmetoden Låt,, vara ett stickprov på vars fördelning har okända parametrar,,,. Skattningarna,, av dessa ges av att lösa ekvationssystemet = = =