Jämförelse av två populationer

Transkript

1 Föreläsning 10 (Kap , ): Jämförelse av två populationer Marina Axelson-Fisk 18 maj, 2016

2 Goodness-of-fit test Kontingenstabeller Idag: Jämförelse av två medelvärden Jämförelse av två varianser

3 GOODNESS-OF-FIT TEST Chalmers University of Technology

4 Goodness-of-fit test Vi drar ett stickprov,, och vill testa hypotesen :fördelning :annan fördelning Låt Test-statistika =observerad frekvens av kategori =förväntad frekvens under = där är antal kategorier och antal skattade parametrar. Vi förkastar på signifikansnivå om >,.

5 Kontingenstabeller (ej på tentan) Ibland vill man testa om två olika grupperingar följer samma mönster eller inte. Tex ger två bedömare ungefär samma betyg? är ingångslön oberoende av ingenjörsprogram? Man ställer upp hypotestestet :grupperingarna är oberoende :inte oberoende

6 Kontingenstabeller Låt r vara antal kategorier i första grupperingen och c antal katetgorier i andra Vi drar ett stickprov på observationer och arrangerar i en -frekvenstabell där =antal i första kategori och andra

7 Kontingenstabeller Låt = sannolikheten att observation hamnar i cell (,). Om grupperingarna är oberoende borde = där =sannol att hamna i rad =sannol att hamna i kolumn Vi skattar och med = 1 (medelv. rad ) = 1 Förväntad frekvens: = (medelv. kol )

8 Test-statistika Kontingenstabeller = Vi förkastar hypotesen om oberoende på signifikansnivå om >,

9 JÄMFÖRELSE AV TVÅ STICKPROV

10 Jämförelse av två stickprov Man har två populationer som man vill jämföra. Tex skillnad mellan två grupper skillnad mellan före och efter en behandling/förändring Inferensen är väldigt lik den för ett stickprov, men nu arbetar vi med differensen mellan väntevärden.

11 Jämförelse av två normalfördelningar Antag att vi har två oberoende populationer, och (, ) Vi drar ett stickprov från vardera,, från (, ),, från (, ) Nu gäller att differensen i medelvärden, +

12 Hypotestest av två väntevärden Vi vill testa om det är någon skillnad mellan de två fördelningarna: : = : =0 mot något av alternativen : 0 : >0 : <0

13 Hypotestest av två väntevärden, generellt Vi vill testa om det är någon skillnad mellan de två fördelningarna: : = mot något av alternativen : : > : <

14 Test av två väntevärden, kända varianser Test-statistika när och är kända = + Som vanligt förkastar vi (0,1) Chalmers University of Technology för : om / för : < om för : > om

15 Test av två väntevärden, okända varianser Fall I: och okända men lika: = = Fall II: och okända och Chalmers University of Technology

16 Fall I: varianser okända men lika Variansen för reduceras till = + 1 = + 1 och skattas respektive med = 1 1 = 1 1

17 Fall I: varianser okända men lika och och vägs samman (pooled) så att den sammanlagda variansen skattas med = Test-statistikan blir = 1 + 1

18 Fall II: varianser okända och olika Varianserna och skattas med och. Test-statistikan blir = s + men där frihetsgraderna inte längre kan fås exakt utan måste skattas med (avrunda nedåt) = + / 1 + 1

19 Specialfall: parat t-test Ett specialfall är när stickprovet kommer i par (tex före och efter en förändring),,,,(, ). Då jobbar man med differensen direkt =, / där skattas med Test-statistikan blir = 1 1 = /

20 Jämförelse av två andelar Nu har vi två stickprov,, och,, där = 1 om försök lyckas (med sannol ) 0 annars = 1 om försök lyckas(med sannol ) 0 annars och där, och (, ) Vi testar : = med test-statistikan = (0,1)

21 Jämförelse av två varianser Vi har två stickprov,, (, ) och,,,. Vi vill testa : = mot något av alternativen : : < : > Vi skattar och med och, respektive. Test-statistikan = / /, är -fördelad med frihetsgrader 1 i täljaren och 1 i nämnaren.

22 F-fördelning Chalmers University of Technology