Konfidensintervall, Hypotestest

Transkript

1 Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016

2 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test av i (, ) när är känd Test av i (, )

3 KONFIDENSINTERVALL Chalmers University of Technology

4 Konfidensintervall för i, Stickprov,, från (, ). Konfidensintervall % för : känd: =± / där Φ / =/2 fås från (0,1)-tabell. okänd: =± /, där F /, =/2 fås ur -fördelningstabell.

5 KONFIDENSINTERVALL FÖR I NORMALFÖRDELNINGEN

6 -fördelning (chi-2) Låt,, vara ett stickprov från, där är okänd ( kan vara känd eller okänd). Låt vara stickprovsvariansen. Då är statistikan 1 = -fördelad med 1 frihetsgrader.

7 Konfidensintervall för Låt,, vara ett stickprov från (, ) med stickprovsvarians. Ett % konfidensintervall för ges av 1 1 /, där /, och /, /, fås ur tabell.

8 Observera att: -fördelningen inte är symmetrisk. Vi måste slå upp båda intervallgränserna i ett tvåsidigt intervall. () 1 /2 /2 0

9 -fördelning Chalmers University of Technology

10 Observera att: Konfidensintervall för fås genom att ta roten ur intervallgränserna 1 /, 1 /,

11 Ensidiga intervall En övre konfidensgräns för ges av 1, 1, En undre konfidensgräns för ges av 1,,

12 HYPOTESTEST Chalmers University of Technology

13 Hypotestest Används för att jämföra en viss parameter mot något konstant värde. T ex. 20 eller <20. Två motsatta hypoteser : noll-hypotes det vi ska testa (och vill förkasta). Tex =20. : alternativ hypotes det vi vill påvisa. Tex 20. Testet avgör om vi kan förkasta eller inte på en viss signifikansnivå.

14 Exempel Skiljer sig medellängden hos kvinnliga Chalmers-studenter från 172 cm? Är standardavvikelsen i längd mindre än 12 cm? Är manliga studenter signifikant längre än kvinnliga? Skiljer sig meddellängderna mellan TD och Fysikstudenter?

15 Exempel : =172 mot : 172 : =12 mot : <12 : = mot : > : = mot :

16 Riktlinjer för hypotestest 1. Vi vill uttala oss om någon parameter. Vi har ett påstått noll-värde (en konstant) som vi vill testa mot. Vi konstruerar en noll-hypotes: := 2. Det vi vill påvisa blir vår alternativa hypotes. : (tvåsidigt) eller :> (ensidigt) eller :< (ensidigt) 3. Vi försöker förkasta mha ett stickprov på en viss signifikansnivå.

17 SIGNIFIKANSNIVÅ, TYP-I OCH TYP-II-FEL

18 Typ-I och typ-ii-fel Fö Förkasta inte sann Typ-I Rätt falsk Rätt Typ-II P typ I =kallas testets signifikansnivå. 1 P typ II =1 kallas testets styrka.

19 Exempel Hypotes: person X är skyldig till brott Y. : X är oskyldig, : X är skyldig Fö. Jury: skyldig Förkasta inte. Jury: oskyldig sann: oskyldig Typ-I: värre Rätt falsk: skyldig Rätt Typ-II Man anser att döma en oskyldig är värre än att fria en skyldig.

20 Hur förkastar man? Dra ett stickprov,,. Antag att är sann. Beräkna sannolikheten att få givet stickprov givet att är sann Om sannolikheten är väldigt liten, mindre än given signifikansnivå, tror vi inte längre på. Vi förkastar på given signifikansnivå.

21 HYPOTESTEST AV NORMALFÖRDELNINGEN I

22 Test av när är känd Antag att vi, på signifikansnivå vill testa := : där är någon given konstant. Vi drar ett stickprov,, från (, ) och använder statistikan = / (0,1)

23 Test av när är känd Vi antar att är sann och försöker motbevisa detta. Dvs vi beräknar statistikan under = / och förkastar om < / eller om > /, där Φ / =1 Φ / =/2. Området där förkastas kallas testets kritiska region och / testets kritiska värde.

24 Ensidigt test Alternativt kan man testa := mot ett ensidigt alternativ: :< :> Förkasta om <. Förkasta om >.

25 P-VÄRDE Chalmers University of Technology

26 p-värde Istället för att beräkna en kritisk region för vår beräknade statistika, kan vi beräkna den exakta sannolikheten att få vår observation eller extremare om är sann. Dvs vi kan beräkna det exakta p-värdet och förkastar sedan om /2 för två-sidigt alternativ. för en-sidigt alternativ.

27 p-värde i ett två-sidigt test För vårt stickprov,, och vår noll-hypotes := beräknar vi = / p-värdet blir: =2(1 Φ ) Φ 1 Φ(z ) Förkasta om </2.

28 p-värde ensidigt test := :< := :> Φ 1 Φ( ) =Φ( ) Förkasta om <. =1 Φ( ) Förkasta om <.

29 Test av när är okänd Precis som för konfidensintervall skattar vi med stickprovsvariansen = 1 1 och använder statistikan = /