TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
|
|
- Per Falk
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen
2 TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge grundläggande kunskaper i statistiska metoder, d.v.s. att utgående från observerade data dra slutsatser om fenomen som påverkas av slumpen. Efter fullgjord kurs förväntas den studerande kunna: Utnyttja en lämplig slumpmodell för att beskriva och analysera observerade data och dra slutsatser om intressanta parametrar. Härleda punktskattningar av parametrar och analysera deras egenskaper. Förstå principerna för att dra slutsatser via konfidensintervall och hypotesprövning. Konstruera konfidensintervall och genomföra hypotesprövning för observerade data, redovisa slutsatserna samt bedöma säkerheten. Analysera samband mellan variabler med hjälp av enkel eller multipel linjär regression och bedöma den använda modellens relevans. Tillämpa slumpmodeller och statistiska metoder i samband med frågeställningar inom ekonomi, teknik och naturvetenskap och kritiskt granska resultaten. TAMS65 - Fö1 1/44
3 Innehåll Fö1 Matematisk statistik Beskrivande statistik Statistisk teori Repetition av sannolikhetslära Observation vs stokastisk variabel Punktskattning inledning Momentmetoden TAMS65 - Fö1 2/44
4 Inledning - Matematisk Statistik I dagens tillämpningar skapas det ofta stora datamängder. Det är därför viktigt att kritiskt kunna granska informationen, kunna bearbeta och presentera datan, kunna beskriva variation, kunna formulera slumpmodeller som passar med datan. Då man observerar mätdata ser man ofta variationer i mätvärdena även om man i princip har mätt samma sak. Sannolikhetsmodeller kan man beskriva variationerna Statistiska metoder används för att dra slutsatser som till exempel variationernas storlek. TAMS65 - Fö1 3/44
5 Matematisk Statistik Beskrivande statistik - presentera och sammanfatta data på ett överskådligt sätt. Sannolikhetslära - konstruera modeller som beskriver hur vanliga olika händelser är och som förklarar variationen i mätdata. (TAMS79) Statistisk inferensteori - (inferens = slutledning) dra slutsatser, med någon viss säkerhet, utgående från mätvärden om intressanta parametrar. (TAMS65) TAMS65 - Fö1 4/44
6 Beskrivande statistik Histogram Beskrivande statistik handlar om att åskådliggöra och sammanfatta data. Antag att vi har n observerade värden x 1,..., x n (av en kontinuerlig stokastisk variabel). Dela in tallinjen i små intervall (klasser) som täcker in hela datamaterialet. För varje delintervall räknar man antalet värden i intervallet: f i. Man beräknar sedan den relativa frekvenen: p i = f i /n. Om man sedan låter histogrampelarens höjd vara p i /h så får histogrammet arean 1 och är direkt jämförbart med en täthetsfunktion. TAMS65 - Fö1 5/44
7 Exempel - Normal Låt oss simulera 200 observationer från en N(0, 1)-fördelning med hjälp av MATLAB. n=200; x = normrnd(0,1,n,1); hist(x,20) figure; histfit(x,20) Vilket ger följande histogram. TAMS65 - Fö1 6/44
8 Exempel - Normal TAMS65 - Fö1 7/44
9 Exempel - Normal TAMS65 - Fö1 8/44
10 Exempel - Exponential Simulera 200 observationer från en exponentialfördelning med väntevärde 5 d.v.s. Exp(5). n=200; y = exprnd(5,n,1); hist(y,20) [f g] = ecdf(y); figure; ecdfhist(f,g,20) hold on xx = 0:.1:max(y); yy = exp(-xx/5)/5; plot(xx,yy, r-, LineWidth,2) hold off TAMS65 - Fö1 9/44
11 Exempel - Exponential TAMS65 - Fö1 10/44
12 Exempel - Exponential TAMS65 - Fö1 11/44
13 Lägesmått Antag att vi har n observerade mätvärden x 1,..., x n. Det finns olika lägesmått för en datamängd. Det vanligaste är det aritmetiska medelvärdet, x = 1 n n x i. i=1 Ett annat lägesmått är medianen, { x(n+1)/2, om n är udda, x = 1 2 (x (n)/2 + x (n)/2+1 ), om n är jämn, där x (1) x (n) är datamängden ordnad i storleksordning. Ett tredje lägesmått är typvärdet (eng. mode) som är det vanligaste värdet i datamatrialet. TAMS65 - Fö1 12/44
14 Spridningsmått Som spridningsmått används ofta stickprovsvariansen s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, i=1 eller stickprovsstandardavvikelsen s = 1 n (x i x) n 1 2. Om våra observerade värden x i är någorlunda lika så blir x i x alla små och vi får en liten spridning. Att vi delar med n 1 istället för n kommer vi diskutera senare då vi tar upp egenskaper hos dessa skattningar. i=1 TAMS65 - Fö1 13/44
15 Exempel - Beskrivande Statistik Låt s i, i = 1,..., 254 vara slutkursen för Ericsson B från till Vidare låt x i = ln s i+1 s i. Vi vill nu analysera detta med hjälp av MATLAB. kurs = [ ] ; x = log(kurs(2:end)./kurs(1:end-1)); TAMS65 - Fö1 14/44
16 Exempel - Beskrivande Statistik TAMS65 - Fö1 15/44
17 Exempel - Beskrivande Statistik TAMS65 - Fö1 16/44
18 Exempel - Beskrivande Statistik Datamaterialet kan åskådliggöras med MATLAB på olika sätt, så att man får bättre överblick. [muhat, s] = normfit(x) figure;boxplot(x) figure;histfit(x,50) figure;normplot(x) muhat = s = e TAMS65 - Fö1 17/44
19 Exempel - Box-plot Största och minsta värdet, medianen, undre och övre kvartilen. + är outlier, alltså värden som verkar avvika från de övriga. TAMS65 - Fö1 18/44
20 Exempel - Histogram Histogrammet visar ungefärlig form för täthetsfunktionen. TAMS65 - Fö1 19/44
21 Exempel - Normalfördelningsplot I normalfördelningsplotten ska punkterna ligga ungefär på en rät linje om mätvärdena är observationer av normalfördelade stokastiska variabler. S-form pga. att fördelningen är lite för spetsig. TAMS65 - Fö1 20/44
22 Exempel, forts. Både histogrammet och normalfördelningsplotten antyder i det här fallet att det är rimligt att anta normalfördelning. Man brukar säga av avkastningen för en aktie är log-normalfördelad, det vill säga att logaritmen av avkastningen är X i = ln S i+1 S i N(µ, σ), för några parametrar µ och σ (eller σ 2 ). I kursboken används notationen X N(µ, σ) i andra böcker kan man se X N(µ, σ 2 ). TAMS65 - Fö1 21/44
23 Exempel, forts. För att uppskatta µ och σ (på dagsbasis) kan vi använda Man kan också visa att ˆµ = x = och ˆσ = s = (s kallas för volatiliteten). ln S T N ( ln S 0 + µt, σ ) T och att ( ) E(S T ) = S 0 e µ+ 1 2 σ2t, var(s T ) = S0 2 e 2(µ+ 1 2 σ2 )T e σ2t 1, vilka vi kan uppskatta då vi har uppskattningar på µ och σ. Volatiliteten på årsbasis ges av σ 252 vilken skattas med s 252 = = 35.9%. TAMS65 - Fö1 22/44
24 Exempel, forts. Vi kan också bilda något som vi kallar konfidensintervall för µ och σ. [muhat, s, mu_ci, sigma_ci] = normfit(u) mu_ci = sigma_ci = Alltså, vi har I 0.95 µ = ( , ) och I 0.95 σ = (0.0208, ). Ett konfidensintervall I 1 α θ är ett intervall som med sannolikheten 1 α täcker över den verkliga parametern θ. TAMS65 - Fö1 23/44
25 Statistisk Inferens - Huvudproblem För att beskriva variationerna används stokastiska variabler (s.v.) som bygger upp slumpmodeller. Ex. Ett mätresultat kan vara U N(µ, σ) eller T Exp(λ). Ex. Vid en undersökning blir antalet som säger att de är positiva till att ha valutan Euro, en s.v. Y som är approximativt binomialfördelad, det vill säga Y Bin(n, p). I båda våra exempel ovan innehåller slumpmodellerna parametrar µ, σ, λ och p. TAMS65 - Fö1 24/44
26 Statistisk Inferens Statistisk teori handlar om att med observerade mätvärden göra punktskattningar, d.v.s. ta fram approximativa värden på parametrarna i slumpmodellen, konstruera konfidensintervall som beskriver vilka parametervärden som är tänkbara med hänsyn till de observerade värdena (dess variationer), pröva hypoteser angående parametrarna i slumpmodellen, t.ex. eller om vi vill testa H 0 : µ = 0 mot H 1 : µ > 0 H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p > 0.5. TAMS65 - Fö1 25/44
27 Repetition av sannolikhetsläran Det är viktigt att kunna beräkna väntevärde och varians. Sats. Om Y = g(x ), så gäller att k g(k)p X (k) E(Y ) = g(x)f X (x)dx diskret s.v. kont. s.v. Sats. Variansen för den s.v. X är definierad som var(x ) = E((X µ) 2 ), där µ = E(X ) och kan beräknas enligt var(x ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. TAMS65 - Fö1 26/44
28 Exempel Den s.v. X har täthetsfunktion { 2x för 0 x 1 f (x) = 0 annars. Beräkna var(x ) och E(e X ). Vi har att E(X 2 ) = [ 1 0 x 2 2xdx = 2 x4 4 E(X ) = [ 1 0 x 2xdx = 2 x3 3 ] 1 ] 1 0 = 1 2 och 0 = 2 3, vilket ger var(x ) = E(X 2 ) (E(X )) 2 = = Vidare gäller att E(e X ) = 1 0 ex 2xdx = [ 2e x x 2 e x dx ] 1 0 =... = 2 TAMS65 - Fö1 27/44
29 Sats. Om X 1,..., X n är s.v. och c 1,..., c n är konstanter, så gäller att ( n ) n E c i X i = c i E (X i ) i=1 i=1 och om X 1,..., X n är oberoende, så gäller också att ( n ) n var c i X i = ci 2 var (X i ) i=1 Satsen ovan är mycket viktig och vi kommer använda den många gånger framöver! i=1 TAMS65 - Fö1 28/44
30 Normalfördelning En s.v. X N(µ, σ) om f X (x) = 1 σ 2π Denna täthetsfunktion ger besvärliga integraler. (x µ) 2 e 2σ 2. Speciellt om Z N(0, 1) så har vi fördelningsfunktionen P(Z z) = som finns i tabell för z 0. z 1 2π e t2 /2 dt = Φ(z) Sats. Om X N(µ, σ) så gäller att Y = X µ σ N(0, 1). TAMS65 - Fö1 29/44
31 Exempel Låt den s.v. vara X N(5, 0.8). Beräkna P(3.5 < X < 6) och c så att P(X > c) = 0.9. P(3.5 <X < 6) = P ( ) X } 0.8 {{} 0.8 =Y N(0,1) = P( Y 1.25) = Φ(1.25) Φ( 1.875) = Φ(1.25) (1 Φ(1.875)) = Φ(1.25) + Φ(1.875) = = = P(X > c) = P ( Y > c ) c = 1.28 c = TAMS65 - Fö1 30/44
32 Sats. Om X 1,..., X n är oberoende X i N(µ i, σ i ) samt d, c 1,..., c n är konstanter, så gäller att n n d + c i X i N d + c i µ i, n i=1 i=1 i=1 c 2 i σ2 i En linjär kombination av ober. normalvariabler är normalfördelad och parametrarna är väntevärdet och standardavvikelsen Sats. Om X 1,..., X n är oberoende och X i N(µ, σ) så gäller att X = 1 n ( ) σ X i N µ, n n i=1 TAMS65 - Fö1 31/44
33 Bevis Den s.v. X är normalfördelad, eftersom den är en linjärkombination av oberoende normalvariabler, använd sats ovan. Vi beräknar parametrarna E ( X ) = E ( 1 n ) n X i = 1 n i=1 n E (X i ) = 1 }{{} n n µ = µ =µ i=1 var( X ) = var ( 1 n ) n X i = /ober./ = i=1 = 1 n 2 nσ2 = σ2 n ( ) 1 2 n n i=1 var(x i ) }{{} =σ 2 TAMS65 - Fö1 32/44
34 Exempel Observation vs Stokastisk variabel Gör ett kast med en tärning. Före kastet: resultatet är en s.v. X som antar värdena 1,..., 6 med slh. 1/6. Efter kastet: tex. x = 5, vilket är en observation av X. Gör tio kast med en tärning. Före kasten: resultaten är oberoende s.v. X 1, X 2,..., X 10, med samma fördelning som X. Efter kasten: vi fick x1 = 2, x 2 = 5,..., x 10 = 6 som är observationer av X 1,..., X 10. Man säger att x 1,..., x 10 är ett slumpmässigt stickprov. TAMS65 - Fö1 33/44
35 Språkbruk Observationer: x 1,..., x n Stokastiska variabler: X 1,..., X n Population: Samtliga möjliga observationer. Stickprov (sample): Delmängd av en population. Slumpmässigt stickprov (random sample): Oberoende likafördelade s.v. X 1,..., X n. Stickprovsfunktion (statistic): g(x 1,..., X n ). Stickprovsmedelvärde (sample mean): X = 1 n n i=1 X i, även x = 1 n n i=1 x i brukar kallas stickprovsmedelvärde. TAMS65 - Fö1 34/44
36 Språkbruk, forts. Stickprovsvarians (sample variance): S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X ) 2 med observerat värde s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2 Stickprovsstandardavvikelse S resp. s = n i=1 (x i x) 2 1 n 1 Medelvärdet x = 1 n n i=1 x i ligger centralt bland mätvärdena 1 medan stickprovsstandardavvikelsen s = n n 1 i=1 (x i x) 2 är ett mått på hur utspritt datamaterialet är kring x. TAMS65 - Fö1 35/44
37 Exempel Punktskattning, inledning Vi har gjort fem bestämningar av tyngdaccelerationen θ i Linköping. Vi har då fått observationerna x 1 = 9.82, x 2 = 9.81, x 3 = 9.79, x 4 = 9.81, x 5 = 9.80 Vi söker ett approximativt värde på θ, d.v.s. vi vill (upp-)skatta θ. Förslag: ˆθ = x = x i = (= θ (x) i boken) Är detta ett matematiskt statistiskt problem? Ja, ty att förklara variationerna i mätvärdena använder vi en slumpmodell. TAMS65 - Fö1 36/44
38 Låt x i vara observationer av en s.v. X i = θ + ε i, där ε i är ett slumpmässigt mätfel, ε i N(0, σ) och ε 1, ε 2,..., ε 5 är oberoende. Det följer då att X i N(θ, σ). Vad händer om vi gör om försöket? Troligen ett nytt värde på ˆθ. Det fixa värdet ˆθ = x är en observation av den s.v. ( ) σ Θ = X N θ,. 5 Genom att studera Θ (θ (X) i boken) får vi ) en uppfattning om hur tillförlitligt vårt ˆθ-värde är. Notera att E ( Θ = θ. TAMS65 - Fö1 37/44
39 Språkbruk Det finns tre sorters olika θ: θ = det verkliga värdet på tyngdacc (fixt tal) ˆθ = approximativt värde på θ beräknat med hjälp av våra observerade värden x 1,..., x 5 (fixt tal) Θ = stokastisk variabel som beskriver hur ˆθ kan variera för olika mätserier. TAMS65 - Fö1 38/44
40 Punktskattning Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, vars sannolikhetsfunktion p(k; θ) eller täthetsfunktion f (x; θ) innehåller en okänd parameter θ. Vi söker ett approximativt värde på θ, dvs. en punktskattning baserad på x 1,..., x n. Definition. En punktskattning är en funktion av de observerade mät- värdena, det vill säga ˆθ = g(x 1,..., x n ). I boken har vi notationen ˆθ = θ (x). TAMS65 - Fö1 39/44
41 Stickprovsvariabeln Det fixa värdet ˆθ (eng. estimate) är observation av stickprovsvariabeln (eng. estimator) Θ = g(x 1,..., X n ). I boken har vi notationen Θ = θ (X). Ibland kallar vi även Θ för skattningsvariabel eller (punkt-) skattning. Fördelningen för Θ beskriver vilka värden vi kan få på ˆθ för olika observationsserier. TAMS65 - Fö1 40/44
42 Momentmetoden Ofta kan man hitta lämpliga punktskattningar genom att utnyttja att man alltid kan skatta E(X i ) med hjälp av det aritmetiska medelvärdet x = 1 n x i. n En vidareutveckling av denna idé är momentmetoden, se nedan. Andra intressanta metoder är minsta-kvadrat-metoden (MK-metoden) maximum-likelihood-metoden (ML-metoden). 1 Se mer nästa föreläsning. TAMS65 - Fö1 41/44
43 Momentmetoden Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n med täthetsfunktion eller sannolikhetsfunktion som beror av θ. θ endimensionell: Om E(X i ) = µ(θ) så ges ˆθ av ekvationen µ(ˆθ) = x θ tvådimensionell: Då är θ = (θ 1, θ 2 ) och E(X i ) = µ 1 (θ 1, θ 2 ), E(Xi 2 ) = µ 2 (θ 1, θ 2 ). Vidare ges ˆθ 1 och ˆθ 2 av ekvationssystemet µ 1 (ˆθ 1, ˆθ 2 ) = x µ 2 (ˆθ 1, ˆθ 2 ) = 1 n n i=1 x 2 i Anm. Namnet momentmetoden beror på att µ k = E(X k ) kallas moment av ordningen k. Väntevärdet E(X ) är alltså första ordningens moment, E(X 2 ) är andra ordningens moment etc. TAMS65 - Fö1 42/44
44 Exempel - Normal Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, där X i N (µ, σ). Skatta µ och σ 2 med momentmetoden. E(X ) = µ mm ger ˆµ = x E(X 2 ) = var(x i ) + (E(X i )) 2 = σ 2 + µ 2 mm ger ˆσ 2 + ˆµ 2 = 1 n xi 2 n ˆσ 2 = 1 n i=1 n i=1 x 2 i x 2 =... = 1 n n (x i x) 2. i=1 TAMS65 - Fö1 43/44
45 Exempel - Binomial Antag att x 1,..., x m vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X m, där X i Bin(n, p). Observera att vi har m observationer från Bin(n, p). Skatta p med momentmetoden. Vi har att Momentmetoden ger E(X i ) = np = µ(p) där x = 1 m m i=1 x i. µ(ˆp) = n ˆp = x ˆp = x n TAMS65 - Fö1 44/44
46
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merTAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test
TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö8
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merTAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merTAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merDatorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se
Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras Föreläsning 10 Inferens
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merb) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merFöreläsning 3, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: Mer om maximum likelihood, minsta kvadrat. Linjär regression, medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 24.09.2008 Jan Grandell
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mer