Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Transkript

1 Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 3/3

2 , E(X), μ, μ X, m,... (Kap. 3.5) t anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = f X() d Kont. k kp X(k) Diskr. Varians, V(X), σ, σ X (Kap. 3.5) Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } V(X) = E{ X E(X) = E(X ) E(X) Standardavvikelse:, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 4/3 α-kvantil, α (Kap. 3.5 & 3.6.3) En kvantil, α, till en s.v. X är en gräns som överskrids med slh α. F X ( α ) = α α f X () d = α α f X () d = α f a a _a Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 5/3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 6/3

3 fördelning (Kap. 3.6) Beteckning: X N(μ, σ ) Täthetsfunktion: f X () = ( μ) e σ, < < πσ.5 µ = 4 σ = σ = f X () f X () µ = µ = σ = Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 7/3 fördelning (Kap. 3.6) Standardiserad fördelning (Kap. 3.6.) Om X N ( μ, σ ), E(X) = μ, V(X) = σ så är X μ σ N(, ) f X () = πσ e ( μ) /σ, R F X () = α = μ + σλ α f X (t) dt = Φ( μ σ ), R Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 8/3 Fördelningsfunktion Normplot fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 9/3

4 Fördelningsfunktion Normplot En empirisk fördelningsfunktion konstrueras genom att sortera de n mätvärdena och plotta mätvärde i mot i/n. Vid ett givet -värde kan man då avläsa andelen mätvärden som är mindre än detta. Denna kan jämföras med en fördelningsfunktion. sannolikhet / relativ frekvens för mjölkpaketen, fördelning Volym [l] Matlab: stairs(sort(), (:length())/length()) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 Fördelningsfunktion Normplot Vanligt är att man skalar om alarna i den empiriska fördelningsfunktionen så att en given fördelnings fördelningsfunktion blir en rät linje. T.e en normalfördelningsplot. Denna är användbar för att se om datamaterialet passar den givna fördelningen. sannolikhet / relativ frekvens Mjölkpaketen i en ett normalfördelningsdiagram Volym [l] Matlab: normplot() qqplot(eprnd(,,), epinv((:e3)/e3)) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 Fördelningsfunktion Normplot normplot (Kap ) Probability Probability Plot Data Probability Probability Plot Data Probability Probability Plot Data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3

5 Oberoende fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 3/3 Oberoende (Kap ) E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a V(X) D(aX + b) = a D(X) ( ) E a i X i = a i E(X i ) i= ( ) a i X i = V i= i= a i V(X i) i= om oberoende Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 4/3 Oberoende Specialfall av oberoende och likafördelade s.v. (Kap. 4.4) Låt E(X i ) = μ, V(X i ) = σ Summa: Y = n i= X i ( ) E(Y) = E X i = E(X i ) = i= ( ) V(Y) = V X i = i= Medelvärde: X n = n E(X n ) = V(X n ) = i= i= i= X i i= μ = nμ i= V(X i ) = i= n E(X i) = n σ = nσ i= μ = n nμ = μ i= n V(X i) = n i= σ = n nσ = σ n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 5/3

6 : Brädor Oberoende Kapa brädor med oberoende längder X i. E(X i ) = m och V(X i ) =. m. Bestäm E(Y) och V(Y) om Y ges av a) Sammanlagda längden av stycken. b) Tag en bräda, kapa nio till eakt lika långa. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 6/3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 7/3 CGS (Kap. 4.5) Om X, X,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med E(X i ) = μ, V(X i ) = σ så är i= ( X i N nμ, nσ ) då n stort (n ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 8/3

7 Summa av tärningar. p X (k) Antal tärningar 7 8 k Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 9/3 n = n = n = n = n = 5 4 n = Medelvärde av X i Ep() Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 Äpplen Tag 5 äpplen från ett äppelträd. Låt X i vara vikten av äpple nr i. Vad är slh att den sammanlagda vikten överstiger 3 5 g om E(X i ) = g och V(X i ) = 4 g? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3

8 log- fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 log- fördelning (Kap. 3.6) Beteckning: X N(μ, σ ) E(X) = μ V(X) = σ Täthetsfunktion: f X () = ( μ) e σ, < < πσ.5 µ = 4 σ = σ = f X () f X () µ = µ = σ = Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 3/3 log- log-fördelning (Kap ) Beteckning: X log N(μ, σ ) ln(x) N(μ, σ ) Täthetsfunktion: f X () = (ln() μ) πσ e σ, < < µ = σ =. σ =. µ = σ =.5 5 µ =.5 5 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 4/3

9 log- - eller likformig fördelning (Kap. 6..) Beteckning: X R(a, b) eller X U(a, b) (eng. uniform) E(X) = (a + b)/ V(X) = (b a) / Täthetsfunktion: f X () = { b a, f.ö. a b /(b a) a b Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 5/3 log- fördelning (Kap. 6..) Beteckning: X Ep(a) E(X) = a V(X) = a Täthetsfunktion: { f X () = a e /a, <.5 a = / a = a = a = 4 f X () Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 6/3 log- fördelning (Kap. 6..) Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: En händelse A med P(A) = p upprepas n oberoende gånger. X = Antalet gånger A inträffar. Egenskaper: ( ) n p X (k) = p k q n k, k =,,..., n, q = p k E(X) = np, V(X) = npq Om X Bin(n, p) och Y Bin(n, p), ober. så är X + Y Bin(n + n, p) Om npq är X ungefär normalfördelad. Om n och p. är X ungefär fördelad, X Po(E(X)). Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 7/3

10 fördelning, X Bin(, p) log-.4 p =.. p =.3. p = p = p = p =.95 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 8/3 log- fördelning (Kap. 6..3) Beteckning: X Po(μ) Egenskaper: p X (k) = e μ μk k =,,... k! E(X) = μ, V(X) = μ Om X Po(μ ) och Y Po(μ ), ober. så är X + Y Po(μ + μ ) Om μ 5 är X ungefär normalfördelad. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 9/3 fördelning, X Po(μ) log-.4 µ =. µ =.4 µ = µ = µ = µ = Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 3/3