2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /

Transkript

1 Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL FUNKTION AV EN KONTINUERLIG VARIABEL Antag en väntetid X, mätt i timmar, är eponentialfördelad med f X e för >. Vi vill ha fördelningen för tiden mätt i minuter istället, dvs för Y 6X. Eftersom PX för ontinuerliga fördelningar börjar vi istället med fördelningsfuntionen F Y y PY y P6X y PX y/6 y/6 f X d y/6 e d [ e ] y/6 e y/6 e / för y/6 dvs för y. Definitionen av täthetsfuntionen ger f Y y d dy PY y e y/ för y. Y är ocså eponentialfördelad! f X belastning N Antag att belastningarna olia år är oberoende. Beräna slh att belastningen under ett år överstiger.9 N; slh att den största belastningen under år överstiger.9 N; den belastning som har sannoliheten.5 att inte översridas någon gång på år. Lösning. PX > f X d d [ ] Lösning. PmaX,..., X >.9 [ma är större minst en är större. Jobbigt. Vänd!] PmaX,..., X.9 [ma är mindre alla är mindre] PX.9,..., X.9 [oberoende] PX.9... PX.9 PX.9 PX > / f X.5.5 f Y y, YX Lösning. Vi vill hitta a så att.5 PmaX,..., X > a PmaX,..., X a... PX > a a a 5 vilet ger att a.5 /5.999 N MAXIMUM OCH MINIMUM EXEMPEL FÖRDELNINGEN FÖR MAXIMUM En onstrution utsätts år i för en belastning X i N, med fördelning enligt f Xi, < Om X,..., X n är oberoende s.v. så gäller att PmaX,..., X n PX... PX n och PminX,..., X n > PX >... PX n > Motivering: Om det största värdet ligger under måste alla värdena ligga under. Om det minsta värdet ligger över måste alla värdena ligga över.

2 Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 NÅGRA RESULTAT EXEMPEL FÖRDELNINGEN FÖR SUMMOR Kunder anländer till en affär enligt en Poissonprocess med intensitet Ð. Då är tiderna X, X, etc, mellan successiva under oberoende och eponentialfördelade med väntevärde /Ð, dvs f Xi Ðe Ð, Bestäm fördelningen för tiden från det att affären öppnar till dess att den andra unden anländer, dvs fördelningen för Z X + X. Lösning: PX + X f X,X, y d dy +y [oberoende] f X f X y d dy y +y y Ðe Ð Ðe Ðy dy d [ Ðe Ð e Ðy] d Ðe Ð e Ð d Ðe Ð Ðe Ð d [ e Ð Ðe Ð] e Ð Ðe Ð. f X +X d d PX + X Ðe Ð Ðe Ð + Ð e Ð Ð e Ð för Detta är en Gammafördelning! Summan av ober. Eponentialvariabler med samma väntevärde blir Gamma-fördelad.5.5 X X +X 4 6 X +...+X 4 6 Summa av ober. Normalvariabler blir Normalfördelad. Summa av ober. Poissonvariabler blir Poissonfördelad. Summa av ober. Binomialvariabler med samma p blir Binomialfördelad. Två mycet vitiga satser: E V a + a + VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS FÖR LINJÄRKOMBINATIONER c i X i a + c i X i c i EX i ci VX i om X,..., X n är oberoende Eempel forts: Beräna väntevärde, varians och standardavvielse för tiden tills den andra unden anländer, och för tiden tills den n:te unden anländer. Lösning: EX + X Det ansträngande alternativet: f X +X d, etc.

3 Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 Det enlare alternativet: EX + X EX + EX Ð + Ð Ð. VX + X VX + VX Ð + Ð Ð. DX + X VX + X. Ð EX X n n n EX i. Ð Ð Ð VX X n Ð Ð n Ð n VX i. n DX X n n DX i Ð Eempel forts: Beräna väntevärde, varians och standardavvielse för sillnaden i tid tills den första unden anländer och tiden mellan första och andra unden. Lösning: EX X EX EX Ð Ð. VX X VX + VX Ð + Ð Ð. DX X VX X. Ð Eempel forts: Beräna väntevärde, varians och standardavvielse för medelvärdet av de successiva tiderna mellan de n första underna. Lösning: E X E X i EX i n n n Ð n n Ð Ð V X V X i n n n VX i EX i. Ð n n Ð nð VX i n. D X V X Ð n DX i n STORA TALENS LAG Aritmetisa medelvärdet av observationer av oberoende liafördelade variabler närmar sig väntevärdet när antalet observationer väer.... eftersom E X EX i och variansen avtar med öande n. Medelvärdet ger alltså en bra uppsattning av väntevärdet!

4 Väntevärden Succesiva medelvärden för 6 tärningar Lägesmått Väntevärde, EX, µ, µ X, m,... f X d Kont. EX p X Disr. Väntevärdet anger tyngdpunten för fördelningen och an tolas som det värde man får i medeltal i långa loppet Antal tärningsast Väntevärde av Y gx gf X d EY gp X Kont. Disr. F5 F5 Spridningsmått Varians, V X, σ, σ X V X E{[X EX] } EX EX Variansen anger hur utspridd X är ring sitt väntevärde. Variansen är alltid positiv. Standardavvielse, DX, σ, σ X DX V X Standardavvielsen har samma dimension som X och EX. Beroendemått Kovarians, CX, Y CX, Y E{[X EX][Y EY ]} EXY EXEY Kovariansen anger hur mycet linjärt beroende som finns mellan X och Y. Ur definitionen fås CX, X V X X och Y oberoende CX, Y Obs. CX, Y X och Y oberoende Korrellationsoefficient, ρ, ρ X,Y ρ X,Y CX, Y DXDY ρ F5 F5 4 Korrellation Räneregler EaX + b aex + b V ax + b a V X DaX + b a DX Linjärombination E a i X i a i EX i V a i X i a i a j CX i, X j a i V X i + i<j }{{} om oberoende F5 5 F5 6 Kovariansen är bilinjär dvs linjär i båda argumenten jfr polynommultipliation C a j X j, b Y a j b j CX j, Y j j E. CX + X, Y 4Y CX, Y 4CX, Y + + CX, Y 4CX, Y E. Y X X. Uttryc V Y i V X, V X och CX, X. V Y CY, Y CX X, X X 4CX, X CX, X CX, X + CX, X 4V X 4CX, X + V X F5 7

5 Keno Lett å vinne? Tjugo envisa, glada? Keno-9 spelare Varje dag dras vinstnummer av 7 möjliga. I Keno n väljes n nummer. Antalet vinstnummer X är hypergeometrist fördelat N 7, p, n. 7 Np N p 5 Total insats, total vinst 5 Medelvinst px n N n 45 Insatsen är 5 r i alla spel. I tabellen anger EV förväntad vinst i ronor utan insatsen medränad..5 4 Vinstplan Spel Antal rätt Vinst Sannolihet Totalt EV DV Keno 4.657e e Keno e e Keno e Keno e Keno Keno Keno Keno Keno Antal spel Antal spel