Matematisk statistik

Transkript

1 HF, repetitionsblad Mateatis statisti Uppgift Fördelningsfuntionen för en ontinuerlig stoastis variabel X är F ( x) cx x < x x > Bestä värdet på onstanten c, edianen och täthetsfuntionen för X a) Enligt antagandet är F(x) ontinuerligt i alla punter, däred i punten x Detta utnyttjar vi för att bestäa c: Alltså li F( x) li F( x) (*) x x + Vi har li F( x) x li cx c x edan li F( x) li x + x + Från (*) har vi c c / Anärning: Däred blir F ( x) x x < x x > b) Medianen bestäs geno att lösa evationen F ( x) 5 ( allternativt an vi lösa evationen f ( dt 5 o f(x) är änd) I vårt fall från F ( x) x x < x x > x ( lägg äre till att 5 och 5) får vi x 5 ger x Alltså edianen är c) Täthetsfuntionen får vi geno att derivera F ( x) x x < x x >

2 Alltså x < < x < x > Svar: c /, edianen, x < < x < x > C C Uppgift Låt P( A ) 7, P( B ) 6 och P( B A) 4 a) Är A och B oberoende? Motivera! b) Bestä P( A c) Bestä P ( A a) Anärning: A och B oberoende o och endast o P( A P( A) P( Först P( A C ) 7 P( A) sat P( B C ) 6 P( 4 P( A Enligt definitionen P( B A) Vi substituerar P ( B A) 4 och får P( A) P( A 4 P( A Efterso P ( A) P( 4 har vi att P( A P( A) P( ; ed andra ord är A och B oberoende b) P ( A P( A) + P( P( A P( A c) P ( A P( 4 Svar: a) ja b) 58 c) Uppgift Koponenterna K,,K6 i nedanstående syste fungerar oberoende av varandra ed följande sannoliheter 4, 5, 6, 7,8, och 9 Bestä sannoliheten att systeet fungerar ( Vi anser att systeet fungerar o det finns inst en fungerande väg ellan punterna A och

3 K K K A K K K4 B K5 K6 Vägen V, so består av K oc K, fungerar o både K och K fungerar Sannoliheten att V fungerar är däred v *4*5 På saa sätt V so består av K oc K4 fungerar ed sannoliheten v *46*74 och v 5*68*97 Systeet fungerar o inst en av vägarna V,V,V fungerar ( parallell oppling) Först beränar vi sannoliheten att ingen väg fungerar: P(ingen väg fungerar) (-v)(-v)(-v) 99 P( inst än väg fungerar) - P(ingen väg fungerar) Svar 878 Uppgift 4 En ontinuerlig stoastis variabel X har täthetsfuntionen ( x) o x för övrigt Bestä a) b) edianen och c) väntevärdet till sv X Area x dx ( x) dx [x ] Area Däred är ( x) o x för övrigt Medianen bestäer vi ur evationen F() 5 Men vi har inte given fördelningsfuntion F(x) utan f(x)

4 x Först F ( x) dx Därfor F ( ) 5 är saa evation so dx 5 Medianen bestäer vi ur evationen dx 5 ( Vi an ocså först bestäa fördelningsfuntionen och därefter lösa evationen F(x)5 ) dx Evationen x ( x) dx [x ] [ ] dx 5 dvs [ ] 4 + har två lösningar där endast ligger i intervallet [,], ± Medianen är alltså c) Väntevärdet E(X) x dx x( x) dx ( Svar: a), b) edianen är c) väntevärdet är / x x ) dx [ x x ] Uppgift 5 Man har två reläer so är inställda för utlösning respetive 4 seunder efter en ipuls Utlösningstiderna är ej onstanta utan an betratas so N(, 4) respetive N(4,5) och är oberoende Bestä sannoliheten att det andra reläet utlöses förre det första o de satidigt utsätts för en ipuls Betecning: X utlösningstiden för det första reläet X utlösningstiden för det andra reläet Efterso P(X < X ) P(X X < ), an vi betrata en ny sv YX X och bestäa P(Y<) E(Y)E(X X )4 Variansen: V(Y) 5 + ( ) 4 4 standardavvielsen : D(Y) 4 64 Alltså Y N(; 64) Nu har vi P(X < X ) P(Y<) F() Φ ( ) Φ( ) Φ( 567) 59 σ 64

5 Svar: P(X < X )59 Uppgift 6 En stoastis variabel X har frevensfuntionen 5/ cx, < x < för övrigt Bestä variansen till X Area dx cx 5 / 7 / x dx c[ ] 7 / c 7 Area 7 c c och däred 7 7 x 5/, < x < för övrigt Variansen x dx (forelblad, där är väntevärde Först väntevärde: x dx x x 5/ dx 7 / x dx och därefter 9 x dx 7 7 x 9 / dx 7 Härav variansen x dx Svar Variansen 4 89 Uppgift 7 Låt Y vara suan av noralfördelade sv Y X + + X + X so har väntevärdet µ E(X ) 5 och standard avvielsen σ D(X ) a) Beräna sannoliheten P(48< Y < 5) b) Bestä talet x så att P( Y > x)4 Y N( µ ; σ ) (se forelblad, sida, forel S) Alltså Y N(5 ;)

6 a) P(48< Y < 5) F(5) F(48) Φ ( ) Φ( ) Φ() Φ( ) x 5 b) P( Y > x)4 P( Y x) 96 Φ ( x) 96 Φ( ) 96 x 5,757 x 5 +, Svar a) 686 b) 5 Uppgift 8 Man vill jäföra produter från två fabrier A och B ed avseende på en viss valitetsvariabel hos de tillverade enheterna För båda fabrier an denna variabel antas vara noralfördelade ed oänd standardavvielse Man har testat 5 produter från A och fått följande observationer A Från fabrien B har vi fått följande observationer B Ange ett 95% onfidensintervall för A B där A och B är edelvärdena för valitetsvariabeln hos de båda fabrierna Kan an ed 95% sannolihet påstå att det finns sillnad ellan produter från A och B? 47 s 58 α / 4657 s 5 * ( n ) s + ( n ) s s 54 n + n 5% r antal frihets grader n + n Konfidensintervall: t α / ( n + n * ) σ +, n n + t α / ( n + n * ) σ + n n

7 Efterso n 5, n 7 4 α / 5% α / 975 och t α / ( n + n ) t α / (),8 får vi * t α / () σ Härav får vi för ξ η följande onfidensintervall: [ 58, 44] Svar Konfidensintervall: [ 58, 44] Efterso intervallet innehåller an an INTE ed 95% onfidensgrad påstå att det finns sillnaden ellan A och B Uppgift 9 Låt X vara en sv a) Ange definitionen för väntevärdet av X (dvs definitionen för E(X)) o X är en disret sv b) Ange definitionen för väntevärdet av X o X är en ontinuerlig sv c) Låt X vara en disret sv Bevisa att E(aX+b)aE(X)+b Lösning a) DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Låt X vara en disret sv : X xx xx xx PP(XX xx) pp pp pp pp Väntevärdet för X ( Betecnas, µ eller E(X))definieras enligt följande E ( X ) x p

8 b) Låt X vara en ontinuerlig sv ed täthetsfuntionen f (x) Väntevärdet för X ( Betecnas, µ eller E(X))definieras so E ( X ) x dx c) Låt X vara en disret sv Enligt definitionen gäller E( ax + b) ( ax + b) p ( ax p + bp ) a x p + b p ae( X ) + b * (Vs,b) (Anärning: Vi har använt i * att p och att enligt definitionen x p E(X ) Uppgift Ett syste har i genosnitt 5 fel per år Avståndet ellan två fel är exponentialfördelad Reparationstid är exponentialfördelad och systeets reparationstid är i genosnitt ånad Vid t är systeet ur funtion (dvs fungerar inte vid Vi betecnar p ( t ) sannoliheten för att syste fungerar vid tidpunten t och p ( t ) sannoliheten för att syste inte fungerar vid tidpunten t a) Rita grafen ed övergångsintensiteter ( tidsenhet år) b) Bestä Q-atrisen (so visar övergångsintensiteter) c) Bestä den stationära sannolihetsvetorn, dvs lös evationen p Q d) Bestä den transienta sannolihetsvetorn, dvs lös systeet p ( p( Q, ed avseende på p ( ( p(, p( ) e) Beräna sannoliheten att systeet fungerar vid tidsoent t 5 år Vi betecnar ed E tillståndet "syste fungerar" och ed E tillståndet "syste fungerar inte " dvs systeet är under reparationen Då har vi 5 övergångar från E till E per år Efterso en reparation an göras per en ånad har vi reparations intensitet reparationer per år a) Grafen ed övergångsintensiteter:

9 5 5 b) Från grafen har vi Q-atrisen: Q c) Den stationära sannolihetsvetorn geno att lösa evationen p Q Låt p ( x, y) Då gäller x+y Från p Q 5 5 dvs ( x, y) (,) får vi två evationer 5 x + y (ev) 5 x y (ev) Den andra ev är uppenbart beroende av första För att bestäa x och y löser vi systeet 5 x + y (ev) x + y (ev) (noreringsevation för en sannolihetsvetor) och får x/7 och y 5/7 5 Svar c) p (, ) 7 7 Den stationära sannolihetsvetorn är p ( x, y) ( /7, 5/7) d) Vi bestä den transienta (dvs tidsberoende) sannolihetsvetorn geno att lösa systeet p ( p( Q, ed avseende på p ( ( p(, p( ) 5 5 Från p ( p( Q dvs ( p (, p( ) ( p(, p( ) har vi p 5p ( + p ( ) (ev ) ( t och p 5p ( p ( ) (ev ) ( t Dessuto gäller p + p ( (ev ) ( Ur ev löser vi ut p p ( ), substituerar i ev och får en diff ev ed en obeant: p ( t 5p ( + ( p ( )) ( t eller p + 7 p ( (

10 Hoogena delen p + 7 p ( har arateristisa ev ( 7t r + 7 r 7 och därför Y H Ce Ansats för en partiulär lösning 7t Däred p ( Ce / 7 + Y p A ger A/7 Vid t är systeet ur funtion (dvs fungerar inte vid visar att systeet är i tillstånd E ed sannoliheten ( %) alltså p ) ( p (), p ()) (,) och däred p () Nu an vi bestäa C, ( 7t p ( Ce /7 och p () ger C / 7 + 7t Därför p ( /7e / 7 + 7t 7t Därefter p ( p ( ( /7e + /7) /7e 5/ 7 + 7t 7t 5 och p ( ( p(, p( ) ( e + ; e + ) t 7t 5 Svar d) ( e + ; e + ) e) p (5) 6958 Uppgift a) Bestä en stationär sannolihetsvetor för en Marovedja i disret tid 8 vars övergångsatris är P 4 6 b) Bestä en stationär sannolihetsvetor för en Marovedja i ontinuerlig tid vars intensitetsatris är Q 7 7 a)för att bestäa en stationär sannolihetsvetor för en disret Marovedja löser vi evationen p pp I vårt fall, ed p ( x, y ) har vi 8 ( x, y) ( x, y) 4 6 Härav x x + 4y (ev)

11 y 8x + 6y (ev) eller efter förenling : 8x 4 y (ev) 8x + 4y (ev) Dessuto gäller x + y (ev) (efterso p ( x, y) är en sannolihetsvetor) Från ev får vi y x Detta substitueras i ev och fås x Därefter y x Svar a) p (, ) b) För att bestäa en stationär sannolihetsvetor för en ontinuerlig Marovedja löser vi evationen p Q I vårt fall, ed p ( x, y) har vi ( x, y) (,) 7 7 får vi två evationer x + 7y (ev) x 7 y (ev) dessuto gäller x + y (ev) (noreringsevation för en sannolihetsvetor) Från ev får vi y x Detta substitueras i ev och fås 7 x Därefter y x 7 Svar b) p (, )