TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

Transkript

1 TENTAMEN I KOTEORI dec 7 Ten i ursen HF Tidigare n 6H), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, och TEN i 6H7, Dataommuniation och nätver, ) Srivtid: :-7: Lärare: Armin Halilovic Kursod HF Hjälmedel: Miniränare av vilen ty som helst Numerisa svar sall anges med minst två signifianta siffror. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 8 ugifter á 4 oäng. För omlettering rävs oäng. Betygsgränser: För betyg A, B,, D, E rävs, 4,, 6 resetive oäng. Gamla urser: För betyg, 4, rävs, resetive oäng.) Komlettering: oäng å tentamen ger rätt till omlettering betyg Fx). Vem som har rätt till omlettering framgår av betyget Fx å MINA SIDOR. Denna tentamensla får ej behållas utan lämnas in. Ugift. Q-matrisen Ett system har i genomsnitt 6 fel er år. Tidsavståndet mellan fel är exonentialfördelad. Medel rearationstid är en månad. Vi betecnar t ) sannoliheten för att system fungerar vid tidunten t., och t ) sannoliheten för att system inte fungerar vid tidunten t. Vi antar att sannoliheten för att systemet är i funtion vid t är ). 8 och därför ).. a) Bestäm intensitetsmatrisen Q och motsvarande system med diff. evationer. b) Lös systemet med avseende å t ) och du sa inte lämna in endast svar utan hela lösningen) c) Bestäm sannoliheten att systemet är i funtion vid tiden t månader. d) Bestäm den stationära sannoliheten lim )) t > Ugift. Ett system har tre tillstånd E, E och E med övergångsintensiter enligt nedanstående diagram. a)bestäm Q- matrisen. b) Beräna den stationära sannolihetsvetorn. t 4 Var god vänd!

2 Ugift. a) Härled följande former för ett M/M/ system: ρ ρ, N, T ρ λ b) En ommuniationsanal i ett datornät har aaciteten K bitar/seund. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödiscilin FFS First- ome- First- Served). Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonrocess med intensiteten λ meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exonentialfördelad med medelvärdet v bitar. b) Bestäm värdet å K som erfordras för att medel totaltid för ett meddelande blir T s. Ugift 4. Ett system an modelleras som M/M// ösystem obegränsat antal under). Anomstintensiteten är under/minut och betjäningsintensiteten är under/minut. a) Sissera tillståndsgraf. b) Beräna medelantal under i systemet Ugift. Ett system an modelleras som M/M/// väntsystem, betjänare och ölatser, under. Anomstintensiteten från en und är anomster/minut och medel betjäningstid är x 6 seunder. Beräna a),,..., 4 b) avverad trafi c) särrad trafi d ) sannoliheten att en anommande und finner under i systemet. Ugift 6. Ett betjänings system, som består av 4 datorer och terminaler, an modelleras som ett M/M/4// utaget system, Engset 4 betjänare och ölatser, under) där anomstintensitet från en und är jobb er minut och betjäningsintensiteten är 8 jobb er minut. Beräna a),,,, 4 b) λ eff c) belastning er betjänare d) anrossärr sannoliheten att en anommande und avvisas) Var god vänd!

3 Ugift 7. Ett system an modelleras som M/M/m// system Bernoulli där m a) Härled följande formler: a) + ) a) λmedel, + där antal under, Ugift 8. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem PU och I/O). Nya rogram under) ommer Poissonfördelade till PU med intensiteten λ 9 rogram er minut. Medelbetjäningstid för ett rogram in PU är x 6 seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x seunder. 9% av rogram lämnar nätet efter betjäning i PU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till PU se Fig. 8). Beräna medelantal rogram under) i nätet d v s rogram i PU + rogram i I/O ) Fig. 8. l PU m % 9% I/O m Lyca till!

4 FAIT: Ugift. Q-matrisen Ett system har i genomsnitt 6 fel er år. Tidsavståndet mellan fel är exonentialfördelad. Medel rearationstid är en månad. Vi betecnar t ) sannoliheten för att system fungerar vid tidunten t., och t ) sannoliheten för att system inte fungerar vid tidunten t. Vi antar att sannoliheten för att systemet är i funtion vid t är ). 8 och därför ).. a) Bestäm intensitetsmatrisen Q och motsvarande system med diff. evationer. b) Lös systemet med avseende å t ) och du sa inte lämna in endast svar utan hela lösningen) c) Bestäm sannoliheten att systemet är i funtion vid tiden t månader. d) Bestäm den stationära sannoliheten lim )) t > t a) λ 6,, λ λ 6 Q t) Q 6 [ ] [ ] DiffEv ) DiffEv ) t) + t) Ev ) Vi löser system som innehåller en diff ev t. ex. DiffEv ) och Ev ) DiffEv ) Ev ) b) Svar b : + e 8t 8t t) e 8 / c) ) + e. 67

5 d) lim ) t > Ugift. Ett system har tre tillstånd E, E och E med övergångsintensiter enligt nedanstående diagram. a)bestäm Q- matrisen. b) Beräna den stationära sannolihetsvetorn. 4 a) Q 4 9 b) Q,, ),,) 4 9 Härav får vi tre salära evationer: + ev) + 4 ev) 9 ev) Dessutom gäller: + + ev4) Från ev) och ev) får vi och *) som efter substitutionen i ev 4) ger *) och 6 Svar b), och.

6 Ugift. a) Härled följande former för ett M/M/ system: ρ ρ, N, T ρ λ b) En ommuniationsanal i ett datornät har aaciteten K bitar/seund. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödiscilin FFS First- ome- First- Served). Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonrocess med intensiteten λ meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exonentialfördelad med medelvärdet v bitar. b) Bestäm värdet å K som erfordras för att medel totaltid för ett meddelande blir T s. Lösning b) T 4 λ K v Ugift 4. Ett system an modelleras som M/M// ösystem obegränsat antal under). Anomstintensiteten är under/minut och betjäningsintensiteten är under/minut. a) Sissera tillståndsgraf. b) Beräna medelantal under i systemet a) b) Medelantal under i systemet N

7 Ugift. Ett system an modelleras som M/M/// väntsystem, betjänare och ölatser, under. Anomstintensiteten från en und är anomster/minut och medel betjäningstid är x 6 seunder. Beräna a),,..., 4 b) avverad trafi c) särrad trafi d ) sannoliheten att en anommande und finner under i systemet. a),,,,, b) avverad trafi.6649 c) särrad trafi d ) sannoliheten att en anommande und finner under i systemet: λ r λ medel Ugift 6. Ett betjänings system, som består av 4 datorer och terminaler, an modelleras som ett M/M/4// utaget system, Engset 4 betjänare och ölatser, under) där anomstintensitet från en und är jobb er minut och betjäningsintensiteten är 8 jobb er minut. Beräna a),,,, 4 b) λ eff c) belastning er betjänare d) anrossärr sannoliheten att en anommande und avvisas) a),,, b),, ) c) belastning er betjänare d) anrossärr sannoliheten att en anommande und avvisas) :

8 Ugift 7. Ett system an modelleras som M/M/m// system Bernoulli där m a) Härled följande formler: a) ) + a) λ + medel, där antal under, a) Lösning: Från ovanstående tillståndsdiagram har vi, ) ) ) ) ) ) + a) Lösning :

9 λ λ ) [eftersom ] ) medel )! )! )! )!! )! + ) + ), vad sulle visas). + ) + Ugift 8. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem PU och I/O). Nya rogram under) ommer Poissonfördelade till PU med intensiteten λ 9 rogram er minut. Medelbetjäningstid för ett rogram in PU är x 6 seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x seunder. 9% av rogram lämnar nätet efter betjäning i PU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till PU se Fig. 8). Beräna medelantal rogram under) i nätet d v s rogram i PU + rogram i I/O ) Fig. 8. l PU m % 9% I/O m Lösning: Vi betecnar med λ och λ dem effetiva intensiteter till första PU) och andra I/U) ön. Då gäller: λ λ + λ λ.λ Härav λ rogram / min) och λ. Dessutom har vi och. Eftersom λ och ρ ser vi att första M/M/ ösystem är instabilt, dvs antal under i systemet växer obegränsat och systemet an inte fungera längre tid. N N N +. N