Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem."

Karl Samuelsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den avverkade och erbjudna trafiken i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till enheten Erlang för erbjuden och avverkad trafik. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den. Problem, nivå A 1. Antag att vi har ett M/M/m*upptagetsystem. (a) Bestäm det minsta värde på m för vilket spärren är mindre än 1% för den erbjudna trafiken 5, 10 respektive 20 Erlang. (b) Antag att man väljer vilken av de lediga betjänarna som ska användas av en kund helt slumpmässigt. Vad blir utnyttjningen av en betjänare för trafikvärdena ovan? 2. Ett M/M/10*upptagetsystem erbjuds trafiken 5 Erlang. Låt p k vara sannolikheten att det finns k kunder i systemet. Beräkna p 10, p 9 och p Antag att vi har två M/M/m*upptagetsystem. Det ena erbjuds trafiken 3 Erlang och det andra erbjuds trafiken 6 Erlang. (a) Bestäm det minsta antal betjänare som behövs i vart och ett av systemen för att spärren ska vara mindre än 1%. Beräkna också utnyttjningen av betjänarna i dessa system. (b) Antag att ett M/M/m*upptagetsystem erbjuds trafiken 9 Erlang, det vill säga summan av trafikerna i uppgift a. Beräkna det minsta antal betjänare som behövs för att spärren ska vara mindre än 1%. Beräkna utnyttjningen av betjänarna. Problem, mer avancerad nivå (B och C) 4. Betrakta ett M/M/100*upptagetsystem som erbjuds trafiken 70.5 Erlang. Låt som vanligt p k = sannolikheten att k bejänare är upptagna. Finn det värde på k för vilket p k är störst, det vill säga finn det troligaste antalet kunder i systemet. 5. Till ett kösystem med en betjänare kommer två olika slags kunder. Kunderna av typ 1 anländer med intensiteten λ 1. För dem fungerar systemet som ett M/M/1*upptagetsystem, det vill säga är betjänaren upptagen så spärras kunderna. Kunderna av typ 2 kommer med intensiteten λ 2. För dem fungerar systemet som ett M/M/1-system med oändligt stor kö. Bägge typerna av kunder har betjäningsintensiteten. 1

2 (a) Rita tillståndsdiagram och bestäm p k = sannolikheten för k kunder i kösystemet. (b) Beräkna hur många kunder som i medeltal spärras per tidsenhet. 6. Betrakta ett upptagetsystem med två betjänare. Till systemet kommer kunder av två typer. Kunder av typ 1 kommer med intensiteten λ 1 och kan enbart betjänas av betjänare 1. Om betjänare 1 är upptagen så spärras de. Kunder av typ 2 kommer med intensiteten λ 2. De kan betjänas av både betjänare 1 och 2. Om båda betjänarna är lediga när en kund av typ 2 kommer så väljer kunden alltid betjänare 2, om betjänare 2 är upptagen och 1 ledig så väljer den betjänare 1. Betjäningsintensiteten är för alla kunder. Vi antar också att ankomsterna bildar Poissonprocesser och att betjäningstiderna är exponentialfördelade. (a) Definiera lämpliga tillstånd och rita tillståndsdiagram. (b) Antag att λ 1 = λ 2 = = 1. Beräkna utnyttjningen av betjänare 1 och betjänare 2. (c) Beräkna hur många kunder av typ 1 respektive typ 2 som i medeltal finns i systemet för de numeriska värdena i b ovan. 7. Ett upptagetsystem med m 1 betjänare erbjuds trafiken ρ. Om en kund avvisas i detta system fortsätter den till ett annat upptagetsystem med m 2 betjänare. Antag att ankomsterna till det första systemet bildar en Poissonprocess och att betjäningstiderna är exponentialfördelade med samma medelvärde i båda systemen. Bestäm den avverkade trafiken i det andra systemet. 8. Antag att vi har ett M/M/m*upptagetsystem med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet. Beräkna medeltiden från det att en spärrperiod slutar tills nästa spärrperiod börjar. Spärrperiod = tiden från det att systemet blir fullt tills det inte längre är fullt. Lösningar till övning 5 1. (a) Vi tittar i Erlangtabellerna som finns längst bak i läroboken. Vi ser att E 11 (5) < 0.01 och E 10 (5) > 0.01 E 18 (10) < 0.01 och E 17 (10) > 0.01 E 30 (20) < 0.01 och E 29 (20) > 0.01 Svaret är således 11, 18 respektive 30 betjänare (b) Utnyttjningen blir avverkad trafik antal betjänare = ρ(1 E m(ρ)) m För de tre fallen ovan får vi 5(1 E 11 (5)) 11 10(1 E 18 (10))

3 20(1 E 30 (20)) Vi observerar först att p 10 = E 10 (5) = Värdet kan man slå upp i Erlangtabellerna längst bak i läroboken. För att beräkna p 9 och p 8 så använder vi att p k = ρk /k! mi=0 ρ i det vill säga i! = ρ k ρk 1 /(k 1)! mi=0 ρ i i! = ρ k p k 1 p k 1 = k ρ p k Nu får vi slutligen p 10 = p 9 = 10 5 p 10 = p 8 = 9 5 p 9 = (a) Erlangtabellerna ger att det behövs 8 betjänare i systemet som erbjuds trafiken 3 Erlang. Utnyttjningen blir då 3(1 E 8 (3)) För systemet som erbjuds trafiken 6 Erlang behövs 13 betjänare. Då blir utnyttjningen 6(1 E 13 (6)) (b) Om nu ett system i stället erbjuds 9 Erlang så behövs det 17 betjänare vilket ger utnyttjningen 9(1 E 17 (9)) Vi vet att p k = ρk /k! 100 i=0 ρ i /i! = ρ k p k 1 för k 0 Det innebär att följden p 0,p 1,...,p 100 kommer att vara ökande så länge ρ/k > 1 och därefter blir den minskande. I vårt fall antas det största värdet för p k när k = 70. 3

4 λ 1 + λ 2 λ 2 λ 2 λ osv. 5. (a) Tillståndsdiagrammet finns överst på denna sida. Tillståndsekvationerna blir (λ 1 + λ 2 )p 0 = p 1 p 1 = λ 1 + λ 2 p 0 = (ρ 1 + ρ 2 )p 0 λ 2 p 1 = p 2 p 2 = λ 2 p 1 = (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 p 0 λ 2 p 2 = p 3 p 3 = λ 2 p 2 = (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 2p 0 där ρ i = λ i /. Man ser enkelt att p k = (ρ 1 + ρ 2 )ρ k 1 2 p 0 för k 1 Vi använder att summan av alla sannolikheter måste vara = 1 för att bestämma p 0 [ 1 = p k = p (ρ1 + ρ 2 ) + (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 + (ρ 1 + ρ 2 )ρ ] = k=0 Slutligen får vi p 0 = 1 ρ 2 [ = p (ρ1 + ρ 2 )(1 + ρ 2 + ρ ) ] ] 1 = p 0 [1 + (ρ 1 + ρ 2 ) 1 ρ 2 = p 0 1 ρ 2 p k = (ρ 1 + ρ 2 )ρ2 k 1 1 ρ 2 för k 1 (b) Det är bara kunder av typ 1 som spärras. När det finns en kund eller fler så spärras de. Ankomstintensiteten av typ 1-kunder är alltid densamma. Därför blir intensiteteten med vilken typ 1-kunder spärras λ 1 i=1 p i = λ 1 (1 p 0 ) = λ 1 ρ1 + ρ 2 Observera att detta gäller enbart då ρ 2 < 1. Om ρ 2 1 så gäller inte härledningen av p 0 i a-delen av uppgiften för då kan vi inte summera den oändliga serien ρ i 2 i 4

5 Försök att fundera ut vad spärrsannolikheten blir om ρ 2 1. Svar finns på sista sidan i övningen. 6. (a) Vi definierar att tillstånd i,j = i kunder i betänare 1 och j kunder i betjänare 2. Då ser tillståndsdiagrammet ut så här λ λ 1 λ 2 λ + λ (b) Vi ställer upp tillståndsekvationerna med hjälp av flöde-in flöde-ut-metoden. Det ger (λ 1 + λ 2 )p 00 = p 01 + p 10 ( + λ 2 )p 10 = λ 1 p 00 + p 11 2p 11 = (λ 1 + λ 2 )p 01 + λ 2 p 10 (λ 1 + λ 2 + )p 01 = λ 2 p 00 + p 11 Sätter vi nu in λ 1 = λ 2 = = 1 så får vi 2p 00 = p 01 + p 10 2p 10 = p 00 + p 11 2p 11 = 2p 01 + p 10 3p 01 = p 00 + p 11 Vilken har lösningarna p 00 p 10 p 11 p 01 = 5t = 6t = 7t = 4t t är ett godtyckligt tal. För att bestämma t så utnyttjar vi att summan av alla sannolikheter ska vara = 1, vilket ger t( ) = 1 t = 1 Således blir p 00 = 5/ p 10 = 6/ p 11 = 7/ p 01 = 4/ 5

6 Utnyttjningen av en betjänare är detsamma som sannolikheten att den är upptagen. Här får vi P(betjänare 1 är upptagen) = p 10 + p 11 = 13 P(betjänare 2 är upptagen) = p 01 + p 11 = 11 (c) Först beräknar vi λ eff för de två typerna av kunder och sedan använder vi Littles sats. Observera att medeltiden i systemet är samma som en medelbetjäningstid = 1/. För kunder av typ 1 får vi λ eff = λ 1 (p 00 + p 01 ) = 9 E(antal kunder av typ 1) = λ eff 1 = 9 För kunder av typ 2 får vi λ eff = λ 1 (p 00 + p 01 + p 10 ) = 15 E(antal kunder av typ 2) = λ eff 1 = Den avverkade trafiken i hela systemet blir ρ(1 E m1 +m 2 (ρ)) Den avverkade trafiken i delsystem 1 blir ρ(1 E m1 (ρ)) Den avverkade trafiken i delsystem 2 blir den avverkade trafiken i hela systemet minus den avverkade trafiken i delsystem 1 det vill säga ρ(1 E m1 +m 2 (ρ)) ρ(1 E m1 (ρ)) 8. Antag att medellängden av en spärrperiod är S och att medeltiden mellan två spärrperioder är I. Det vi ska beräkna är alltså I. Spärrsannolikheten E m (ρ) är detsamma som andelen av tiden som alla betjänarna är upptagna. Det ger S S + I = E m(ρ) I = S(1 E m(ρ)) E m (ρ) För ett M/M/m*upptagetsystem så är medellängden av en spärrperiod detsamma som medeltiden som man tillbringar i sista tillståndet i Markovkedjan. 6

7 I det tillståndet finns det en utpil som det står m på (se figur nedan). Medeltiden i ett sådant tillstånd är S = 1 m Slutligen får vi I = 1 E m(ρ) me m (ρ) λ osv. m m Svar på fråga till uppgift 5: Om ρ 2 1 så går antalet kunder av typ 2 i kösystemet mot oändligheten. Då är betjänaren alltid upptagen vilket innebär att kunder av typ 1 alltid spärras. Så deras spärrsannolikhet blir 1. 7

Relevanta dokument

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning