Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare."

Karolina Danielsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna λ eff. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare. Problem. Antag att vi kan modellera ett system som ett M/M/2-system med en köplats. Det kommer kunder med intensiteten 3 s. Det tar i medeltal sekund att betjäna en kund. (a) Rita Markovkedjan för systemet. (b) Bestäm P (spärr). (c) Bestäm medelantal upptagna betjänare. (d) Bestäm utnyttjningen av varje betjänare. 2. Ett kösystem betjänar kunder. Det finns två betjänare och en köplats. En kund som inte betjänas eller väntar i kön skickar jobb till systemet med intensiteten s. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde s. (a) Bestäm tillståndsfördelningen (det vill säga alla p k ). (b) Bestäm medelantal kunder i kön. (c) Bestäm P (spärr). (d) Hur mänga kunder betjänas i medel per sekund? 3. I ett upptagetsystem finns det 3 betjänare. Ett jobb blir färdigbetjänat efter en exponentialfördelad tid med medelvärde sekund. Till systemet finns källor anslutna. Varje källa skickar jobb i enlighet med en Poissonprocess med intensiteten 2 s om det inte finns något jobb från källan i upptagetsystemet. Om det finns ett jobb från källan i upptagetsystemet skickar källan inte några jobb. (a) Vad blir P (spärr) för detta system? (b) Vad blir medelantal upptagna betjänare i detta system? (c) Hur många jobb avvisas i medeltal under en timme?. Lös följande uppgifter för ett M/M/-system med ankomstintensitet λ s och betjäningsintensitet µ s. (a) Antag att systemet är tomt vid tidpunkten t = 20. Beräkna sannolikheten att det vid tidpunkten t = 22 har anlänt minst en kund till systemet. (b) Antag att en kund lämnar ett tomt system efter sig. Hur lång tid i medel befinner sig systemet i detta tomma tillstånd?

2 5. Vi har ett upptagetsystem med 00 betjänare där Erlangfördelningen antas gälla. Mätningar visar att alla betjänarna var upptagna i sammanlagt 72.3 sekunder under en timma. Under denna timma var exakt 99 betjänare upptagna under sammanlagt 82.2 sekunder. Uppskatta ρ = λ/µ under denna timma. 6. För ett M/M/-system, beräkna medeltiden i systemet för kunder som inte kommer till ett tomt system. Lösningar. (a) Markovkedjan blir (b) Vi använder snittmetoden för att beräkna p k. Ekvationerna blir 3p 0 = p p = 3p 0 3p = 2p 2 p 2 = 3p 2 = 9p 0 2 3p 2 = 2p 3 p 3 = 3p 2 2 = 27p 0 Vi bestämmer p 0 genom att summan av alla sannolikheter ska vara = ( p ) = p 0 = 6 Eftersom ankomstintensiteten inte beror på i vilket tillstånd systemet befinner sig så blir P (spärr) p 3 = 27 6 (c) Medelantal upptagna betjänare blir λ eff E(X) = λ( p 3 )E(X) = 3 (d) Utnyttjningen av varje betjänare blir medelantal upptagna betjänare antal betjänare 2. (a) Tillståndsdiagrammet ser ut så här ( 27 ) = =

3 Tillståndsekvationerna blir p 0 = p p = p 0 3p = 2p 2 p 2 = 6p 0 2p 2 = 2p 3 p 3 = 6p 0 Att summan av sannolikheterna ska vara = ger Således är p 0 = = p 0 = p = p 2 = 6 p 3 = 6 (b) Vi använder definitionen av medelvärde. Den ger E(N) = 3 kp k = = 3 = 2 k=0 Medelantal kunder som finns i betjänarna är E(N s ) = 2 k= kp ( i betjänarna) = p + 2 (p 2 + p 3 ) = 28 Slutligen får vi medelantal kunder som väntar i kön E(N q ) = E(N) E(N s ) = 2 28 = 6 Man kan också direkt räkna ut medelantal kunder i kön på följande sätt: E(N q ) = 0 P (0 kunder i kön) + P ( kund i kön) = p 3 = 6 (c) P (spärr) blir λ 3 p 3 p 3 3 k=0 λ = = 3 kp k p p + 2 p 2 + p 3 3

4 (d) Antalet kunder som betjänas per sekund är detsamma som λ eff. Vi får 2 λ eff = λ k p k = p 0 + 3p + 2p 2 = 28 k=0 3. (a) Markovkedjan ser ut så här Vi ställer upp tillståndsekvationerna. Det ger p = 8p 0 2p 2 = 6p p 2 = 3p = 2p 0 3p 3 = p 2 p 3 = p 2 3 = 32p 0 Vi bestämmer på vanligt sätt p 0 : P (spärr) blir p 0 = = 65 λ 3 p 3 2p 3 3 k=0 λ = = 8 kp k 8p 0 + 6p + p 2 + 2p (b) Medelantal upptagna betjänare är p + 2 p p 3 = (c) Varje sekund avvisas i medel λ 3 p 3 kunder, så medelantalet avvisade kunder under en timme blir 3600 λ 3 p (a) Sannolikheten att det har anlänt minst en kund är lika med sannolikheten att tiden till nästa ankomst är mindre än två sekunder. Eftersom ankomstprocessen är en Poissonprocess så är tiden till nästa ankomst alltid exponentialfördelad med intensiteten λ. Sannolikheten att tiden till nästa ankomst (kalla den X) är mindre än två sekunder är P (X 2) = F X (2) = e λ 2 (b) Eftersom ankomstprocessen är en Poissonprocess så är tiden till nästa ankomst alltid exponentialfördelad med medelvärde λ

5 5. Antag att p k är sannolikheten att det finns k kunder i systemet. Då gäller p k = ρk /k! 00 i=0 ρi /i Men p k är också den andel av tiden som det finns k kunder i systemet. Det innebär att p 00 = ρ00 /00! 00 i=0 ρi /i = Vi dividerar Lite hyfsning ger nu p 99 = ρ99 /99! 00 i=0 ρi /i = p 00 = ρ00 /00! p 99 ρ 99 = 72.3 /99! 82.2 ρ 00 = ρ Vi använder beting för att lösa denna uppgift. Låt T vara tiden som en kund tillbringar i systemet. T är då en stokastisk variabel. Eftersom detta är ett M/M/-system så vet vi att E(T ) = µ λ Låt oss nu betinga på att systemet är tomt respektive icke tomt. Det vi vill beräkna är E(T ej tomt). En kund som kommer till ett tomt system börjar omedelbart att betjänas och då blir medeltiden i systemet detsamma som medelbetjäningstiden dvs Dessutom vet vi att och E(T tomt) = µ P (tomt) = p 0 = ρ P (ej tomt) = p 0 = ρ Formeln för att ta bort beting ser ut så här i detta fall E(T ) = E(T tomt)p (tomt) + E(T ej tomt)p (ej tomt) Nu sätter vi in allt vi redan känner till. Då får vi Lite algebra ger sedan att µ λ = ( ρ) + E(T ej tomt)ρ µ E(T ej tomt) = 2ρ ρ2 λ( ρ) 5

Relevanta dokument

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning