Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod."

Joakim Martinsson
för 6 år sedan
Visningar:

En enkel webbserver kan modelleras som könätet i figuren nedan. Systemet består av stycken M/M/1-system med oändlig buffert. Nod i har betjäningsintensiteten µ i.

1 Övning 7 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod. Problem 1. En enkel webbserver kan modelleras som könätet i figuren nedan. Systemet består av stycken M/M/1-system med oändlig buffert. Nod i har betjäningsintensiteten µ i. När ett jobb har blivit betjänat i nod 1, fortsätter det till nod 2 med sannolikheten α. Med sannolikheten 1 α fortsätter jobbet till nod. Jobb som kommer till könätet kommer alltid till nod 1 i enlighet med en Poissonprocess med intensitet λ = 10. Låt dessutom α = 0.7, µ 1 = 15, µ 2 = 10 samt µ = 5. (a) Vad blir ρ i = λ i /µ i för noderna? (b) Bestäm medelantal jobb i könätet. (c) Bestäm den totala medelväntetiden i buffertarna för ett godtyckligt jobb. 2. Ett system har modellerats med könätet nedan. Nod 1, 2, och 5 har oändligt buffertutrymme. Nod 4 är ett upptagetsystem med tre betjänare. Alla betjäningstider är exponentialfördelade med medelvärde 1/µ i för nod i. Kunder kommer med intensiteterna λ 1 och. Låt λ 1 = 4 s 1, = 2 s 1, µ 1 = µ 2 = 5 s 1, µ = 8 s 1, µ 4 = 2 s 1, µ 5 = 6 s 1 och α = 2/. (a) Bestäm medelantal kunder i var och en av de fem noderna. (b) Bestäm medelantal kunder som spärras per sekund i nod 4. (c) Bestäm medeltiden i systemet för de kunder som inte spärras. (d) Hur lång är medelväntetiden i köerna för en godtycklig kund? 1

2 . Ett system modelleras som ett könät med tre noder. Nod 1 och 2 är M/M/1-system, och nod är ett upptagetsystem med 2 betjänare. Betjäningstiderna i de tre systemen är exponentialfördelade med medelvärdena E(X 1 ), E(X 2 ) respektive E(X ). Alla kunder som kommer till systemet går först till nod 1 (ankomstintensitet λ). När en kund är färdigbetjänad i nod 1 fortsätter den med sannolikheten β till nod 2 och med sannolikheten 1 β till nod. Efter betjäning i nod 2 eller eller efter att ha spärrats i nod lämnar kunden könätet. Låt λ = 4 per minut, E(X 1 ) = 10 sekunder, E(X 2 ) = 0 sekunder och E(X ) = 20 sekunder samt β = 0.2. (a) Rita könätet (b) Vad blir ankomstintensiteten till nod 2 respektive nod? (c) Bestäm medelantal kunder i nod 1 respektive nod 2. (d) Bestäm hur många kunder som per minut avvisas från nod. (e) Bestäm medeltid i systemet för en kund som får full betjäning. (f) Bestäm den tid som en kund som får fullständig betjäning tillbringar i systemets buffertar. 4. Ett könät består av två noder. Nod 1 är ett M/M/1-system och nod 2 är ett upptagetsystem med betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärdena E(X 1 ) respektive E(X 2 ). Alla kunder som kommer till könätet anländer till nod 1 med intensiteten λ. När de är färdigbetjänade där fortsätter de med sannolikheten 1 α till nod 2 och med sannolikheten α lämnar de könätet. En kund som är färdigbetjänad i nod 2 eller avvisas där lämnar könätet. Antag att λ = per minut, E(X 1 ) = 10 sekunder, E(X 2 ) = 60 sekunder och α = 0.2. (a) Bestäm ankomstintensiteten till nod 2. (b) Bestäm P (k 1 jobb i nod 1 och k 2 jobb i nod 2). (c) Bestäm medelantal jobb i nod 1. (d) Bestäm sannolikheten att ett jobb som kommer till nod 2 avvisas. (e) Bestäm medelantal jobb i nod 2. (f) Bestäm hur många jobb per minut som i medeltal blir färdigbetjänade i nod Kunder kommer enligt en Poissonprocess till ett upptagetsystem med en betjänare. De kunder som får betjäning fortsätter till ett kösystem med en köplats och en betjänare. Antag att betjäningstiderna i bägge noderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 sekund. Medeltiden mellan ankomsterna är 1 sekund. (a) Beräkna medelantalet kunder i nod 1 och nod 2. (b) Beräkna medeltiden som en kund som betjänas i nod 2 tillbringar i nod 2. (c) Är antalet kunder som finns i nod 1 och nod 2 oberoende av varandra? 2

3 Lösningar 1. (a) Först beräknar vi λ i = ankomstintensiteten till nod i. Vi får λ 1 = λ = 10 Nu får vi = α λ 1 = 7 λ = (1 α) λ 1 = ρ 1 = λ 1 µ 1 = = 2 ρ 2 = µ 2 = 7 10 ρ = λ µ = 5 (b) Vi börjar med att beräkna medelantal jobb i könätet för var och en av noderna och sedan summerar vi. Antag att N i är antal kunder i nod i. Vi kan använda den vanliga formeln för medelantal kunder i ett M/M/1-system, vilket ger E(N 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 2/ 1 2/ = 2 E(N 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 = 7/10 1 7/10 = 7 E(N ) = ρ 1 ρ = /5 1 /5 = 2 Det totala antalet kunder i könätet blir nu E(N) = E(N 1 ) + E(N 2 ) + E(N ) = = 5 6 (c) Vi betraktar alla könätets buffertar som ett enda system och använder Littles sats. För att göra detta måste vi först beräkna medelantal kunder som köar i hela könätet. Om N qi är antalet kunder som väntar i bufferten i nod i gäller E(N qi ) = E(N i ) E(N si ) = E(N i ) ρ i där N si är antalet kunder som betjänas i nod i, observera att N si i detta fall är = 0 eller 1. Det ger E(N q ) = E(N) ρ 1 ρ 2 ρ = = Medeltiden som en godtycklig kund väntar i köerna blir då E(N q ) λ 0.9 s

4 2. (a) Vi får ρ 1 = λ 1 µ 1 = 4 5 E(N 1) = ρ 1 1 ρ 1 = 4 ρ 2 = µ 2 = 2 5 E(N 2) = ρ 2 1 ρ 2 = 2 (b) ρ = λ µ = λ 1 + µ = 4 E(N ) = ρ 1 ρ = ρ 4 = λ 4 µ 4 = λ α µ 4 = 2 E(N 4 ) = ρ 4 (1 E (ρ 4 )) 1.58 ρ 5 = λ 5 µ 5 = λ (1 α) µ 5 = 1 E(N 5) = ρ 5 1 ρ 5 = 1 2 λ 4 E (ρ 4 ) 0.84 (c) Vi låter T i vara tiden i nod i. Då är E(T 1 ) = E(N 1) λ 1 = 1 E(T 2 ) = E(N 2) 0. E(T ) = E(N ) λ = 0.5 E(T 4 ) = 1 µ 4 = 0.5 E(T 5 ) = E(N 5) λ 5 = 0.25 En kund som inte spärras kan ta följande vägar genom systemet Väg A : 1 4 Väg B : 1 5 Väg C : 2 4 Väg D : 2 5 Antag nu att Y = tiden som en kund som inte spärras befinner sig i könätet. Då gäller E(Y tar väg A) = T 1 + T + T 4 = 2 E(Y tar väg B) = T 1 + T + T 5 = 1.75 E(Y tar väg C) = T 2 + T + T 4 = 1. E(Y tar väg D) = T 2 + T + T 5 = 1.08 Låt nu Λ i vara antal kunder per sekund som tar väg i. Då får vi Λ A = λ 1 α(1 E (ρ 4 )) Λ B = λ 1 (1 α) 1. 4

Vi får då Λ C = α(1 E (ρ 4 )) 1.05 Λ D = (1 α) 0.667 Λ i P (tar väg i) = Λ A + Λ B + Λ C + Λ D Sedan kan vi ta bort betinget och få E(Y ) = E(Y tar väg i)p (tar väg i) 1.

5 Vi får då Λ C = α(1 E (ρ 4 )) 1.05 Λ D = (1 α) Λ i P (tar väg i) = Λ A + Λ B + Λ C + Λ D Sedan kan vi ta bort betinget och få E(Y ) = E(Y tar väg i)p (tar väg i) 1.7 i {A,B,C,D} (d) Låt W vara den totala kötiden för en godtycklig kund. Littles sats medför att E(W ) = E(N qtot) λ 1 + Där N qtot är det totala antalet köande kunder i könätet. Nu gäller E(N q1 ) = E(N 1 ) ρ 1 =.2 vilket medför att och slutligen E(N q2 ) = E(N 2 ) ρ E(N q ) = E(N ) ρ = 2.25 E(N q4 ) = 0 E(N q5 ) = E(N 5 ) ρ E(N qtot ) 5.88 E(W ) 0.98 s. (a) Könätet ser ut så här: (b) Om λ i är ankomstintensiteten till nod i så får vi = βλ = 0.8 min 1 λ = (1 β)λ =.2 min 1 (c) Vi kan räkna på nod 1 och 2 som om de vore M/M/1-system vilket ger ρ 1 = λx 1 = E(N 1) = ρ 1 = 2 1 ρ 1 ρ 2 = x 2 = = 0.4 E(N 2) = ρ 2 1 ρ 2 = 2 5

6 (d) Medelantal avvisade per minut blir λ E 2 (ρ ) =.2 E 2 ( ) 0.69 (e) Det finns två vägar genom systemet, väg A som går från 1 till 2 och väg B som går från 1 till. Medeltiden som en kund tillbringar i de olika noderna är E(T 1 ) = E(N 1) = 0.5 λ E(T 2 ) = E(N 2) 0.8 E(T ) = E(X ) = 1 Medelantal kunder som betjänas under en minut är för nod 2 och = λ (1 E 2 (ρ )) för nod. Således blir medeltiden i systemet för en godtycklig kund som betjänas färdigt (E(T 1 ) + E(T 2 )) + + (E(T 1 ) + E(T )) + (f) Medeltiden som en kund tillbringar med att vänta i nod i är 0.95 E(W q1 ) = E(N 1) ρ 1 λ = 1 E(W q2 ) = E(N 2) ρ 2 = 1 E(W q ) = 0 På samma sätt som vi får i f-uppgiften får vi att medeltiden som en godtycklig kund som betjänas tillbringar med att vänta i buffertarna är E(W q ) = (E(W q1 ) + E(W q2 )) = E(W q1 ) + E(W q2 ) + + (E(W q1 ) + E(W q )) min + 4. (a) = λ(1 α) = 2.4 min 1 (b) Eftersom vi har en Poissonprocess ut från nod 1 så kommer antalet kunder i systemen att vara oberoende av varandra. Det ger (c) P (k 1, k 2 ) = ρ k1 1 (1 ρ ρ k2 2 1) /k 2! 1 + ρ 2 + ρ 2 2 /2 + ρ 2 /! E(N 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 1 6

7 (d) E (ρ 2 ) = E (2.4) 0.27 (e) ρ 2 (1 E (ρ 2 )) 1.76 (f) (1 E (ρ 2 )) 1.76 min 1 5. (a) Vi börjar med att rita upp en Markovkedja som beskriver systemet. Vi låter tillstånd ij betyda att det finns i kunder i upptagetsystemet och j kunder i väntsystemet. Då får vi Markovkedjan nedan. Använder vi flöde-in flöde-ut-metoden på denna Markovkedja och utnyttjar att λ = µ = 1 så får vi ekvationssystemet p 00 = p 01 p 10 = p 00 + p 11 2p 01 = p 02 + p 10 2p 11 = p 12 + p 01 2p 02 = p 12 + p 11 2p 12 = p 02 Om vi också använder oss av att summan av alla sannolikheter måste vara 1 så ger ekvationssystemet p 00 = 5 24 p 01 = 5 24 p 10 = 8 24 p 11 = 24 p 02 = 2 24 p 12 =

8 Definitionen av medelvärde ger sedan E(N 1 ) = 1 (p 10 + p 11 + p 12 ) = 0.5 E(N 2 ) = 1 (p 01 + p 11 ) + 2 (p 02 + p 12 ) = 1.75 (b) Först måste vi beräkna 2. För att göra detta använder vi ett trick. Vi kan beräkna medelantalet kunder i nod 2:s betjänare dels med Littles sats, dels med definitionen. Om vi gör det får vi 2 1 µ = 1 (p 01 + p 02 + p 11 + p 12 ) 2 = Nu kan vi använda Littles sats, vilken ger att medeltiden i nod 2 blir E(N 2 ) 2 = (c) Nej, vi har inte oberoende. Om vi till exempel sätter p i (k) = sannolikheten att antalet kunder i nod i är k så är p 00 p 1 (0)p 2 (0) vilket innebär att vi ej har oberoende. 8

Relevanta dokument

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.