Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
|
|
- Joakim Martinsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Övning 7 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod. Problem 1. En enkel webbserver kan modelleras som könätet i figuren nedan. Systemet består av stycken M/M/1-system med oändlig buffert. Nod i har betjäningsintensiteten µ i. När ett jobb har blivit betjänat i nod 1, fortsätter det till nod 2 med sannolikheten α. Med sannolikheten 1 α fortsätter jobbet till nod. Jobb som kommer till könätet kommer alltid till nod 1 i enlighet med en Poissonprocess med intensitet λ = 10. Låt dessutom α = 0.7, µ 1 = 15, µ 2 = 10 samt µ = 5. (a) Vad blir ρ i = λ i /µ i för noderna? (b) Bestäm medelantal jobb i könätet. (c) Bestäm den totala medelväntetiden i buffertarna för ett godtyckligt jobb. 2. Ett system har modellerats med könätet nedan. Nod 1, 2, och 5 har oändligt buffertutrymme. Nod 4 är ett upptagetsystem med tre betjänare. Alla betjäningstider är exponentialfördelade med medelvärde 1/µ i för nod i. Kunder kommer med intensiteterna λ 1 och. Låt λ 1 = 4 s 1, = 2 s 1, µ 1 = µ 2 = 5 s 1, µ = 8 s 1, µ 4 = 2 s 1, µ 5 = 6 s 1 och α = 2/. (a) Bestäm medelantal kunder i var och en av de fem noderna. (b) Bestäm medelantal kunder som spärras per sekund i nod 4. (c) Bestäm medeltiden i systemet för de kunder som inte spärras. (d) Hur lång är medelväntetiden i köerna för en godtycklig kund? 1
2 . Ett system modelleras som ett könät med tre noder. Nod 1 och 2 är M/M/1-system, och nod är ett upptagetsystem med 2 betjänare. Betjäningstiderna i de tre systemen är exponentialfördelade med medelvärdena E(X 1 ), E(X 2 ) respektive E(X ). Alla kunder som kommer till systemet går först till nod 1 (ankomstintensitet λ). När en kund är färdigbetjänad i nod 1 fortsätter den med sannolikheten β till nod 2 och med sannolikheten 1 β till nod. Efter betjäning i nod 2 eller eller efter att ha spärrats i nod lämnar kunden könätet. Låt λ = 4 per minut, E(X 1 ) = 10 sekunder, E(X 2 ) = 0 sekunder och E(X ) = 20 sekunder samt β = 0.2. (a) Rita könätet (b) Vad blir ankomstintensiteten till nod 2 respektive nod? (c) Bestäm medelantal kunder i nod 1 respektive nod 2. (d) Bestäm hur många kunder som per minut avvisas från nod. (e) Bestäm medeltid i systemet för en kund som får full betjäning. (f) Bestäm den tid som en kund som får fullständig betjäning tillbringar i systemets buffertar. 4. Ett könät består av två noder. Nod 1 är ett M/M/1-system och nod 2 är ett upptagetsystem med betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärdena E(X 1 ) respektive E(X 2 ). Alla kunder som kommer till könätet anländer till nod 1 med intensiteten λ. När de är färdigbetjänade där fortsätter de med sannolikheten 1 α till nod 2 och med sannolikheten α lämnar de könätet. En kund som är färdigbetjänad i nod 2 eller avvisas där lämnar könätet. Antag att λ = per minut, E(X 1 ) = 10 sekunder, E(X 2 ) = 60 sekunder och α = 0.2. (a) Bestäm ankomstintensiteten till nod 2. (b) Bestäm P (k 1 jobb i nod 1 och k 2 jobb i nod 2). (c) Bestäm medelantal jobb i nod 1. (d) Bestäm sannolikheten att ett jobb som kommer till nod 2 avvisas. (e) Bestäm medelantal jobb i nod 2. (f) Bestäm hur många jobb per minut som i medeltal blir färdigbetjänade i nod Kunder kommer enligt en Poissonprocess till ett upptagetsystem med en betjänare. De kunder som får betjäning fortsätter till ett kösystem med en köplats och en betjänare. Antag att betjäningstiderna i bägge noderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 sekund. Medeltiden mellan ankomsterna är 1 sekund. (a) Beräkna medelantalet kunder i nod 1 och nod 2. (b) Beräkna medeltiden som en kund som betjänas i nod 2 tillbringar i nod 2. (c) Är antalet kunder som finns i nod 1 och nod 2 oberoende av varandra? 2
3 Lösningar 1. (a) Först beräknar vi λ i = ankomstintensiteten till nod i. Vi får λ 1 = λ = 10 Nu får vi = α λ 1 = 7 λ = (1 α) λ 1 = ρ 1 = λ 1 µ 1 = = 2 ρ 2 = µ 2 = 7 10 ρ = λ µ = 5 (b) Vi börjar med att beräkna medelantal jobb i könätet för var och en av noderna och sedan summerar vi. Antag att N i är antal kunder i nod i. Vi kan använda den vanliga formeln för medelantal kunder i ett M/M/1-system, vilket ger E(N 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 2/ 1 2/ = 2 E(N 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 = 7/10 1 7/10 = 7 E(N ) = ρ 1 ρ = /5 1 /5 = 2 Det totala antalet kunder i könätet blir nu E(N) = E(N 1 ) + E(N 2 ) + E(N ) = = 5 6 (c) Vi betraktar alla könätets buffertar som ett enda system och använder Littles sats. För att göra detta måste vi först beräkna medelantal kunder som köar i hela könätet. Om N qi är antalet kunder som väntar i bufferten i nod i gäller E(N qi ) = E(N i ) E(N si ) = E(N i ) ρ i där N si är antalet kunder som betjänas i nod i, observera att N si i detta fall är = 0 eller 1. Det ger E(N q ) = E(N) ρ 1 ρ 2 ρ = = Medeltiden som en godtycklig kund väntar i köerna blir då E(N q ) λ 0.9 s
4 2. (a) Vi får ρ 1 = λ 1 µ 1 = 4 5 E(N 1) = ρ 1 1 ρ 1 = 4 ρ 2 = µ 2 = 2 5 E(N 2) = ρ 2 1 ρ 2 = 2 (b) ρ = λ µ = λ 1 + µ = 4 E(N ) = ρ 1 ρ = ρ 4 = λ 4 µ 4 = λ α µ 4 = 2 E(N 4 ) = ρ 4 (1 E (ρ 4 )) 1.58 ρ 5 = λ 5 µ 5 = λ (1 α) µ 5 = 1 E(N 5) = ρ 5 1 ρ 5 = 1 2 λ 4 E (ρ 4 ) 0.84 (c) Vi låter T i vara tiden i nod i. Då är E(T 1 ) = E(N 1) λ 1 = 1 E(T 2 ) = E(N 2) 0. E(T ) = E(N ) λ = 0.5 E(T 4 ) = 1 µ 4 = 0.5 E(T 5 ) = E(N 5) λ 5 = 0.25 En kund som inte spärras kan ta följande vägar genom systemet Väg A : 1 4 Väg B : 1 5 Väg C : 2 4 Väg D : 2 5 Antag nu att Y = tiden som en kund som inte spärras befinner sig i könätet. Då gäller E(Y tar väg A) = T 1 + T + T 4 = 2 E(Y tar väg B) = T 1 + T + T 5 = 1.75 E(Y tar väg C) = T 2 + T + T 4 = 1. E(Y tar väg D) = T 2 + T + T 5 = 1.08 Låt nu Λ i vara antal kunder per sekund som tar väg i. Då får vi Λ A = λ 1 α(1 E (ρ 4 )) Λ B = λ 1 (1 α) 1. 4
5 Vi får då Λ C = α(1 E (ρ 4 )) 1.05 Λ D = (1 α) Λ i P (tar väg i) = Λ A + Λ B + Λ C + Λ D Sedan kan vi ta bort betinget och få E(Y ) = E(Y tar väg i)p (tar väg i) 1.7 i {A,B,C,D} (d) Låt W vara den totala kötiden för en godtycklig kund. Littles sats medför att E(W ) = E(N qtot) λ 1 + Där N qtot är det totala antalet köande kunder i könätet. Nu gäller E(N q1 ) = E(N 1 ) ρ 1 =.2 vilket medför att och slutligen E(N q2 ) = E(N 2 ) ρ E(N q ) = E(N ) ρ = 2.25 E(N q4 ) = 0 E(N q5 ) = E(N 5 ) ρ E(N qtot ) 5.88 E(W ) 0.98 s. (a) Könätet ser ut så här: (b) Om λ i är ankomstintensiteten till nod i så får vi = βλ = 0.8 min 1 λ = (1 β)λ =.2 min 1 (c) Vi kan räkna på nod 1 och 2 som om de vore M/M/1-system vilket ger ρ 1 = λx 1 = E(N 1) = ρ 1 = 2 1 ρ 1 ρ 2 = x 2 = = 0.4 E(N 2) = ρ 2 1 ρ 2 = 2 5
6 (d) Medelantal avvisade per minut blir λ E 2 (ρ ) =.2 E 2 ( ) 0.69 (e) Det finns två vägar genom systemet, väg A som går från 1 till 2 och väg B som går från 1 till. Medeltiden som en kund tillbringar i de olika noderna är E(T 1 ) = E(N 1) = 0.5 λ E(T 2 ) = E(N 2) 0.8 E(T ) = E(X ) = 1 Medelantal kunder som betjänas under en minut är för nod 2 och = λ (1 E 2 (ρ )) för nod. Således blir medeltiden i systemet för en godtycklig kund som betjänas färdigt (E(T 1 ) + E(T 2 )) + + (E(T 1 ) + E(T )) + (f) Medeltiden som en kund tillbringar med att vänta i nod i är 0.95 E(W q1 ) = E(N 1) ρ 1 λ = 1 E(W q2 ) = E(N 2) ρ 2 = 1 E(W q ) = 0 På samma sätt som vi får i f-uppgiften får vi att medeltiden som en godtycklig kund som betjänas tillbringar med att vänta i buffertarna är E(W q ) = (E(W q1 ) + E(W q2 )) = E(W q1 ) + E(W q2 ) + + (E(W q1 ) + E(W q )) min + 4. (a) = λ(1 α) = 2.4 min 1 (b) Eftersom vi har en Poissonprocess ut från nod 1 så kommer antalet kunder i systemen att vara oberoende av varandra. Det ger (c) P (k 1, k 2 ) = ρ k1 1 (1 ρ ρ k2 2 1) /k 2! 1 + ρ 2 + ρ 2 2 /2 + ρ 2 /! E(N 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 1 6
7 (d) E (ρ 2 ) = E (2.4) 0.27 (e) ρ 2 (1 E (ρ 2 )) 1.76 (f) (1 E (ρ 2 )) 1.76 min 1 5. (a) Vi börjar med att rita upp en Markovkedja som beskriver systemet. Vi låter tillstånd ij betyda att det finns i kunder i upptagetsystemet och j kunder i väntsystemet. Då får vi Markovkedjan nedan. Använder vi flöde-in flöde-ut-metoden på denna Markovkedja och utnyttjar att λ = µ = 1 så får vi ekvationssystemet p 00 = p 01 p 10 = p 00 + p 11 2p 01 = p 02 + p 10 2p 11 = p 12 + p 01 2p 02 = p 12 + p 11 2p 12 = p 02 Om vi också använder oss av att summan av alla sannolikheter måste vara 1 så ger ekvationssystemet p 00 = 5 24 p 01 = 5 24 p 10 = 8 24 p 11 = 24 p 02 = 2 24 p 12 =
8 Definitionen av medelvärde ger sedan E(N 1 ) = 1 (p 10 + p 11 + p 12 ) = 0.5 E(N 2 ) = 1 (p 01 + p 11 ) + 2 (p 02 + p 12 ) = 1.75 (b) Först måste vi beräkna 2. För att göra detta använder vi ett trick. Vi kan beräkna medelantalet kunder i nod 2:s betjänare dels med Littles sats, dels med definitionen. Om vi gör det får vi 2 1 µ = 1 (p 01 + p 02 + p 11 + p 12 ) 2 = Nu kan vi använda Littles sats, vilken ger att medeltiden i nod 2 blir E(N 2 ) 2 = (c) Nej, vi har inte oberoende. Om vi till exempel sätter p i (k) = sannolikheten att antalet kunder i nod i är k så är p 00 p 1 (0)p 2 (0) vilket innebär att vi ej har oberoende. 8
Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.
Läs merKunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna λ eff. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare. Problem. Antag
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.
Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den avverkade och erbjudna trafiken i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till enheten Erlang för
Läs merKunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem. Känna till begreppen ankomstintensitet, avgångsintensitet, medelavstånd mellan ankomster och medelbetjäningstid
Läs merKunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.
Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem. Känna till begreppen ankomstintensitet, avgångsintensitet, medelavstånd mellan ankomster och medelbetjäningstid
Läs merKunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.
Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet när
Läs merFö relä sning 2, Kö system 2015
Fö relä sning 2, Kö system 2015 Vi ska börja titta på enskilda kösystem som ser ut på följande sätt: Det kan finnas en eller fler betjänare och bufferten kan vara ändlig eller oändlig. Om bufferten är
Läs merKunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.
Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet
Läs mer2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem
Laboration 2 i Kösystem Denna laboration behandlar upptagetsystem och könät. När man kommer till en uppgift som är markerad med en stjärna (*) är det tänkt att man ska visa sina resultat för handledaren
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar.
Läs merTiden i ett tillstånd
Föreläsning 3 I denna föreläsning ska vi behandla markovska kösystem som har ett begränsat antal buffertplatser och även ett begränsat antal kunder. För att kunna göra detta behöver man några resultat
Läs merTILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :
Föreläsning 3. TILLSTÅNDSGRAFEN Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :... Snittmetoden kommer vi flitigt att använda för att bestämma tillståndssannolikheterna! Exempel på beräkning
Läs merM/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem
Allmänt om KÖSYSTEM (=betjäningssystem). För att definiera ett kösystem måste vi ange ankomstrocessen ( dvs hur kunder ankommer till systemet) och betjäningsrocess (dvs hur lång tid det tar att betjäna
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna
Läs merKurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 8 maj 9 Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälmedel: Miniräknare av vilken ty som helst och bifogade formelblad (sida ). Förbjudna hjälmedel:
Läs merb) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 6 Markovprocesser 9 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 6 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Johan Westerborn
Läs merEtt M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ
M/M/ ösystem M/M/ ösystem Ett M/M/ betjäningssystem har följande egensaper:. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde x =.. Kunder anommer enligt Poissonprocess
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merFö relä sning 1, Kö system vä ren 2014
Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014 Här följer en mycket kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Observera att dessa anteckningar inte kan ersätta läroboken, de är alltför kortfattade
Läs merKunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 24 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 2 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFö relä sning 1, Kö system 2015
Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs mera) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.
Inlämningsuppgift Svaren lämnas in i kursfacket märkt TNK090 på plan 5 i Täppan, senast 2016-10-28. Alla svar ska motiveras, tankegången i lösningen förklaras och notation definieras. Uppgifterna utförs
Läs merUr en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få
Tentamen TEN, HF, aug 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 8:-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF, 9 maj 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 4:-8: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av
Läs meraug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13
Tentamen TEN, HF, aug 7 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: :-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken
Läs merPerformance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping
Performance QoS Köteori Jens A Andersson (Maria Kihl) SNMP GET request GET response SET request TRAP MIB Management Information Base 2 Felsökning Att mäta är att veta ping icmp echo traceroute avlyssning
Läs merPerformance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)
Performance QoS Köteori Jens A Andersson (Maria Kihl) Internet Består av ett antal sammankopplade nät som utbyter data enligt egna trafikavtal. Alla delnät som utgör Internet har en gemensam nämnare: Alla
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 4 Markovprocesser 20 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 4 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merINTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH
Läs detta först: INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH Det här kompendiet är avsett som en introduktion till kompendiet av Enger och Grandell. Det är absolut inget fel på det officiella
Läs merTentamen i matematisk statistik, TAMS15/TEN (4h)
LINKÖPINGS UNIVERSITET Kurskod: TAMS1 Matematiska institutionen Provkod: TEN1 Johan Thim Datum: 2018-12-42 Institution: MAI Tentamen i matematisk statistik, TAMS1/TEN1 2018-12-42 (4h Hjälpmedel är: miniräknare
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merLycka till!
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR K OCH B MÅNDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2003 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 790 7416. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven
Läs merTentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser
Matematisk statistik Matematikcentrum Lunds Universitet Tentamen i FMS80/MASC03 Markovprocesser 009-05-5 Lösningsförslag. Följande är en möjlighet. 6 5 3 4 Här är tillstånden, och 3 transienta, tillstånd
Läs mer** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 19 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Jimmy Olsson tel. 790 72 01. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016
Läs merFöreläsningsanteckningar köteori
Föreläsningsanteckningar köteori Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Produktionsekonomi, Lunds universitet 3 augusti 206 Dessa föreläsningsanteckningar utgör en delmängd av vad som tagits upp på
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs merPoisson Drivna Processer, Hagelbrus
Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
1 / 14 Statistiska metoder för säkerhetsanalys F2: Händelseströmmar och Poissonprocesser Definition Intensitet Exempel 2 / 14 Händelseström Händelsen A inträffar vid de okända tidpunkterna S 1, S 2,...
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merOptimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård
DEGREE PROJECT, IN APPLIED MATHEMATICS AND INDUSTRIAL ECONOMICS, FIRST LEVEL STOCKHOLM, SVERIGE 2015 Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård HANS DE GEER KKTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merModellering och kundprocessanalys av kösystem på Vapiano Sturegatan
EXAMENSARBETE INOM TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP STOCKHOLM, SVERIGE 2016 Modellering och kundprocessanalys av kösystem på Vapiano Sturegatan YRR AHLKLO CARIN LIND KTH KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN SKOLAN FÖR
Läs merKapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs
Läs merUtdrag ur TAMS15: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79
Utdrag ur TAMS5: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79 John M. Noble, Institute of Applied Mathematics, University of Warsaw, ul. Banacha, -97 Warszawa Revised: J. Thim ii Innehåll
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Läs merTENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,
TENTAMEN I KOTEORI dec 7 Ten i ursen HF Tidigare n 6H), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, och TEN i 6H7, Dataommuniation och nätver, ) Srivtid: :-7: Lärare: Armin Halilovic Kursod HF Hjälmedel: Miniränare
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs merOptimering av ett kösystem på IKEA Kungens Kurva
DEGREE PROJECT, IN APPLIED MATHEMATICS AND INDUSTRIAL ECONOMICS, FIRST LEVEL STOCKHOLM, SWEDEN 2015 Optimering av ett kösystem på IKEA Kungens Kurva PERSHENG BABAHEIDARI, MICHAELA JERNBECK KTH ROYAL INSTITUTE
Läs merExtrauppgifter - Statistik
Extrauppgifter - Statistik Uppgifter 1. Den stokastiska variabeln Y t 10 ). Bestäm c så att P ( c < Y < c) = 2. Vid tillverkning av en viss sorts färg tillsätts färgpigmentet med hjälp av en doseringsapparat,
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 9 Johan Lindström 16 oktober 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F9 1/26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03
Läs merUppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merSimulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå
Simulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå Handledare: Johan Boye Filip Gaun Klippgatan 12c 171 47 Solna 076-650 76 33 lipgau@kth.se
Läs merFöreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori. Jan Grandell
Föreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen
TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING
Läs merKovarians och kriging
Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs merDEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.
Matematiska Institutionen KTH TENTAMEN i Linjär algebra, SF604, den 5 december, 2009. Kursexaminator: Sandra Di Rocco Svaret skall motiveras och lösningen skrivas ordentligt och klart. Inga hjälpmedel
Läs mere x/1000 för x 0 0 annars
VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B506 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURRS FÖR D OCH F, 5B504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR ÄLDRE OCH 5B50 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN
Läs merStokastiska Processer
Kapitel 3 Stokastiska Processer Karakteristisk funktion: Den karakteristiska funktionen φ ξ : R n C för en R n -värd s.v. definieras för t R n. φ ξ (t) = E{e iπ(t ξ +...+t nξ n) } = E{e iπtt ξ } Den karakteristiska
Läs merLösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation
Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil adiokommunikation 7. 7. Två lognormalt fördelade stokastiska variabler X och Y med log-standardavvikelserna σ logx och σ logy. Att den stokastiska variabeln
Läs merP =
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF297 (f d 5B157) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI LÖRDAGEN DEN 2 OKTOBER 21 KL 1. 18.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 79716, e-postadress: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel:
Läs mer2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /
Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL
Läs merFöreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 216 FACIT: Matematik 3 för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik 3 för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 216-1-21 kl. 8.3-12.3
Läs merP(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1
Kaitel 1 Mer Markovkedjor Med att secificera en Markovkedja menar vi att man bestämmer övergångsmatrisen P. Detta säger ju allt om dynamiken för rocessen. Om vi dessutom vet hur kedjan startar, dvs startfördelningen
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3
Läs merGrafer och grannmatriser
Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på
Läs merExtrauppgifter i matematisk statistik
Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är
Läs merHändelsestyrd simulering. Inledning. Exempel
Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Lennart Andersson EDA061/F10 Uppgift 2010-09-13 Händelsestyrd simulering Inledning Du skall konstruera ett program som simulerar vad som händer när kunder kommer till
Läs merTENTAMEN Datum: 14 feb 2011
TENTAMEN Datum: 14 feb 011 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF1001 TEN 1 (Matematisk statistik ) Ten1 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H301), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 13:15-17:15
Läs merExempel. Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V) mulet (M) regn (R)
Exempel Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V mulet (M regn (R Exempel Vackert idag vackert imorgon sannolikheten 0.6 Vackert idag mulet imorgon sannolikheten
Läs merModeller för reservoarer - köer och liknande fenomen
Modeller för reservoarer - köer och liknande fenomen Robert Eriksson Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2011:2 Matematisk statistik Juni 2011
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs mer