Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod."

Rickard Göransson
för 9 år sedan
Visningar:

1 Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod. Problem. Könätet nedan beskriver ett datorsystem. Till könätet kommer jobb i enlighet med en Poissonprocess med medelvärde jobb per tidsenhet. Ett jobb som är färdigbetjänat i nod fortsätter med sannolikheten α till nod 2 och med sannolikheten α till nod 3. Nod 3 är ett upptagetsystem med två betjänare. Låt α 0.4, 0.75, µ 2, µ 2.5 samt µ 3 3 (a) Bestäm ankomstintensiteten till alla noderna. Bestäm också intensiteten med vilken kunder blir färdigbetjänade i nod 3. (b) Bestäm medelantal jobb i könätet. (c) Bestäm medelsvarstiden i könätet för ett jobb som inte spärras. 2. Könätet nedan består av tre //-köer. Betjäningsintensiteten i nod i är µ i. Nya jobb kommer till könätet med intensiteten. Jobb som blir färdiga i nod kan lämna könätet eller återkopplas till nod 2 eller 3. Sannolikheterna för detta är α, β respektive γ där α + β + γ. Vi antar att ingen nod är överbelastad. (a) Beräkna k ankomstintensiteten till nod i för alla i. (b) Beräkna medelantalet jobb i könätet. (c) Beräkna medeltiden i könätet för en godtycklig kund. (d) Beräkna medelantalet jobb som lämnar könätet per tidsenhet.

Till könätet kommer jobb i enlighet med en Poissonprocess med medelvärde jobb per tidsenhet.

2 3. Kunder kommer till ett könät med noder som alla är //-system. Ankomsterna bildar en Poissonprocess med intensiteten. En kund som kommer till könätet går till nod i med sannolikheten p i. När en kund är färdigbetjänad i en nod lämnar den könätet med sannolikheten α och med sannolikheten α går kunden tillbaka till en av noderna. Kunden väljer då nod i med sannolikheten p i. Antag att p i / och att alla betjäningsintensiteten är µ i alla kösystemen. (a) Bestäm ankomstintensiteten till nod i. (b) Bestäm medeltiden i könätet för en godtycklig kund. (c) Bestäm sannolikheten att ett jobb aldrig blir betjänat av nod. 4. Betrakta könätet i figuren nedan. Nod och 2 är //-system och nod 3 och 4 är upptagetsystem med m betjänare. Betjäningsintensiteten i nod i är µ i. (a) Beräkna medelantal kunder i alla noderna. (b) Beräkna medeltiden i hela kösystemet för de kunder som får fullständig betjäning. 5. Betrakta nedanstående könät. Alla betjäningstider är exponentialfördelade och har medelvärdet. Dessutom är p 0., p och p (a) Bestäm ett värde på så att belastningen på den högst belastade betjänaren är 0.9. (b) Beräkna sannolikheten att en kund lämnar könätet vid A respektive B. (c) Beräkna medelantal betjäningar som en kund får innan den lämnar könätet. 6. Vi har ett könät med två noder som bägge är //-system. En kund som lämnar nod fortsätter alltid till nod 2 och en kund som lämnar nod 2 fortsätter alltid till nod. Inga nya kunder kommer till nätet och inga kunder lämnar nätet. Antag att det finns kunder i nätet och att betjäningsintensiteterna i noderna är µ respektive µ 2. (a) Sätt P (k, k 2 ) sannolikheten att det finns k kunder i nod och k 2 kunder i nod 2. Beräkna P (k, k 2 ). 2

Antag att p i / och att alla betjäningsintensiteten är µ i alla kösystemen. (a) Bestäm ankomstintensiteten till nod i. (b) Bestäm medeltiden i könätet för en godtycklig kund.

3 (b) Beräkna belastningen på betjänaren i nod. Belasting andel av tiden som betjänaren jobbar medelantal kunder som finns i betjänaren. Lösningar (c) Beräkna hur många kunder som i medeltal blir färdigbetjänade i nod 2 per tidsenhet.. (a) Vi får ekvationssystemet Vilket har lösningen α 3 ( α) α α α Intensiteten med vilken kunder blir färdigbetjänade i nod 3 är Λ 3 3 ( E 2 ( 3 /µ 3 )) 0.75 ( E 2 (0.25)) 0.73 (b) De sedvanliga formlerna ger E(N ) /µ /µ.67 E(N 2 ) 2/µ 2 2 /µ E(N 3 ) ρ 3 ( E 2 (ρ 3 )) 0.25( E 2 (0.25)) 0.24 Det totala antalet jobb blir alltså E(N ) + E(N 2 ) + E(N 3 ) 2.4 (c) Fram till nod 3 har alla jobb i medeltal tillbringat samma tid i könätet, nämligen E(T 2 ) E(N ) + E(N 2 ) 2.89 En kund som inte avvisas tillbringar alltid tiden /µ 3 /3 i nod 3. edeltiden i könätet för en kund som inte avvisas blir då E(T tot ) E(T 2 ) + µ

75 Intensiteten med vilken kunder blir färdigbetjänade i nod 3 är Λ 3 3 ( E 2 ( 3 /µ 3 )) 0.75 ( E 2 (0.25)) 0.73 (b) De sedvanliga formlerna ger E(N ) /µ /µ.67 E(N 2 ) 2/µ 2 2 /µ 2 0.

4 2. (a) Vi får ett ekvationssystem vilket har lösningen β 3 γ α 2 β α 3 γ α (b) an beräknar först ρ i och använder sedan den vanliga formeln för //-system. Det ger E(N ) ρ /µ ρ /µ µ αµ (c) edeltiden blir enligt Littles sats E(N 2 ) 2 β µ 2 2 αµ 2 β E(N 3 ) 3 γ µ 3 3 αµ 3 γ E(T ) E(N ) + E(N 2 ) + E(N 3 ) (d) Ingen nod är överbelastad vilket innebär att i medeltal måste lika många kunder per tidsenhet lämna systemet som det kommer. Svaret är således. 3. (a) För nod i får vi ekvationen i p i + α j p i Av symmetriskäl inser man att alla j måste vara lika om alla p j /. Då får man i p i + j j α i p i + α i i ( α) (b) Vi bestämmer medelantal kunder i könätet. edelantal kunder måste vara lika i alla noder så vi får att det totala antalet kunder i könätet blir E(N) E(N ) ρ ρ varefter Littles sats ger medeltiden i könätet E(T ) E(N) ( α)µ ( α)µ 4

i medeltal måste lika många kunder per tidsenhet lämna systemet som det kommer. Svaret är således. 3.

5 (c) Låt K vara antalet gånger som ett jobb passerar en godtycklig kö i könätet. K har då en geometrisk fördelning det vill säga P (K n) α n ( α), n Vi sätter A händelsen att nod inte besöks av en kund. För varje gång ett jobb passerar genom köerna så är sannolikheten att det inte besöker nod Det ger att ( ) n P (A K n) Nu tar vi bort betinget ( ) n P (A) P (A K n)p (K n) α n ( α) n n ( α) ( ) n α n n ( α) ( )( α) α( ) α( ) 4. (a) Först beräknar vi i och ρ i för alla noderna Vilket medför 2 + α 2 3 ( α)β 2 4 αβ 2 2 α 3 β 4 ( β) och sedan ρ i i /µ i för alla i. edelantal i noderna blir nu E(N i ) ρ i ρ i för i och 2 E(N i ) ρ i ( E mi (ρ i )) för i 3 och 4 (b) Fram till det ställe där kunderna delas upp mellan nod 3 och 4 så har alla tillbringat samma medeltid i könätet vare sig de avvisas eller inte. Enligt Littles sats är denna tid E(T 2 ) E(N ) + E(N 2 ) 5

För varje gång ett jobb passerar genom köerna så är sannolikheten att det inte besöker nod Det ger att ( ) n P (A K n) Nu tar vi bort betinget ( ) n P (A) P (A K n)p (K n) α n ( α) n n ( α) ( ) n α n

6 Intensiteten med vilken kunder verkligen får komma in till upptagetsystemet blir Λ i i ( E mi (ρ i )), i 3, 4 Sannolikheten att en kund som får betjäning får betjäning i nod 3 blir då T tot Λ 3 + Λ 4 och motsvarande för nod 4. Den totala medeltiden i könätet för en kund som inte avvisas blir då Λ 3 T 2 + Λ 3 + Λ 4 Λ 3 + Λ 4 µ 3 Λ 3 + Λ 4 5. (a) För ankomstintensiteterna till noderna får vi ekvationssystemet vilket har lösningen För alla noderna gällde att µ i vilket innebär att ρ i i. Den högst belastade noden är nod. Väljer vi 0.45 så blir belastningen på den 0.9. (b) Vi beräknar utintensiteten vid A (kalla den A ) respektive B (kalla den B ). an får A B Observera att A + B. Det ger att sannolikheten att en kund lämnar nätet vid A blir A 0.2 A + B 0.2 och att den lämnar nätet vid B blir B 0.8 A + B 0.8 (c) Eftersom 2 så måste varje kund i medeltal besöka nod två gånger under sin tid i nätet. På samma sätt så besöks nod 2 i medeltal.6 gånger och nod 3 i medeltal 0.8 gånger under en kunds tid i nätet. En godtycklig kund blir alltså betjänad i medeltal gånger under sin tid i nätet. 6. (a) Vi observerar att eftersom det alltid finns kunder i könätet så måste vi ha att k + k 2. Det räcker alltså att hitta sannolikhenten att det finns k kunder i nod. För att göra detta ritar vi en arkovkedja som beskriver antal kunder i nod : µ 4 6

(a) För ankomstintensiteterna till noderna får vi ekvationssystemet vilket har lösningen + 0. + 3 2 0.8 3 0.5 2 2 2.6 3 0.8 För alla noderna gällde att µ i vilket innebär att ρ i i.

7 Snittmetoden ger oss sedan P (k i nod ) ρ k där ρ µ 2 /µ. Således gäller ρ ρ + P (k, k 2 ) ρ k ρ ρ + om k + k 2 (b) Belastningen blir P (k 0) ρ 0 ρ ρ + ρ+ + ρ ρ + ρ ρ + ρ + (c) Vi använder Littles sats på betjänaren i nod. Belastningen på betjänaren är detsamma som medelantalet jobb i betjänaren. Littles sats ger då (om är antal som blir färdigbetjänade per tidsenhet i nod ) P (k 0) ρ ρ + µ ρ + µ 7

ρ + ρ ρ + ρ + (c) Vi använder Littles sats på betjänaren i nod.

Relevanta dokument

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Övning 7 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.