Kompletterande kurslitteratur om serier

Transkript

1 KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du ha läst dessa avsitt och räkat tillhörade rekommederade övigar. Här eda aväds beteckigar och defiitioer frå Persso & Böiers uta vidare förklarig.. Allmäa terme går mot oll är ödvädigt me ite tillräckligt för koverges Vi börjar med att formulera ett ödvädigt villkor för att e serie skall vara koverget. E serie är koverget om följde av delsummor ärmar sig ett bestämt värde, d v s är ma adderar fler och fler termer så bromsar summa i och ärmar sig ett gräsvärde. Om detta ska ha e chas att iträffa måste termera bli midre och midre och ärma sig 0. Mer precist formulerat får vi följade Sats. Om serie a k kovergerar så gäller att lim k a k = 0. Bevis. Beviset består av e formaliserig av resomeaget som föregår Sats. Atag att a k kovergerar mot värdet L, a k = L. Detta är defitiosmässigt detsamma som att följde av delsummor kovergerar mot L, dvs s = a k = a 0 + a + + a och lim s = L. Vi observerar också att a = s s. Detta ger att lim a (s s ) s lim s = L L = 0. Sats är därmed bevisad. Sats är kaske mest avädbar i följade (logiskt ekvivaleta) omformulerig: Sats, alterativ formulerig. Om lim k a k 0 är serie a k diverget. Dea formulerig ger ett verktyg för att visa att serier ite är kovergeta.

2 Exempel. Serie Serie k= ( )k är diverget eftersom lim k ( ) k ite existerar. ( ) ( ) + k är diverget eftersom limk + k = 0. Täk själv igeom hur delsummora skulle se ut i dessa två exempel, och övertyga dig själv om att seriera måste vara divergeta, och att skälet till detta är precis det allmäa faktum som har formulerats i Sats. Viktigt! Observera att Sats edast ger ett ödvädigt villkor för koverges. Med adra ord fis det gott om serier där lim k a k = 0 me a k är diverget. Se t ex Exempel 6 (sida 7) i Persso & Böiers där ma visar att k är diverget. Exempel på sida 344 visar mer geerellt att k= om α, och koverget för α >. k= k α är diverget Det räcker alltså ite att allmäa terme går mot oll för att e serie ska kovergera, det krävs ågot mer. För icke-egativa serier, a 0 för alla, skulle ma kua säga att det som krävs är att termera går mot oll tillräckligt sabbt. Situatioe är sarlik de för geeraliserade itegraler, jfr. Exempel 5 (sid 305) och Sats (sid 306) i Persso & Böiers.. Positiva serier E serie kallas positiv (icke-egativ) om alla dess termer är > 0 ( 0). På motsvarade sätt kallas e serie egativ (icke-positiv) om alla dess termer är < 0 ( 0). Exempel. Serie k= ( )k varke positiv, icke-egativ, egativ eller icke-positiv. k Serie ( ) + k är positiv (och därmed också icke-egativ) Serie ( ) k är icke-positiv, me ite egativ. + k För positiva serier fis ett atal tester med vars hjälp ma ka avgöra koverges; vi ska här titta på ågra utav dessa. (Ett test för positiva serier ka direkt omformulers till ett test för egativa serier. Hur då?) Att det är lättare att studera koverges för serier där alla termer har samma tecke ä för serier med såväl positiva som egativa termer kommer sig av att för positiva serier fis det bara två möjligheter: (i) atige divergerar serie mot +, eller så (ii) kovergerar de mot ett ädligt tal. Jämför med situatioe för geeraliserade itegraler av positiva fuktioer.

3 För serier med oädligt måga såväl positiva som egativa termer kompliceras det hela av att följde av partialsummor ka oscillera och av att termera ka ta ut varadra på olika sätt. 3. Domierad koverges för positiva serier Sats Atag att 0 a k b k för alla k = 0,,.... Då gäller att (i) (ii) b k kovergerar = a k divergerar = a k b k kovergerar; divergerar. Bevisidé. Atag att b k kovergerar och är = L. Det betyder att delsummora t = b k alla är L. Me eftersom a k b k för alla k, måste äve delsummora s = a k alla vara L. Eftersom a k är e icke-egativ serie eligt förutsättigara måste de atige divergerar mot +, me det är uteslutet då delsummora aldirg blir större ä L, eller kovergera mot ett ädligt tal, vilket alltså är de eda kvarvarade möjlighete. Vi har bevisat (i). Påståede (ii) följer direkt frå (i). Sats sida 306 i Persso & Böiers är ett helt aalogt påståede om geeraliserade itegraler. Exempel 3. Avgör om serie k= är koverget eller diverget. k ( + k) Vi vet att serie k= är koverget eftersom det är e geometrisk serie med k kvot /. Vi ser också att termera i de giva serie är positiva och domieras av dea geometriska serie, d v s 0 ( + k), för alla k. k k Av Sats följer att k= Exempel 4. Avgör om serie = För stora värde på borde Då vi vet att = är koverget. k ( + k) + är koverget eller diverget. 3/ vara av samma storleksordig som. + 3/ är diverget (Se Persso & Böiers Exempel sida 344) 3

4 ger Sats oss e möjlighet att visa att de giva serie är diverget om vi lyckas + visa att 3/ för alla heltal. Vi har att + 3/ > Alltså är + = 3/ diverget. 3/ > =. 3/ Exempel 5. Avgör om serie = är koverget eller diverget.! Vi har att! = 3... >... =, och följaktlige är Eftersom de geometriska serie = att =! också är koverget. I Exempel 3 visade vi + = 3/! <. är koverget följer det eligt Sats är diverget, geom att visa att termera var större ä motsvarade termer i de divergeta serie = 4. Betrakta u istället serie =. Å ea sida käs det som om dea serie borde bete 3/ + sig precis likadat, dvs divergera, eftersom de två teckeädrigara borde vara helt betydleselösa för stora värde på. Me vi ka ite aväda Sats direkt, eftersom e ekel uppsakttig av termeras storlek går at fel håll, 3/ + <. Ett sätt att komma rut dea svårighet är t ex att försöka visa att 3/ + ; serie med termer är diverget (Varför då?) och u går olikhete åt rätt håll. Ett eklare sätt är att aväda Jämförelsetestet för positiva serier.

5 4. Ett jämförelsetest för positiva serier Sats 3. Atag att a k > 0 och b k > 0 för alla k = 0,,, 3,..., och atag också att a lim k k b k existerar som ett egetligt ollskilt gräsvärde, d v s a k lim = L, L 0, ±. k b k Då gäller att atige är båda seriera a k och b k kovergeta eller också är båda divergeta. Bevisidé. För stora k kommer a k och b k att vara approximativt proportioerliga mot varadra, a k b k L a k Lb k. Atag u att b k är koverget. Först kostaterar vi att då är också k=n b k också koverget för varje positivt heltal N, vi har ju bara kapat bort ett atal termer i börja. Vi vill visa att kovergese av b k implicerar att a k också är koverget, geom att utyttja att a k Lb k för stora värde på k. För tillräckligt stora heltal N gället u att a k = N a k + a k k=n N a k + L b k. Vi har skrivit a k som e summa av e ädlig summa N a k, som förstås alltid är koverget, och e svas L k=n b k som också är ädlig, de är talet L multiplicerat med e koverget svas frå b k. Alltså är a k koverget. De adra falle följer av likartade resoemag. (Om ma vill omvadla detta till ett fullstädigt bevis ka ma jobba med olikheter istället, t ex gäller uder giva förutsättigar att a k < Lb k för alla tillräckligt stora värde på k. Detaljera lämas som övig åt de itresserade.) Exempel 6. I slutet av förra avsittet atydde vi att = = k=n 3/ + 5 borde bete sig och därmed vara diverget. Vi ka u aväda Sats 3 (Jämförelsetestet) för att visa detta. lim 3/ + 3/ + 3/ 3/ + =. + 3/ Exempel 7. Udersök kovergese hos serie = l.

6 Vi vet att för stora är mycket större ä l och serie borde därför kovergera precis som serie =. Vi har att lim l Eftersom = l är koverget är också = l l =. l koverget. Exempel 8. Udersök kovergese hos serie = e. Vid första påseedet tycks dea serie påmia om e geometrisk serie = och det skulle därför kua vara aturligt att pröva att jämföra med dea. Detta ger dock e e e e e + = 0. Eftersom gräsvärdet = 0 ger ite jämförelsetestet ågot besked. Ite blir det bättre om vi kastar om täljare och ämare, då blir gräsvärdet + och ite heller i det fall ger jämförelsetestet ågot besked. Faktum är att = e är koverget, me detta måste visas på ågot aat sätt. Vi lämar detta som e övig. 5. Några avslutade ord Det ka vara bra att veta att det fis ett atal adra kovergestester. För positiva serier fis också bl a kvotkriteriet och rotkriteriet. Vissa altererade serier (serier där varaa term är positiv och varaa egativ) ka udersökas med Leibiz kriterium. Dessa ka ma vid behov läsa om i de flesta läroböcker i grudläggade aalys för högskola (dock ite i Persso & Böiers). Avslutigsvis kostaterar vi att för serier med såväl oädligt måga positiva som egativa termer är bilde som regel mer komplicerad. Serie ( ) k k = k= ka visas vara koverget med hjälp av ovaämda Leibiz kriterium, me geom att orda om series termer (dvs summera samma termer me i e aa ordig) ka ma få väsetlige vilket beteede som helst: diverges mot +, diverges mot, diverges geom oscillatio eller koverges mot ett godtyckligt valt reellt tal! 6 e,

7 7 6. Övigar Avgör om följade serier kovergerar eller divergerar. Övig = 3 = 3 (c) j= j /3 Övig 4 = k= 3 k 000k + 3 k Övig 3 = l = l Övig 4 j 5 j 7 j= j= j 5 j 7 + (c) j= j 6 j 7 (d) j= j 6 j 7 + Övig 5 =! = +! (c) =! Övig 6 k= k l k k= e k

8 8 7. Svar och tips till övigara. Koverget Koverget(c) Diverget. Aväd Cauchys itegralkriterium eller Exempel på sida 344 i Persso & Böiers.. Koverget, geometrisk serie. Diverget, termera går ite mot oll. 3. Diverget Koverget, termera domieras av termera i e koverget serie. 4. Koverget Koverget. (c) Diverget (d) Diverget. Pröva med att domiera med käd serie eller försök med jämförelsetestet. 5. Koverget Koverget, gör jämförelse med. (c) Koverget, låt dig ispireras av Exempel 5 6. Diverget Koverget. Studera först motsvarade geeraliserade itegral, lämpliga substitutioer behövs för att fia primitiver.