i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.

Transkript

1 Kap , , 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie, kovergesmägd, kovergesradie, deriverig och itegratio av potesserier, biomialformel, geeraliserade itegraler (udersökig av kovergese). 9. (A) Beräka gräsvärdea: a. lim + + c. lim 3/2 2 b. lim 3 d. lim + ( ) e. lim 3 + f. lim i de fall de existerar. Om gräsvärdet ifråga ite skulle existera, age i så fall detta med motiverig. 92.(B) Beräka gräsvärdea: a. lim 2 b. lim ( ) (B) Udersök om talföljde a = (Gräsvärdet behöver ite bestämmas.) är koverget. 94. (A) Geom likhete a = 2 och sambadet a + = 2a, =, 2, 3, defiieras e talföljd {a }. Beräka lim a. 95. (B) Låt talföljde {a } vara defiierad av rekursiossambadet a = 2 a + = 2 3a 2 +, Avgör om talföljde är koverget och bestäm i förekommade fall dess gräsvärde.

2 96. (B) Låt talföljde {a } vara defiierad av rekursiossambadet a = a + = + a 2 2, Avgör om talföljde är koverget och bestäm i förekommade fall dess gräsvärde. 97. (B) Låt talföljde {a } vara defiierad av rekursiossambadet a = a + = a 2 +, Visa att talföljde är koverget och bestäm dess gräsvärde. 98. (B) Låt talföljde {a } = vara defiierad av rekursiossambadet a o = a + = 4 + a a 2, Visa att talföljde är koverget och bestäm dess gräsvärde. 99. (A) Avgör om följade serier är kovergeta eller divergeta: 2 + a. 4 + c b d. = e. =2 2 f. =2 e l g. k=2 i. k. m. k h.! j. = si (/) cos π l. l 2. 3! cos π + 2 l! 2

3 9. (B) Avgör om följade serier är kovergeta eller divergeta: a. k= ( ) k+ 2k k b. k=3 k k + 4 k + 5 c. l si (/) / d. =2 l e. ta si g. 2 + f. =2 h. l + l si (/) i. l + j. 3! k. 2! 9. (B) Bestäm de positiva tal a för vilka serie a l är koverget. 92. (C) Avgör om följade serier är kovergeta eller divergeta: a. c. e. =2 + 3 (3)! b. d. =2 (l!) 2 f. si ( + ) 2 π l! si π cos 93. (C) Ka kostate b bestämmas så att serie är koverget? e + eb 94. (C) Låt a vara ett godtyckligt tal och låt talföljde a, =, 2, 3, defiieras av sambade a + = si a,. Avgör om serie = a är koverget eller diverget. 3

4 95. (B) Avgör om följade geeraliserade itegraler är kovergeta eller divergeta: a. c. x 2 2x 4 + x 3 + dx b. x α x 2 + dx, α är kostat d. x α ( x) β dx, α och β är kostater e. l (x 2 + ) x dx f. g. x e x2 dx h. i. l (e /x + ) dx x 2 2x 3 + x 2 + dx ( + x) x dx x l x dx 96. (A) Beräka a. 5 b. 5 c (A) Utveckla ( x) 9 med hjälp av biomialsatse. 98. (A) Vilka är koefficietera a 3 och a 4 i utvecklige ( + x) ( x) = a o + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x4 + + a x 4

5 Ledigar till uppgiftera a. Gör likämigt, förkorta med 2. b. Visa att lim udda och lim jämt ger olika gräsvärde i detta fall. c. Skriv bråket på forme α /a. d. Förkorta med. l ( + / 3 ) e. Bryt ut 3. Obs att + / 3 = e l ( + (2/3) ) f. Bryt ut 3. Obs att + (2/3) = e 92. a. Sätt 2 = t. Aväd seda att lim t ± + t a b. Aväd att a b = 3 b 3 a 2 + ab + b 2. Förkorta seda med 3 2 för att skriva om uttrycket till t = e a 2 + a + där a = 3 + / 93. Visa först att a a >, dvs att a är e växade talföljd. Visa seda att a < <, dvs att talföljde är uppåt begräsad Visa, t ex med iduktio, att a Visa först att om följde är koverget (till ågot A), så ger gräsövergåg i rekursiossambadet att A =. Att talföljde verklige är koverget, visas geom att ma istället visar att följde är begräsad och växade. Några stolpar: Visa med iduktio att talföljde är begräsad eligt < a < för alla. Av detta följer seda att 3 + = a, dvs att talfölj- a + = 2 3a 2 + = a 2 de är växade. 3 + /a 2 > a Se föregåede uppgift. 97. Visa att a < a + < 2. Aväd pricipe om mooto koverges och bestäm seda gräsvärdet geom gräsövergåg i rekursiossambadet. 5

6 98. Visa att a < a + < /2. (Verifiera t ex att fuktioe f(x) = /4 + x x 2 är växade då x < /2 och har /2 som sitt största värde). Aväd pricipe om mooto koverges och bestäm seda gräsvärdet geom gräsövergåg i rekursiossambadet. 99. a. Aväd jämförelsepricipe (sats, sid 539). Jämförelseserie 2. b. Udersök gräsvärdet för termera då. Aväd sats 4, sid 532. c. Aväd majoratpricipe (sats 9 sid 538) majoratserie är 3 eller jämförelsepricipe (sats, sid 539) d. Aväd sats 2, sid 543. e. Aväd jämförelsepricipe (sats, sid 539). Jämförelseserie 2 (Se också ex ). f. Serie ka skrivas =2 e g. Jämför med k= k h. Aväd sats, sid 542. i. Aväd sats, sid 542. j k. Obs att cos π = ( ). Aväd sats 4, sid 548. l. Obs att (l )/ > / om > 3. Aväd majoratpricipe (sats 9 sid 538). m. Obs att (l )/ 2 < / 3/2 för tillräckligt stora. Aväd majoratpricipe (sats 9 sid 538).. Obs att termera ite går mot då. 9. a. Aväd sats 4, sid 548. b. Udersök gräsvärdet för termera då. c i. MacLauriutveckla allmäa terme i / och aväd jämförelsepricipe (sats, sid 539). g. Alterativt ka olikhete + (sats 9 sid 538) avädas. < e och majoratpricipe 6

7 9. i. l + = l + = O 3 osv. j-k. Aväd sats på sid 542, utyttja att lim + = e. 9. Observera att a l = l a. Aväd käda resultat om seriera α 92. a. Visa först att serie ka jämföras med e, aväd seda majoratpricipe (sats 9 sid 538). Majorera t ex med b. Obs att ( + ) 2 π = ( + 2)π + π, varför si ( + ) 2 π = ( ) + 2 si π. Aväd sats 4, sid 548. c. Aväd sats, sid d. Observera t ex att l! l. Aväd majoratpricipe (sats 9 sid 538) e. Observera t ex att l! ( ) l 2. Aväd majoratpricipe (sats 9 sid 538) f. Maclauriutveckla cos i. Ma får att series termer = = si π 2 + O 3 = ( )+ 2 Obs att koverget. ( ) O 3. är koverget och O 3 är absolut 93. Serie divergerar eligt sats 9.8 om e + eb = c + O 2 och c. Om c = så kovergerar de (absolut) eligt majoratpricipe (sats 9 sid 538). 94. Aväd sats 4, sid 548. Att förutsättigara till kriteriet är uppfyllda ka ises bl a av att a + = si a a och att följaktlige de avtagade följde a måste ha ett gräsvärde A som satisfierar ekvatioe A = si A, dvs att A =. 7

8 95. a b. Itegrale är sigulär då x. Obs att itegradera är = 2x 2 + O x 3 resp = 2x + O x2 då x c. Itegrale är sigulär då x samt om α < också då x =. Då x är itegrade = /x α 2 + O(/x α ), då x = är itegrade = x α + O(x α+2 ) d. Itegrade är sigulär då x = resp. om α < resp β <. e. Itegrale är sigulär då x. Aväd majoratpricipe (sats 3 på sid 379). Obs att l(x 2 + ) l 2 då x. f. Itegrale är sigulär i x = och då x. Aväd majoratpricipe (sats 3 på sid 379). Jämför med x /2 för x = och med x 3/2 då x. g. Itegrade är begräsad då x + och siguär då x. Itegrade ka skrivas e x (l x x). Aväd t. ex. att l x x < och majoratpricipe (sats 3 på sid 379). h. Bestäm primitiv fuktio, substituera t. ex. l x = t. i. Itegrade sigulär då x = +. Skriv t. ex. om eligt: l (e /x + ) = l e /x + l ( + e /x ) = /x + begräsad fuktio. 96. k = ( ) ( k + ) k!. I uppg c, obs att k = k 98. Utveckla (+ x) och ( x) med hjälp av biomialsatse. 8

9 Svar till uppgiftera a. b. Gräsvärdet existerar ej. c. d. e. f a. e 2 b. /3 93. Koverget /2 99. a. Koverget b. Diverget c. Koverget d. Koverget e. Koverget f. Diverget g. Diverget h. Koverget i. Diverget j. Koverget k. Koverget l. Diverget m. Koverget. Diverget 9 a. Koverget b. Diverget c. Koverget d. Koverget e. Koverget f. Koverget g. Koverget h. Koverget i. Diverget j. Diverget k. Koverget 9. Koverget då < a < e 2 9

10 92. a. Koverget b. Koverget c. Koverget d. Diverget e. Koverget f. Koverget 93. Ja! Serie är koverget då b = /2 94. Koverget 95. a. Koverget b. Diverget c. Koveget om och edast om < α < d. Koverget om och edast om α och β > e. Diverget. f. Koverget g. Koverget h. Diverget i. Diverget 96. a. 252 b c x + 36x 2 84x x 4 26x x 6 36x 7 + 9x 8 x a 3 = 2 3 = ( )( 2) 3, a 4 =