Leif Abrahamsson. Uppsala Universitet

Transkript

1 Två formler för talet π Leif Abrahamsso Uppsala Uiversitet Dea uppgift syftar till att härleda två formler för talet π. De två formleras härledig är oberoede av varadra och ka således var för sig utgöra grude till ett specialarbete. Möjlige ka iledige också tjäa som e itroduktio till algebraiska och trascedeta tal, om ågo som läser detta hellre skulle vilja skriva ett specialarbete om sådat. Iledig. Formel för area A av e cirkel med radie r ges som bekat av A = πr. Dea formel säger att om vi vet de exakta värdea av π och r, så ka vi beräka det exakta värdet av area. Tyvärr (?) förhåller det sig ju dock så att ma i de fysikaliska verklighete edast har tillgåg till mätistrumet som tillåter att t ex radie hos e cirkel edast ka bestämmas med ett visst mått av oggrahet aldrig exakt. När cirkels radie väl mätts upp behövs ett umeriskt värde på talet π för att vi skall få veta vad area (ugefär) är. Vad som aväds är ma utför umeriska beräkigar (för had eller med hjälp av datorer) är decimal (biär ) bråksutvecklig av de reella tal ma för tillfället räkar med tale decimalbråksutvecklas och ma tar med så måga decimaler som oggrahete kräver. T ex 7 3 =, med 6 decimalers oggrahet =, 4857 med 7 decimalers oggrahet.

2 Leif Abrahamsso Olika reella tal är olika svåra att decimalbråksutveckla: heltale (...,,,,,,... ) är det ju iga problem med, de ratioella tale (alla tal som är på forme p/q där p och q är heltal och q, speciellt är heltal också ratioella tal tag q = ) är också lätta att hadha (bl a är det så att varje ratioellt tal har e decimalbråksutvecklig där siffrora efter ett tag återkommer periodiskt). Reella tal som ej har e periodisk decimalbråksutvecklig kallas irratioella (exempel på sådaa är, π, e för att äma ågra). Ett aat sätt att uttrycka att ett reellt tal x är ratioellt är att säga att x är lösig till e ekvatio qx p =, p, q heltal och q. Eller, uttryckt litet aorluda, ratioella tal är lösigar till första grads ekvatioer med heltalskoefficieter (tale p och q kallas koefficietera i ekvatioe ova). Om ma u geeraliserar lite och tittar på adragrads ekvatioer med heltalskoefficieter: px + qx + r =, p, q, r heltal och p, t ex x = som har e lösig, så får vi med fler reella tal ite bara de ratioella. Allmät kallar ma ett reellt tal x algebraiskt om x är lösig till ågo ekvatio a x +a x +... a x + a =, a, a,..., a, a heltal och a. Så är ett algebraiskt tal, + är ett aat. Det sistämda är lösig till ekvatioe (x + )(x + + )(x + ) = x 4 x =.

3 Två formler för talet π 3 Uppgift.(a) Hitta e fjärdegradsekvatio med heltalskoefficieter och med x = som e lösig. (b) Låt a och b vara två heltal båda större ä oll. Försök visa att a + b är ett algebraiskt tal, dvs försök hitta e ekvatio med heltalskoefficieter som har x = a + b som e lösig. Nu ka ma fråga sig: Är alla reella tal algebraiska tal? Dvs är varje reellt tal lösig till ågo ekvatio med heltals koefficieter? Svaret är ej! Tale π och e är exempel på icke algebraiska tal (i själva verket utgör de algebraiska tale e förhålladevis lite del av de reella tale de är i e viss meig ite fler till atalet ä heltale!). De icke algebraiska heltale kallas trascedeta tal och trascedeta tals decimalbråksutveckligar är mer komplicerade ä algebraiska tals, för ett givet algebraiskt tal fis det ju e ekvatio med heltalskoefficieter till vilke det giva talet är e lösig, och det fis sabba metoder att t ex med hjälp av e dator fia approximativa lösigar till sådaa ekvatioer (e såda metod är Newto Raphsos metod ). Detta gör det öskvärt att hitta formler för trascedeta tal, t ex talet π som uttrycker π med hjälp av produkter/summor av algebraiska tal. Exempel på två sådaa formler preseteras eda. E aa historisk otis värd att äma i sammahaget är de om cirkels kvadratur. De gamla grekiska matematikera formulerade problemet att med hjälp av passare och lijal kostruera e kvadrat med samma area som cirkel med radie dvs e kvadrat med area π. Detta förutsätter att ma ka kostruera e sträcka med lägd π (kvadrates area är ju produkte av sidlägdera). Nu är det dock så att samtliga sträckor som ka kostrueras, med passare och lijal, utgåede frå e cirkel med radie, är algebraiska tal och det dröjde därför fram till 88 ia grekeras problem fick svaret att det är omöjligt att kostruera e såda kvadrat i och med att

4 4 Leif Abrahamsso e matematiker vid am Lidema visade att π är trascedet. (Visserlige ryktas det att e amerikask domstol e gåg lagstiftade att talet π är lika med 3, med stöd av e passus i bibel, me detta får og betraktas som e juridisk saig.) Viète s formel. De formel för π som preseteras här upptäcktes av Fracois Viète 579. Som utgågs-pukt har vi att cirkel med radie har area π, och för att få fram ett approximativt värde på π väljer vi att approximera cirkel med geometriska figurer vars areor lätt ka räkas ut i termer av algebraiska tal. Om vi skriver i e regelbude måghörig i cirkel eligt figure eda, är det klart att ju fler hör vi väljer desto bättre asluter måghörige till cirkel och måghöriges area blir e approximatio av cirkels area. y O (x, ) = B A = (x, y) x C = (, )

5 Två formler för talet π 5 Uppgift. Bestäm area av triaglara OAC och OAB och visa, med hjälp av att lösa ekvatiossystemet { xy = (area OAB) x + y = med avseede på y, att () area OAC = 6(area OAB). Låt u P m vara e regelbude m hörig iskrive i cirkel och låt A m vara area hos P m. Några exempel: m = 3 (m = 6) m = 4 (m = 8) m = 6 (m = ) Varje P m består av m stycke lika stora triaglar och ma ser ju lätt att A m är = (atalet triaglar i P m ) (area hos e av triaglara). Uppgift. Härled, med hjälp av (), formel () A m = m (A m /m). Geom att aväda formel () för m = upprepade gåger, med börja för m = = 4, A 4 = ka approximatioer av π erhållas. Uppgift. Gör ett datorprogram som, med hjälp av de härledda formel, beräkar approximatioer av π. (Dvs beräka areora A för ågra värde på heltalet.)

6 6 Leif Abrahamsso Låt u d m betecka det vikelräta avstådet frå origo till e sida i P m eligt figur: O d m Via sambadet area (OAB) area (OAC) = OB ka ma härleda att A m /A m = d m. (Försök göra detta!) Alltså är t ex A 4 /A 8 = d 4, A 8 /A 6 = d 8 vilket ger att A 8 = A 4 /d 4 och därmed A 8 /A 6 = A 4 /(A 6 d 4 ) = d 8, dvs A 4 /A 6 = d 4 d 8. Uppgift. Härled formel (3) A = d 4 d 8... d. Ur detta sambad ser vi att A = (d 4 d 8... d ) och om vi u hittar ågot sätt att beräka avståde d m så har vi alltså e formel som ger godtyckligt bra approximatioer av π. Ur figure med d m ova sys att d m = cos π m. Vi behöver alltså e värde för cos π m då m = för ett heltal, för att aväda (3). Uppgift. Aväd formel cos x = + cos x

7 Två formler för talet π 7 för att visa att d 4 = d 8 = + d 6 = + + osv. Tillsammas ger u det vi visat Viète s formel: = A + = d 4 d 8... d = och ur detta ka vi ju lösa ut A och erhålla approximatioer av π precis som ova. Uppgift. Gör ett datorprogram som med hjälp av formel för /A ova approximerar värdet på π. Jämför också dia värde med de bifogade tabelle över π:s decimalbråksutvecklig. Wallis produkt. Wallis produkt (frå 665) är, till skillad frå Viète s formel, kaske ite så geometrisk, uta bygger väsetlige på itegratio av trigoometriska fuktioer och lite uppskattigar. Uppgift. Gör e lämplig partiell itegratio i västerledet för att visa att si x dx = si x dx,.

8 8 Leif Abrahamsso Härled ur detta att si + x dx = si x dx = π (Ledig: Gör upprepade partiella itegratioer!) Härled också ur de båda sista likhetera att π = si x dx si + x dx Om vi u ka visa att kvote mella itegralera i de ovaståede formel är ära då är stort, så har vi här ytterligare e approximatio av talet π, i termer av ratioella tal dea gåg! Uppgift. Utyttja olikhetera och visa att < si + x si x si x för < x < si x dx si + x dx +. (Ledig: För de högra olikhete, gör först e partiell itegratio eligt ova i ämare.) Eftersom tale ( + )/ = + / ka fås godtyckligt ära geom att väljes stort ser vi alltså att produktera

9 Två formler för talet π 9 ka fås godtyckligt ära π. Dea produkt kallas Wallis produkt. Uppgift. Gör ett datorprogram som approximerar π med hjälp av Wallis produkt. Jämför resultatet med de föregåede uppgifte. Tycks ågo av metodera ge e sabbare väg till approximatioer av π? Jämför också dia approximatioer med de bifogade tabelle över π:s decimalbråksutvecklig. Litteratur Merparte av materialet till detta specialarbete har jag hittat i boke Spivak, M., Calculus. Publish or Perish Ic., Berkeley, Calif. 98, e bok som för ite så läge seda avädes i udervisige av ybörjarstudeter i matematik vid Uppsala Uiversitet. Mer om reella tal (bl a π) ka ma läsa i Bru, V., Alt er tall. A.s Joh Griegs Boktrykkeri, Berge 964. Flegg, G., Numbers their history ad meaig. Pegui Books Ltd 984. Uppslagsverket Sigma (som väl torde fias på de flesta gymasieskolor) iehåller också e del lättillgägligt material rörade begreppe ova (om ä ite så mycket). I Scietific America, februari 988, fis e artikel om Ramauja och π där ma ka läsa om adra sätt att beräka π.