MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
|
|
- Alexandra Bengtsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mägder (aiv, ite axiomatisk, mägdlära x A om x är ett elemet i mägde A, dvs. x hör till A och x / A om x ite gör det. {,, 5, 6} är mägde som iehåller tale,, 5 och 5, dvs. {,, 5, 6}, {,, 5, 6} osv. me 4 / {,, 5, 6}. Mägdera {,, 5, 6} och {6, 5,,,, } är desamma eftersom ordige och upprepigar ite har ågo betydelse för fråga om ett elemet hör till mägde eller ite och det är det eda som räkas. Istället för att räka upp elemete i e mägd ka ma defiiera e mägd som de elemet i e mägd A som har e viss egeskap P, dvs. B = { x A : P(x } där P(x för varje x A atige är sat eller falskt, tex. { x R : x 4 }. Russells paradox Vad ka vi säga om {x : x / x}? Ge ett am åt detta: A = {x : x / x}. Atag att A A: Då uppfyller A villkoret x / x dvs. A / A, och vi får e motsägelse. Atag att A / A: Då uppfyller A villkoret x / x så eligt defiitioe av A gäller A A, ige e motsägelse. Slutsats? Det går ite att defiiera mägder hur som helst uta att få större problem ä ma hade! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45
2 Mägder, forts. = {} är de tomma mägde som ite har ågra elemet alls. A B om x B för alla x A och då är A är e delmägd av B. P(A (potesmägde till A är mägde av alla delmägder av A. A B = { x : x A eller x B } är uioe av A och B. A B = { x : x A och x B } är sittet av A och B. A \ B = { x : x A och x / B } är differese mella A och B. A c = Ω \ A är komplemetet till A ifall A Ω och det är klart vad Ω är. Satslogik Om a och b är satser eller påståede som ka vara saa eller falska, me ite ågotig mitt emella, så gäller satse a && b är sa då a och b är saa. satse a b är sa då a eller b är sa (och också då både a och b är saa. satse!a är sa då a ite är sa, dvs. falsk. satse a b är sa då (!a b är sa, dvs. då atige b är sa eller a är falsk. satse a b är sa då (a b && (b a är sa. I matematisk logik aväds valige istället för &&, istället för och istället för!. Observera att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvarar vad ma i dagligt tal mear med e implikatio, dvs. av a följer b eftersom a b är sa då a är falsk och de ite ödvädigtvis har ågot med orsakssambad att göra. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Slutledigsregler och bevis Atag att p och q är två satser. Vi skall u bevisa att q är sat om vi atar att p &&!p är sat, vilket alltså visar att om ma atar e motsägelse ka ma bevisa vad som helst. Det fis måga slutledigsregler me här skall vi bara aväda följade: (a x y!x y (b x && y x (c x x y Det som gör att tex. (a är e slutledigsregel är att satse (x y &&!y x är e tautologi, dvs. sa för alla saigsvärde för x och y (vilket ka kotrolleras åtmistoe så att ma går geom alla möjligheter. Slutledigsregler och bevis, forts. Slutledigsregelera var alltså följade: (a (b (c x y!x y x && y x x x y Beviset ser u ut på följade sätt: ( p &&!p: Atagade ( p: (b tillämpat på ( med x = p och y =!p ( p q: (c tillämpat på ( med x = p och y = q (4!p: (b tillämpat på ( med x =!p och y = p (5 q: (a tillämpat på ( och (4 med x = p och y = q. Observera att vi i pukt (4 också aväde det faktum att x && y = y && x. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45
3 Ett exempel Atag att du befier dig i e främmade stad och udrar om du kommer med buss 409 till ditt hotell. Du täker fråga e ivåare i stade me kommer ihåg att du hört att det fis två sorts mäiskor i dehär stade, dels de som svarar saigseligt ja eller ej på varje fråga och dels de som svarar lögaktigt ja eller ej. Vad skall du fråga? Vi ka tex. resoera på följade sätt: Låt B vara påståedet att buss 409 för dig till ditt hotell och låt S vara påståedet att de perso du frågar alltid talar saig. Vi skall formulera ett påståede som vi frågar om är sat så att vi får svaret ja eller påståedet är sat i precis de fall då B är sat. Detta iebär att vi får följade tabell för saigsvärdea: B T T F F S T F T F P T F F T Vi ser att P skall vara sat då B och S båda är saa eller båda falska så påståedet eller fråga blir (B && S (!B &&!S. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Predikatlogik Predikatlogike är e utvidgig av satslogike så att ma förutom satser har variabler x, y,... och predikat P, Q,... (eller hur ma u vill betecka dem. Predikate har ett ädligt atal argumet, tex. P(x, Q(x, y, osv. och ett predikat uta argumet är e sats. Förutom de operatioer (!, &&, och som fis i satslogike aväder predikatlogike all- och existeskvatorera och som uttrycker för alla och det existerar. Förutom predikat ka ma också aväda fuktioer vars värde hör till det område som behadlas ( domai of discourse. E fuktio med oll argumet är då e kostat. Fuktioer och kostater ka också uttryckas med hjälp av predikat, me det blir lätt oödigt klumpigt. Operatorordig Om ma ite vill aväda pareteser, som aturligtvis har högsta prioritet, ka ma utyttja att de logiska operatorera (valigtvis evalueras i följade ordig: Först!, seda och, seda && och och till sist. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Obs! Oftast skriver ma x A (P(x istället för det fullstädiga x((x A P(x och x A (P(x istället för x((x A && P(x. Kom också ihåg att!( x P(x x!p(x, och (eftersom!(!p P!( x P(x x!p(x. Iduktiospricipe Om P( är ett påståede (som för alla 0 atige är sat eller falskt så att P( 0 är sat P(k + är sat ifall P(k är sat (dvs. P(k P(k + då k 0 så är P( sat för alla 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45
4 Iduktio Visa med hjälp av iduktio att i = = i= ( +,. Lösig: Påståedet P( är alltså i= i = (+ och 0 =. Då är påståedet P( samma som att = (+ vilket är sat. Atag u att P(k är sat och k. Eftersom P(k är sat gäller k i= i = k(k+ vilket iebär att k+ i = i= k k(k + i + (k + = + (k + i= ( k = (k + + (k + (k + = = (k + ((k + +, vilket i si tur iebär att P(k + är sat. Eligt iduktiospricipe följer u påståedet. (Ofta, me kaske ite här, löar det sig att formulera det ma skall visa som att ett uttryck skall vara 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Kartesisk produkt De kartesiska produkte X Y av två mägder X och Y består av alla ordade par (a, b eller [a, b] där a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiera paret [a, b] (eller (a, b edast med hjälp av mägdteoretiska beteckigar och ett ofta avät sätt är att säga att [a, b] är mägde {{a}, {a, b}}. Relatioer E relatio mella mägdera X och Y (eller i X om Y = X är e delmägd av de kartesiska produkte X Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Koordiatera i ett ordat par De första koordiate i [x, y] (eller (x, y är (förstås x och de adra y. Om ma skriver paret med mägdbeteckigar som {{x}, {x, y}} så hur skall ma defiiera predikate F (p, x och A(p, y så att F (p, x är sa då x är första koordiate i p och A(p, y är sa då y är adra koordiate i p? Tex. på följade sätt: F (p, x def = z ((z p (x z (eller kortare z p(x z me de adra är besvärligare, A(p, y def = z((z p && (y z && u v ((u p && (v p &&!(u == v!(y u!(y v. Ma ka också skriva detta som A(p, y def = z p (y z && u p v p (!(u == v (y / u (y / v. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 Vad är e graf? E graf består av e mägd oder och e mägd bågar mella odera, tex. såhär: 4 I e riktad graf har varje båge e startod och e slutod, meda ma i e icke riktad graf ite gör skillad mella start- och slutode. E riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] (V som vertex, E som edge där V är e mägd (valigtvis ädlig och ite tom och E V V, dvs. E är e relatio i V. E icke riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] där V är e mägd (ige valigtvis ädlig och ite tom och E { {a, b} : a V, b V }. E icke riktad graf ka förstås (? också beskrivas som e riktad graf där relatioe E är symmetrisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Observera att med igedera av dessa defiitioer ka ma ha flera bågar mella samma oder me og e båge frå e od till samma od. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45
5 Olika slag av relatioer i e mägd X E relatio W i mägde X är reflexiv ifall [x, x] W för alla x X. symmetrisk ifall [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. trasitiv ifall [x, y] W && [y, z] W [x, z] W för alla x, y och z X. e ekvivalesrelatio om W är reflexiv, symmetrisk och trasitiv. atisymmetrisk om [x, y] W && x y [y, x] / W för alla x och y X. e partiell ordig om de är reflexiv, atisymmetrisk och trasitiv. asymmetrisk om [x, y] W [y, x] / W för alla x och y X. total om [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. Ofta skrivar ma xwy istället för [x, y] W, tex. x < y (istället för [x, y] <. Ekvivalesklasser Om X är e mägd (som ite är tom och är e ekvivalesrelatio i X, dvs. är reflexiv, symmetrisk och trasitiv så delar de i mägde X i delmägder Y j, j J som kallas ekvivalesklasser så att j J Y j = X, Y j Y k = om j k, a b a och b hör till samma mägd Y j. Ofta tolkar ma ekvivalesrelatioe så att två elemet som är ekvivaleta är lika så att ma istället för mägde X täker på mägde { Y j : j J } med ekvivalesklassera som elemet. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Fuktioer Om X och Y är mägder så är e fuktio f : X Y e relatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att för varje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y ] f och [x, y ] f så är y = y. Här är X fuktioes defitiosmägd och Y är dess målmägd. Valigtvis skriver ma relatioe så att [x, y] f om och edast om y = f (x, äve om y = xf eller y = x.f kude vara bättre om ma läser frå väster till höger. Med adra ord, e fuktio f frå X till Y är e regel som för varje x X ger som svar ett etydigt elemet y = f (x i Y. Mägde { f : f är e fuktio frå X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioer och surjektioer f a b c d 4 e X Y 4 5 X g a b c d Y Ijektioer, surjektioer och bijektioer E fuktio f : X Y är e ijektio om f (x = f (x x = x för alla x, x X. surjektio om det för varje y Y fis ett x X så att f (x = y. bijektio om de är e ijektio och e surjektio. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Fuktioe f : X Y är e ijektio ( till varje elemet i Y kommer högst e pil me ite e surjektio eftersom det ite fis ågot elemet i X så att f (x = d. Fuktioe g : X Y är e surjektio ( till varje elemet i Y kommer mist e pil me ite e ijektio, eftersom g( = g(5. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45
6 Listor, talföljder och kartesiska produkter som fuktioer E lista [a, b, c, d] ka tolkas som e fuktio f defiierad i mägde {,,, 4} (eller {0,,, } så att f ( = a, f ( = b, f ( = c och f (4 = d. E oädlig talföljd (a =0 = (a 0, a, a,... ka tolkas som e fuktio f defiierad i N 0 så att f ( = a för alla N 0. Om X j är e mägd för varje j J där J är e (aa mägd så ka ma defiiera de kartesiska produkte j J X j som mägde av alla fuktioer f : J j J X j så att f (j X j. f (A och f (B Om f : X Y är e fuktio, A X och B Y så är f (A = { f (x : x A } och f (B = { x X : f (x B }. Sammasatta och iversa fuktioer Om f : X Y och g : Y Z är två fuktioer så är h = g f : X Z fuktioe h(x = g(f (x. Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W är fuktioer så är (h g f = h (g f så att dea fuktio ka skrivas som h g f. Om f : X Y är e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att (g f (x = x och (f g(y = y för alla x X och y Y så är f iverterbar, g är dess ivers och ma skriver ofta g = f. E fuktio f : X Y är iverterbar om och edast om de är e bijektio. Om f : X Y är iverterbar så är (f = f. Observera att f ite är samma sak som fuktioe h(x = f (x som förutsätter att ma i Y ka räka iverser, vilket är G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Ordo eller Stora O: f O(g Om g är e fuktio som är defiierad för alla tillräckligt stora heltal så betyder f O(g att f också är defiierad för alla tillräckligt stora heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f ( C g(, 0, Avädige av dea beteckig betyder också att ma ite är speciellt itresserad av, eller ite exakt vet, vad C och 0 är. Ofta skriver ma f ( = O(g( istället för f O(g, me om ma då istället för O( + O( O( skriver O( + O( = O( så måste ma ise att ma ite ka förkorta bort O(! Det är iget speciellt med att fuktioera här atas vara defiierade bara för (edel heltal och att ma ser vad som häder då. Tex. gäller också x 4 x x +x O(x då x 0. Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Vi skall visa att det räcker med högst log ( jämförelser och aväda e variat av iduktiospricipe. Då = (eller = är det klart att detta är sat. Atag u att det stämmer för alla k och att vi har k + tal som vi skall orda. Atag först att k + = m och dela upp tale i två mägder med m tal som vi ordar (geom att aväda sammalagt högst m log (m jämförelser och seda kombierar vi dehär ordade listora till e lista. Om vi skall kombiera två ordade listor med j och j elemet ka detta göras med högst j + j jämförelser eftersom det stämmer då j ellr j = och aars behövs det e jämförelse för att hitta det största talet och seda återstår det att kombiera två listor med atige j och j eller j och j tal. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45
7 Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Forts. Det sammalagda atalet jämförelser då k + = m blir alltså högst m log (m + m + m = m ( log (m + m m log (m = (k + log (k +. Om k + = m + så delar vi upp mägde i två mägder med m och m + elemet och får på samma sätt att atalet jämförelser blir högst m log (m + (m + log (m + + m + + m = m log (m(m + + log (m + + m m(log (m + log (4 + log (m + + m m( log (m + + log (m + + m m log (m + + log (m + = (k + log (k +. Iduktiossteget fugerar och högst log ( jämförelser behövs! Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Det är klart att om p = (det mista talet eller p = (det största talet så räcker det med (me behövs också jämförelser me hur är det i det allmäa fallet? Vi skall u visa att då p så hör maximimatalet jämförelser till O(, dvs. det fis e kostat C så att atalet jämförelser är högst C och vi bryr oss här ite så mycket om hur stor kostate C blir: Dela i tale i grupper om tex. 5: Iga jämförelser. Bestäm mediaera i dessa gupper: Behövs O( jämförelser. Bestäm mediae av mediaera: Behövs C( 5 + jämförelser om vi ka aväda ett iduktiosatagade. Dela i tale i två grupper, de som är större ä mediaeras media och de som är midre: Behövs O( jämförelser. De större av dessa grupper kommer att iehålla högst ( O( = 0 + O( tal! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Forts. Det tal vi söker fis i ågodera gruppe eller är mediaeras media så vi ka hitta det med C CO( jämförelser. Vi har avät O( + 5 C + C + O( C + CO( = 9 C + CO( + O( 0 = 9 0 C + Ck + k jämförelser där k och k är ågra kostater Eftersom vi för 0k ka först sätta alla tale i storleksordig och seda välja det med storleksordigsummer p så ser vi att om vi väljer C > max{0k log (0k, 0k } så är 9 0 C + Ck + k 9 0 C + 0 C + C = C 0 och iduktiosresoemaget fugerar. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 Atalet elemet i e mägd Två mägder A och B har samma atal elemet (eller kardialiteter, dvs. A = B om det fis e bijektio A B. Mägde A har färre ä eller lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A har färre elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0,,,..., } så är A =. E mägd A sägs vara ädlig om det fis e bijektio A {0,,,..., } för ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! För att dessa defiitioer skall vara föruftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0,,,..., } {0,,,..., m } om och edast om m = och att ifall det fis ijektioer A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45
8 Atalet elemet i ågra oädliga mägder N 0 = Z eftersom f : N 0 Z där f (0 = 0, f (k = k och f (k = k för k är e bijektio. N 0 = Q eftersom vi ka kostruera e bijektio på följade sätt: 0... Om vi seda hoppar över de tal vi reda gått geom får vi följade bijektio: f (0 = 0, f ( =, f ( =, f ( =, f (4 =, f (5 =, f (6 =, f (7 = 4, f (8 =, f (9 = (och ite =, f (0 =, f ( = (och ite =, f ( = 4, osv. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / Summerigsregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så att A B = så är A B = A + B. Av detta följer att om B A så är A \ B = A B. Produktregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A B. Lådpricipe: Ekel me yttig! Ifall m föremål placeras i lådor så måste e låda iehålla mist m föremål! Varför? Om det största atalet föremål som fis i ågo av lådora är k så är k m så att k m och eftersom m defiieras som det mista heltal som är m så måste vi ha k m. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Summerigs eller iklusios-exklusiospricipe Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A + B A B, och mera allmät (förutsatt att alla mägder A j eda är ädliga Ifall k j= A j = k ( r+ r= E allmä form av produktregel j <j <...<j r k i= r. A ji C = { (x, x,..., x k : x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k }, där A =, for varje x A gäller A,x = och så vidare så att för alla x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k gäller A j,x,x,...,x j = j, j k, så är C =... k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Välj r föremål ur e mägd med föremål eller elemet Det fis (åtmistoe två sätt skilja på olika situatioer: Ordat val: Det har betydelse vid vilket val föremålet väljs Ite ordat val: Det har ite ågo betydelse vid vilket val föremålet väljs. Ige upprepig: ett föremål ka väljas bara e gåg Upprepig möjlig: samma föremål ka väljas måga gåger. Atalet olika sätt på vilket detta ka göras blir därför: Ige upprepig Upprepig möjlig Ordat (. (.. ( r + ( r + r Ite ordat r r ( m m! Här är =. Upprepig ka både tolkas så att ma väljer ett j j! (m j! föremål, oterar vilket det är, och sätter tillbaka det, och så att elemete i mägde är de olika slag av föremål som ma ka välja. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45
9 Plocka bollar ur e låda eller sätta bollar i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe där ma väljer r föremål ur e mägd med föremål (med ett ordat eller ite ordat val, med upprepigar eller uta är att täka på föremåle i mägde, ite som bollar i e låda, uta som lådor i vilka ma väljer att placera ett föremål, tex. e boll. I det ordade fallet ka dessa bollar vara umrerade eller på aat sätt idetifierbara och i det ite ordade fallet är de idetiska och ka ite skiljas åt. Ett val uta upprepigar iebär då att i varje låda ka sättas högst e boll och ett val med upprepigar att flera bollar ka sättas i samma låda. Ordat val av r föremål frå e mägd med föremål Om varje föremål ka väljas bara e gåg ka det första väljas på olika sätt, det adra på olika sätt och så vidare så att föremål ummer r ka väljas på r + olika sätt. Geom att aväda produktregel ser vi att atalet olika möjligheter är! ( (... ( r + eller ( r!. Om varje föremål ka väljas flera gåger (dvs. de tas ite bort ur mägde eller så är mägdes elemet typer av föremål som tas frå ågot aat ställe då fis det alterativ vid varje val så att det följer av produktregel att atalet möjligheter är r. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar Låt b(, r vara detta atal av icke-ordade val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar. När vi har gjort ett sådat val får vi ett ordat val geom att orda de valda r föremåle. Detta ka göras på r! olika sätt så det följer av produktpricipe att atalet sätt göra att ett ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar är b(, r r!. Eftersom vi vet att detta atal är (... ( r + =! ( r! så får vi b(, r =! r! ( r! = (. r Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, I Täk på situatioe så att vi har ett obegräsat atal av olika slags föremål och vi skall välja r stycke. Om vi har gjort ett val ka situatioe beskrivas tex. såhär: vilket skall tolkas som att vi valt stycke av typ, av typ, 0 av typ, av typ 4, av typ 5 och av typ 6 så att i detta fall är = 6 och r = =. Varje val motsvaras alltså att vi placerar r stycke föremål och stycke skiljetecke i e rad vilket alltså betyder att väljer de r positioer där vi placerar föremåle (så att reste får skiljetecke, eller tvärtom. Eftersom detta är ett oordat val uta upprepigar blir atalet alterativ ( ( + r + r =. r G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45
10 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II Låt f (r, vara atalet sätt på vilka ma ka göra ett icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar. Ett sådat val är detsamma som att placera r föremål i ordade (dvs. ite idetiska lådor. Om =, så ka detta göras på bara ett sätt så att f (r, = för alla r 0. Om > ka vi sätta j = 0,,..., r föremål i de första låda och de återståede r j föremåle i de återståede lådora. Eftersom vi får olika resultat för varje val värde på j så får vi rekursiosekvatioe f (r, = r j=0 f (r j, k = = r j r f (k,. I syerhet betyder detta att f (r, = r + och med hjälp av formel för summa av e aritmetisk serie får vi f (r, = (r+(r+. Nu gissar vi att f (r, = ( ( r+ = r+ r så vi skall visa att ( r + r ( k + =, r 0,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 k=0 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II, forts. Dea likhet gäller säkert för r = 0 och varje. Atag att de gäller för r = s och. Då får vi är r = s + och s+ ( ( k + s + + s ( k + = + k=0 k=0 ( ( s + + s + = + (s +... (s + (s +... (s + = + (! (! (s +... (s + ( + s + = (! ( (s + (s +... (s + ( + s + + = =. (! Iduktiossteget fugerar och påståedet följer med iduktiospricipe. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Atalet fuktioer A B Atag A = m och B =. E fuktio f : A B är ett ordat val med upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet fuktioer: A B är därför m (och därför är det föruftigt att betecka mägde av fuktioer A B med B A. E ijektio: A B är ett ordat val uta upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet ijektioer A B är därför! (... ( m + = då m. ( m! ( Atalet surjektioer A B är ( r r m. r r=0 Varför? Atalet surjektioer är totala atalet fuktioer mius atalet fuktioer till e strikt delmägd av B och detta seare atal ka ma räka med hjälp av iklusios-exklusiospricipe vilket efter diverse räkigar ger formel ova. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Atalet surjektioer A B då A = m och B = Atag att B = {y, y,..., y m }. Låt F = B A vara mägde av alla fuktioer A B. Låt F j = (B \ {y j } A F vara mägde av alla fuktioer A : B \ {y j }, dvs. alla fuktioer f F så att f (x y j för alla x A. Detta iebär att mägde av surjektioer är F \ j= F j. Nu är F j F j... F jk mägde (B \ {y j, y j,... y jk } A av alla fuktioer A B som ite får ågot av värdea y j,..., y jk. Om j <... < j k så är F j F j... F jk = ( k m. Eftersom idexe j <... < j k ka väljas på ( k olika sätt så ka vi med hjälp av iklusios-exklusiospricipe dra slutsatse att atalet surjektioer: A B är ( ( m ( ( k+ k m = k k= ( ( r r m. r Observera att då m < så fis det iga surjektioer: A B så att r=0 ( r ( r r m = 0 då < m, vilket kaske ite är helt uppebart. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45 r=0
11 Hur måga delmägder av e mägd med m elemet fis det? Ett sätt att besvara dea fråga är följade: Om A är e mägd med m elemet så bestämmer varje delmägd B A e fuktio f B : A {0, } så att f B (x = då x B och f B (x = 0 då x / B. På motsvarade sätt bestämmer vare fuktio f : A {0, } e delmägd B f A geom defiitioe B f = { x A : f (x = }. Def fis alltså e bijektio frå potesmägde P(A till mägde {0, } A av alla fuktioer: A {0, }. Därför är atalet delmägder i A om A iehåller m elemet. P(A = {0, } A = A = m, G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Multiomialtal ( =,,..., k!!!... k! = k. (,,..., k är atalet sätt på vilka e mägd med elemet ka delas i k disjukta delmägder med,,... och k elemet. (,,..., k är atalet sätt på vilka ma ka orda föremål av typ y, av typ y och så vidare, då = k och föremål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A är e mägd med elemet och B = {y,..., y k } är e mägd med k elemet och,,..., k är icke-egativa tal så att k = så då är (,,..., k atalet fuktioer f : A B så att { x A : f (x = y j } = j. Om 0 och k så är (x x k = k = j 0 (,,..., k x... x k k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett exempel (a Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om alla kort i rade skall ha samma färg? (b Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om rade skall iehålla exakt e kekt? (a Färge ka väljas på 4 olika sätt och seda skall ma göra ett ordat val av 4 kort blad och detta ka göras på 0 olika sätt så atalet alterativ blir sammalagt 4 0 = (b Det fis 4 olika kektar att välja på och de ka placeras på 4 olika ställe, så sammalagt ger detta 6 olika alterativ. Seda skall ma göra ett ordat val av de återståede 48 korte och detta ka göras på olika sätt så det sammalagda atalet alterativ blir = G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett ordigsproblem 8 persoer har delats i i tre lika stora grupper. Alla 8 persoer skall u i tur och ordig utföra ett uppdrag (tex. lösa e uppgift i diskret matematik och villkoret är att vid varje tidpukt skall skilladera mella atale persoer i varje grupp som reda utfört uppdraget till sia absolutbelopp vara högst. På hur måga sätt ka ordigsföljde då väljas (är gruppidelig är give? Ett aat sätt att formulera problemet är att ma bildar 6 grupper, som alla iehåller exakt e medlem frå var och e av de ursprugliga gruppera, och seda sätter ma dessa midre grupper och medlemmara i dem i ordigsföljd. Eller så att medlemmara i de urspruliga gruppera sätts i ordigsföljd och persoera med samma ordigsummer bildar e grupp som seda i si tur ordas. Medlemmara i de tre ursprugliga gruppera ka ordas på 6! 6! 6! olika sätt och med hjälp av dessa ordigar utses medlemmar till de midre gruppera som i si tur ka ordas var och e på! olika sätt så att det sammalagd atalet alterativ blir 6! 6! 6! (! 6 = G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45
12 På hur måga sätt ka ma placera m idetiska bollar i idetiska lådor? Låt A(m, vara detta atal. Eftersom vi ka placera m 0 bollar i låda på bara ett sätt så har vi A(m, = då m 0. Om m = 0 förblir alla lådor tomma och det ger bara ett alterativ, dvs. A(0, = för alla. Atag u att m och. Låt k vara atalet bollar i de låda (eller de lådor som iehåller mist bollar. Olika värde på k ger upphov till olika fördeligar på bollara i lådora. Fördelige av bollara i lådora ka u göras så att vi först sätter k bollar i varje låda och seda sätter de återståede m k bollara i de lådor som ka iehålla flera ä k bollar. Detta ka göras på A(m k, olika sätt. Eftersom vi måste ha m k 0, dvs. k m, så får vi m A(m, = A(m k,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs merArtificiell intelligens Probabilistisk logik
Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs merInklusion och exklusion Dennie G 2003
Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras
Läs merFöreläsning F3 Patrik Eriksson 2000
Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merInduktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.
Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).
Läs merInledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merLösningsförslag 081106
Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merFöreläsning 10: Kombinatorik
DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs mera utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation
I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merAllmänna avtalsvillkor för konsument
Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merKombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015
Kombiatori Torbjör Tambour mars 05 Kombiatori är de del av matematie som sysslar med frågor av type På hur måga sätt a ma? Några gasa typisa exempel är följade: På hur måga olia sätt a åtta persoer bilda
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merF4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik
03-0-4 F4 Matematirep Summatece Summatecet Potesräig Logaritmer Kombiatori Säg att vi har styce tal x,, x Summa av dessa tal (alltså x + + x ) srivs ortfattat med hjälp av summatece: x i i summa x i då
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merApplikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.
Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.
Läs merSveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?
SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merDatabaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering
Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merWebprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:
Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merSAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs mer( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T
Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta
Läs merÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.
ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merDesign mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator
Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merMS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I
MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober
Läs mer= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0
TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10
Läs merDatabaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering
Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 5/11 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10 2 8
Läs merTNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter
TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs merFör att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;
MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft
Läs merOperativsystem - Baklås
Operativsystem - Baklås Mats Björkma 2017-02-01 Lärademål Vad är baklås? Villkor för baklås Strategier för att hatera baklås Operativsystem, Mats Björkma, MDH 2 Defiitio av baklås (boke 6.2) A set of processes
Läs merFamilje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3
Äkteskap& samboförhållade Huvudregel eligt sambolage är att bostad och bohag, som skaffats för Är i ekoomiskt jämställda, det vill säga har ugefär lika stora skulder eller tillgågar, har det kaske ite
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merÅteranvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition
Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.
MATEMATISK INDUKTION För att bevisa att ett påståede P() är sat för alla heltal 0 aväder vi oftast iduktiosbevis Iduktiossatse Låt P() vara ett påståede vars saigsvärde beror av heltalet 0 där 0 är ett
Läs merKMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsig 2 Algoritmaalys TDDC70/91: DALG Utskriftsversio av föreläsig i Datastrukturer och algoritmer 5 september 2013 Tommy Färqvist, IDA, Liköpigs uiversitet 2.1 Iehåll Iehåll 1 Aalys av värsta fallet
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs mer