ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.
|
|
- Anita Viklund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst e pukt00 stisfier ekvtioe 0 Amärkig. Ige pukt stisfierr ekvtioe. Eempel. Rit cirkel 4 4 Vi kvdrtkompletterr Om vi jämför med cirkels ekvtioe ser vi tt 9 eller y 3 Alltså - är cetrum och =3 är cirkels rdie. =3 - - O Ellipse med cetrum i origo 00 och hlvlr hr ekvtioe. v 8
2 Amärkig: Om ellipses cetrum ligger i pukte pq då hr ellipse följde ekvtio. Amärkig. Edst e pukt00 stisfier ekvtioe Amärkig 3. Ige pukt stisfierr ekvtioe Hyperbler:. h r skärigspukter med -el 0 och. hr skärigspukter med y-el Amärkig. Ekvtioe 0. 0 k fktorisers och skrivs s somm och därmed pukter som stisfierr ekvtioe ligger på två lijer l 0 0. Eempel. Rit hyperbel 8 8. Lösig: För tt bestämm och b skriver vi ekvtioe på forme Vi delr ekvtioe 8 8 medd 8 och får.. v 8
3 Därför är hyperbelss symptoter. Vi ritr symptoter och med hjälp v e rektgel se bilde skisserr vi hyperbel Prbler där 0 Eempel 3. och där 00 ======= ========== ========== ========== ========= ========== ==== MÄNGDER Stdrdd tlmägder: N= {0 3.} mägde v ll turlig tl I ågr böcker N={ 3 Z= { } mägde v ll hel tl m Q= { där m är hel tl och 0 } mägde v ll rtioell tl R mägde v ll reell tl mägde v ll komple tl Edimesioell Itervll : 3 v 8
4 b Öppet itervll = mägde v reell tl såd tt < < b [ b hlvöppet itervll = mägde v reell tl såd tt < b b] hlvöppet itervll = mägde v reell tl såd tt < b [ b] Slutet itervll= mägde v reell tl såd tt b GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OH BETEKNINGAR Begrepp "mägd" och "elemet" är grudläggde begrepp i mtemtike och därmed begrepp "mägd" och "elemet" ite defiiers. Eempel 4. Låt A vr mägde v ll heltl som är större är 3 och midre ä 8. A består v elemet och 7. Vi beteckr dett på följde sätt A= { }. Därmed 4 A som utläses 4 tillhör A eller 4 är ett elemet i mägde A Vi k skriv tt 5 A 6 A och 7 A me t e 5 A 5 tillhör ite A Defiitio. Mägde ut elemet { } klls de tomm mägde och betecks. Defiitio. Mägde A är e delmägd v mägde B om vrje elemet i A är också elemet i B. Vi beteckr A B utläses A är e delmägd v B Alltså : A B om A B. Defiitio 3. Två mägder A och B är lik om vrje elemet som tillhör A tillhör också B och vrje elemet som tillhör B tillhör också A Alltså: A = B om och edst om A B och B A. Därmed A = B är ekvivlet med [ A B och B A ] 4 v 8
5 Amärkig: Om A B och A B säger vi tt A är e äkt delmägd v B och skriver A B E mägd defiiers v de elemet som mägde iehåller. Det sätt på vilket vi ger mägdes elemet eller om elemet uppreps spelr ite roll. Därför t e {3}={33}= {3} Vi ser tt ll tre mägder består v elemet och 3. Upprepig och ordig spelr ite roll i mägdes defiitio. E mägd defiiers oftst som mägde v ll elemet som stisfierr ett eller fler villkor och ligger i e red käd mägd: A = { G : P } utläses A är mägde v ll som tillhör G och som stisfierr villkoret P. E mägd defiiers v de elemet som mägde iehåller. Det sätt på vilket vi ger mägdes elemet eller om elemet uppreps spelr ite roll. Därför t e {3}={33}= {3} Vi ser tt ll tre mägder består v elemet och 3. Upprepig och ordig spelr ite roll i mägdes defiitio. Eempel 5. Låt Z beteck mägde v ll heltl. Age ll elemet för följde mägder A = { Z : 4} b B = { Z : = 5} c = { Z : = 5} d D = { Z : = 3} Svr: A={ } b B={-5 5} c = Ø d D= Ø Eempel 6. Låt R beteck mägde v ll reell tl. Age ll elemet för följde mägder A = { R : = 5} b B = { R : = 3} c A = { R : = 5} d 5 v 8
6 Svr: A={ 5 5 } b B={3/} c = Ø Eempel 7. Rit följde mägd i y-plet A= {y Svr: R : y 9 } Eempel 8. Rit följde mägd i y-plet D= { y R : y < och y 0 } 4 MÄNGDOPERATIONER.. Uioe mell två mägder A och B är mägde v ll elemet som fis i A eller B. Uioe betecks A B utläses A uio B. A B = { : A eller B}. Sittet skärige v två mägder A och B är mägde v ll elemet som fis i både A och B. Sittet betecks A B utläses A sitt B A B = { : A och B} 3. A och B är disjukt mägder om de hr ig gemesmm elemet 6 v 8
7 dvs A B = Ø där Ø beteckr de tomm mägde. 4. Differese mell två mägder A och B är mägde v ll elemet som ligger i A me ite i B. A \ B = { : A och B}. 6. Symmetrisk differes. \ \ 7. Oftst betrktr vi mägdopertioer mell delmägder till e käd mägd grudmägd Om G är e grudmägd t e R och A e delmägd till G då defiiers komplemetet till A som mägde v ll elemet i G som ite ligger i A. komplemetet betecks A A = { G : A} PUNKTMÄNGDER I R Defiitio 4. R defiiers som mägde v ll reell -tipplr : R def = { K där ll koorditer k är reell tl}. Elemet i R dvs -tipplr K kllr vi pukter. 7 v 8
8 Låt M vr e delmägd till R. Vi väder fäljde beteckigr: P M beteckr tt pukte P tillhör mägde M P ligger i M Q M beteckr tt pukte Q ite tillhör mägde M Q ligger ite i M. Pukter och vektorer. Om A K och B b b Kb är två pukter i R och och eedpukt i B då gäller AB = b b K b. Positiosvektor =ortvektor till e pukt A K är vektor OA = 0 0 K 0 = K {hr smm koorditer som pukte A}. AB vektor med strtpukt i A Därför k e -tippel K betrkts som både e pukt eller e vektor { dvs pukte A K eller tillhörde ortvektor vektor OA = K. Avstådet mell A och B som betecks d A B är lik med lägde v vektor AB : d A B = AB = b b L b Am. Om vektorlägd defiiers på ovståede stdrd sätt klls R för euklidisk vektorrum. Trigelolikhete: d A d A B d B är viktig och k ekelt beviss med hjälp v elemetär lgebr. Öppet och slutet klut. Defiitio 5. Låt c c K c vr e pukt i R och r>0 ett reellt tl. Ett öppet klot i R består v ll pukter X K som stisfierr d X < r. Vi kllr för klotets medelpukt eller cetrum och r för dess rdie. Alltså det öpp klotet Kö r med cetrum och rdie r defiiers v 8 v 8
9 9 v 8 } : { r X d R X r Kö < = eller } : { r r Kö < = L K som är ekvivlet med } : { r r Kö < = L K Defiitio 6. Ett slutet klot r Ks med cetrum och rdie r defiiers v } : { r X d R X r Ks = Amärkig: Ett klot eligt ovståede defiito blir ett itervll i det edimesioell rummet och e cirkel i det tvådimesioell rummet T e edimesioell slut klotet med cetrum i pukte =5 och rdie r= är 6} 4 : { } 5 : { } 5 : { } : { = = = = R R R d R r K dvs klotet är fktiskt itervllet [46] Sfär. Defiitio 7. E sfär r S i R med cetrum och rdie r defiiers v } : { r X d R X r S = = Eempel 9. Bestäm ekvtioe som beskriver 5-dimesioell sfäre med cetrum och rdie r=3. Lösig: Om 5 X K är e pukt på sfäre då r r r X d = = = L L I vårt fll blir sfäres ekvtio = Begräsde och obegräsde mägder.
10 Defiitio 8. E mägd M i d O P < c för ll P M. R är begräsd om det fis ett tl c sådt tt Amärkig Vi k skriv villkoret på ekvivlet sätt : OP < c. Amärkig. Defiitioe k geometriskt tolks på följde sätt: Mägde M i R är begräsd. Det fis mist ett klot med cetrum i origo som iehåller hel M. Eempel 0. Bestäm om följde mägder i R är begräsde eller obegräsde. M = { y R : y = } e rät lije y b M = { y R : } ellipse med cetrum i origo och hlvlr och 4 Svr: Mägde M är obegräsd. Förklrig: Avstådet frå e pukt y i M til origo är d P O = y = y = är obegräsd vstådet d P O om Svr: b Mägde M är begräsd. Hel ellipse ligger i e cirkel t e i cirkel med rdie r= 3 och cetrum i origo. Eempel. Avgör om följde mägd är begräsd b 0 0 v 8
11 Svr Mägde A är begräsd. Mägde ligger t e i cirkel 5 b Mägde är obegräsd. Ovsett hur stor cirkel ritr vi fis det lltid pukter utför cirkel. RANDPUNKTER. INRE OH YTTRE PUNKTER Vi betrktr e pukt P i R och e mägd M som är äkt delmägd v R. Defiitio 9.. E pukt P i R klls e rdpukt till M om vrje öppet klot med cetrum i pukte P ovsett hur litet klotets rdie är iehåller mist e puk frå M och mist e pukt frå komplemetet M.. E pukt P i R klls e ire pukt till M om det fis mist ett öppet klot med cetrum i P vrs ll pukter ligger i M.. E pukt P i R klls e yttre pukt till M om det fis mist ett öppet klot med cetrum i P vrs ll pukter ligger i M. v 8
12 I ovståede figur är R e rdpukt till M. P är e ire pukt med Q är e yttre pukt till M Defiitio 0. Mägde v ll rdpukte till M klls rde v M och betecks oftst M. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER Defiitio.. E mägd M i R är slute om mägdes ALLA gräspukter också tillhör mägde.. E mägd är öppe om INGEN mägdes gräspukt tillhör mägde. 3. E mägd är vrke öppe eller slute om ågr me ite ll gräspukter tillhör mägde. Lägg märke till tt eligt Defiitioe vi hr följde påståede: P. E öppe mägd iehåller edst irepukter ige gräspukt P. M är öppe Komplemetet M är slute P3. M är slute Komplemetet M är öppe OMGIVNING TIL EN PUNKT Defiitio. Vi säger tt mägde M är e omgivig till pukte P om M iehåller ett öppet klot med cetrum i P. Eempel. Beskriv rdpukter evetuell irepukter och vgör om följde mägder i R är öpp slut eller vrke öpp eller slut. y M = { y R : } 4 y b M = { y R : < } 4 v 8
13 y c M 3 = { y R : = } 4 y d M 4 = { y R : 4 > 0} y e M 5 = { y R : < 4 0} y f M 6 = { y R : 0} 4 Lösig Rde M består v ll pukter i R som ligger på ellipse y = och 4 ll ligger i M se Defiitioe v M. y Alltså M = { y R : = } 4 Ire pukter stisfierr y < 4. Mägde M är slute eftersom de iehåller ll si rdpukter. y b M = { y R : = } smm som i -fråg me de här gåge ige 4 rdpukt tillhör M. Därför är M e öppe mägd. All pukter i M är ire pukter. c All pukter på ellipse M 3 är rdpukte. Mägde skr irepukter. Rde y M 3 = { y R : = } = M 3. 4 M 3 är e slute mägd. 3 v 8
14 d Rde består v sträck AB se figure ed och de dele v ellipse som ligger till höger om y-el. Sträck AB tillhör ite M 4 med hlvellips tillhör M 4. Mägde är vrke öppe eller slute. Ire pukter är de pukter som defiiers v { y R : 4 y < > 0} e Mägde är vrke öppe eller slute. Se edståede figur. f M 6 är e slute mägd. se figure ed. 4 v 8
15 KOMPAKTA MÄNGDER Defiitio 3. E mägd som är både begräsd och slute klls kompkt. Eempel 3. Bestäm om följde mägder i plet R är kompkt b c d Svr: J. Mägde är kompkt eftersom de är begräsd och slute. b J. Mägde är kompkt eftersom de är begräsd och slute. c Nej. Mägde är INTE kompkt eftersom de är INTE slute. d Nej. Mägde är INTE kompkt eftersom de är INTE begräsd. DEFINITIONSMÄNGD FÖR EN FUNKTION AV FLERA VARIABLER I edståede uppgifter väder vi kuskp om er för elemetär evribelfuktioer: i E rtioell fuktio är defiierd om 0 ii Logritm l är defiierd om 0. iii Fuktioe är defiierd om 0. iv Fuktioer rcsi och rccos är defiierde om Eempel 4. Bestäm och skisser rit störst möjlig D till följde fuktioer. Bestäm också om e är e slute öppe eller vrke slute eller öppe mägd. b 9 c z l 4 d z l 4 e z y l v 8
16 f z rcsi y Lösig: Fuktioe är defiierd om 0 d vs. e består v ll pukte i plet R förutom de som ligger på lije y=. Gräse till e består v pukter som ligger på lije. Ige gräspukt tillhör D och därför är D är e öppe mägd. b Fuktioe 9 är defiierd om 9 0 d vs 9. e består v ll pukter som ligger på cirkelskiv 9 D D 3 Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 9 tillhör också D. All gräspukte tillhör D D är e slute mägd. c Fuktioe z l 4 är defiierd om 4 0 d vs 4. 6 v 8
17 e består v ll ire pukter på cirkelskiv. Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 4 tillhör INTE D. INGEN gräspukt tillhör D D är e öppe mägd. d Fuktioe z l 4 är defiierd om 4 0 d vs 4. e består v ll yttre pukter till cirkelskiv 4 Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 4 tillhör INTE D. INGEN gräspukt tillhör D D är e öppe mägd. e Fuktioe z y l 4 4 är defiierd om två villkor är uppfylld Villkor. y 0 dvs y 0 Pukter som ligger på lije y=0 uppfyller också villkor och Villkor v 8
18 Gräspukter på ellipsskiv uppfyller INTE villkor Båd villkor är uppfylld i övre dele v ellipse. Någr gräspukter tillhör D me ite ll. Någr gräspukter tillhör D me ite ll D är e vrke öppe eller slute mägd. f z rcsi y defiierd om två villkor är uppfylld Fuktioe z rcsi y är Villkor. y och Villkor Gräspukter för det här villkoret består v de pukter som ligger på hyperbel. Hyperbel delr plet i tre delr och olikhete är uppfylld på själv hyperbel och i de del som iehåller 00 som vi k ise geom tt test tre pukter t e och -30. Båd villkor är uppfylld mell lijer och mell två grer v hyperbel. All gräspukte tillhör D D är e slute mägd. 8 v 8
Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs mersom är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi
Läs mer1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merKompletterande material till kursen Matematisk analys 3
Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär
Läs merMatte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor
Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:
Läs merRättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:
TENTAMEN Kursummer: HF00 Mtemtik för bsår I Momet: TENA /TEN Progrm: Tekiskt bsår Rättde lärre: Nicls Hjelm & Sr Sebelius Emitor: Nicls Hjelm Dtum: Tid: 08-06-0 :00-7:00 Hjälpmedel: Formelsmlig: ISBN 978-9-7-779-8
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs mer16.3. Projektion och Spegling
6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.
Läs mer5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN
48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på
Läs merc k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om
RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså
Läs merI den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merFORMELBLAD cos( ) cos cos. 21. sin( ) sin cos. 23. tan TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR. Pytagoras sats:
TRIGONOMETRISKA FORMLER... si 0 si 6 FORMELBLAD HF700, Bggproduktio 6. si cos 7. si45 si 4 si( ) t( ), cos( ) cos( ) cot( ) si( ) 8. cos( ) coscos sisi si 60 si 4. 9. cos( ) coscos sisi cos 0 cos 6 5.
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.
MATEMATISK INDUKTION För att bevisa att ett påståede P() är sat för alla heltal 0 aväder vi oftast iduktiosbevis Iduktiossatse Låt P() vara ett påståede vars saigsvärde beror av heltalet 0 där 0 är ett
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr
Läs mer11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET
498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De
Läs merGeometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260
FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik F7 eflektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: eflektio och rytig rytig
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs mervara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr
Läs mer1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio
Läs mer1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merINTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merär ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer
Läs merTaylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR ylors ormelör evribeluktioer AYLORS FOREL FÖR FUNKIONER AV EN VARIABEL ylors ormel väds bl vid i umerisk beräkigr ii optimerig och iii härledigr iom olik tekisk och mtemtisk
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merInduktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.
Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merTILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).
rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs
Läs merAnalysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse
VK Alyses gruder Toms Ekholm Nikls Erikse Mtemtisk istitutioe, 200 Fisiert v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse Grekisk lfbetet lf A α iot I ι rho P ρ bet B β kpp K κ sigm Σ σ gmm Γ γ lmbd Λ λ tu T τ delt
Läs mera VEKTORRUMMET R, - dimesioella etorer.. STANDARDBASEN i R. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER LINJÄRT HÖLJE (LINJÄRT SPAN) -----------------------------------------------------------------
Läs merFÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis
FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merInledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mern i 0 i x x i för k 1, 2,, n i 1 Något om några Grundbegrepp och Mathematica q i 1 q q 2 q n 1 qn 1 x a a,b n n k k n k n i 0 1 q
HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic Något om ågr Grudegrepp och Mthemtic Bertil Nilsso 08-08-5 p q p, q, q 0 i0 q i q q q q q k k k i0 i i för k,,,, siπ 0 \ i i c c i i, 0 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN
Läs merIntegraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi
Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl.
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merCartesisk produkt. Multiplikationsprincipen Ï Ï Ï
Kombiatorik Kombiatorik hadlar oftast om att räka hur måga arragemag det fis av e viss typ. Sådaa kalkyler uderlättas om ma ka hitta relevata represetatioer av de ibladade arragemage ågot som illustreras
Läs merApproximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.
Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR MINSTAKVADRATMETODEN Mistvdrtetode. INLEDNING frå lijär lger) Låt vr ett olösrt sste dvs. ett sste so sr lösig). Vi sriv ssteet på fore A = ss ) där...... A, och................
Läs merTentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/
Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merFORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C
FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator
Läs merf(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.
Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V
Läs merTolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n
Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)
Läs merNågot om funktionsföljder/funktionsserier
mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merKontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus
Kotrollsrivig till Disret Matemati SF60, för CINTE, vt 09 Eamiator: Armi Halilovic Datum: To 09-04-5 Versio B Resultat: Σ p P/F Etra Bous Iga hjälpmedel tillåta Mist 8 poäg ger godät Godäd KS r medför
Läs merFöljande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Besrivade statisti BESKRIVANDE STATISTIK. GRUNDBEGREPP Följade begrepp aväds ofta vid besrivig av ett statistist material: LÄGESMÅTT (medelvärde, media och typvärde): Låt
Läs merSannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad
Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definiion. En irkel är mängden v de punker i plne vrs vsånd ill en given punk är
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs mer1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x
BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merFORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D
(7) FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS OH D LGER Rgl dgdsktio ( + ) = + + ( ) = + (kdigsgl) ( + )( ) = (kojugtgl) ( + ) = + + + ( ) = + + = ( + )( + = ( )( + + Ektio + p+ q = 0 ) ) ött p p p =
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs merGeometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260
FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik eflektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: eflektio och rytig rytig
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs mer