Räkning med potensserier

Transkript

1 Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P k ( om < ) k P k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som oädliga polyom, kallas potesserier. Det trevliga med dem är att de låter sig behadlas som valiga polyom (för de för vilka de kovergerar). Ma räkar aldrig ut alla termer uta ebart så måga som behövs, ugefär på samma sätt som ma gör med icke-ratioella tal som π och e För att bestämma produkte dem emella med ett fel som är midre ä, säg,., så räcker det att käa till tale med två decimaler ebart och multiplicera.4.7 felet ka ite vara större ä <.. (Hur jag fick detta? π e.4.7 (.4 + δ)(.7 + γ).4.7.4γ +.7δ + δγ och om u de två första decimalera är korrekta så måste δ och γ vara.5, ocheftersom.4 < 4,.7 <, så...). E lite obekvämlighet: det är svårt att direkt frå börja se eakt hur måga värdesiffror ma måste ha i uträkigara vill ma, t.e. ha a b med tre värdesiffror, och a.75..., b så krävs att ma käer a och b med hela se värdesiffror, meda om a.75, så hade det räckt med fyra! Detsamma gäller äve räkigmedserier mafårvarabereddatttamedfler termer i fall de som ma startar med visar sig otillräckliga. (Egetlige är det edast i öv , där ma behöver ta häsy till all de oädligt måga termera överallt aars klarar ma sig med begreppet polyom. Me för varje fuktio fis det Maclauripolyom av grad, Maclauripolyom av grad, Maclauripolyom av grad, etc. och det gäller att välja ut ett av dessa. Det är då bekvämt att betrakta de allihop som delsummor av e eda oädlig serie.) Illustratio av hur cos approimeras allt bättre är ma tar Maclauripolyom av allt större gradtal: Dels blir oggrahete större på varje fit itervall (här <<), dels utvidgar sig det itervall där approimatioe är acceptabel cos P ( ) k k k (k)! P ( ) k k k (k)!

2 Lösigar till kap.9 etr. räkigara eda: Täk på att summa/produkte av två begräsade fuktioer också är begräsad.(gäller ite t.e. kvote!) För att miska skrivarbetet ågot samt få bättre överblick över uttrycke, skriver jag edast i stället för (), (t), etc, i de fall då det ite är ågot mera komplicerat uttryck som skall i som argumet till - fuktioera. När ma fått ihop litet mer erfarehet brukar ma ersätta ()-termera med.... Vad som skall stå går att utläsa av de föregåede termera: betyder + + () () etc. Lämar ma etra mycket plats för... så ka ma ju skriva till flera termer seare, om det skulle behövas! Derivera och sätta i, som i häftets lösig till 9., ka ma visserlige göra, me det gör ma sälla i praktike! Ofta skriver ma om fuktioe och tillämpar stadardutveckligara ([P, sid.78]), d.v.s. de metod som är tilltäkt för öv (Ma åberopar sig då egetlige på [P,sid.8,sats ] får ma på ågot sätt e utvecklig som har samma form som Taylors formel, så måste det vara Taylorutvecklige, det fis ige aa möjlighet!) Just här blir viste kaske ite så stor, me låt oss öva på det ya Titta gära igeom lösigara till 9. och 9. först. (I lös. till 9. skall ersättas med.) När ma vill utveckla krig, säg,, meda de tillgägliga formlera gäller utvecklig krig, så sätter ma lämplige +t, såatt motsvarar t och utvecklar det resulterade uttrycket krig t. De efterfrågade polyome är det som återstår är -terme tas bort och substitueras tillbaka: p + [ +t] q +(+t) p (+t + t /) +t + t / / Obs. att t + t /, är t. Därför är t + t / (t), är t à + t + t / + t + t / + t + t /! + t + 4 t + t, med 8 8 t +(+t/) e [ +t] e +t e e t e +t + t +! t + t [ +t] + t / à + t 8 t + t! 9. När det gäller Taylorutvecklig av kvoter av fuktioer med käda utveckligar, så är og följade beräkigsgåg effektivast: Asätt ta c + c + c + Vet att si /+ 5, cos /+ 4 ta si cos c + c + c + /+ 4 /+ 5 c + c +(c c /) + /+ 5 Som för ädliga polyom, måste termera överesstämma gradtal för gradtal i e såda likhet. Vi får successivt c,c,c Överraskad att såväl c som c blir? Ite alls! Udda fuktioer (som ta och si ) har alltid edast udda poteser i si Taylorutvecklig, meda jäma (som cos ) har edast jäma poteser. Det kude vi tagit häsy till reda i asatse och föreklat jobbet ytterligare!

3 9.7 I aalogi till härledige av arcta utvecklige krig, [P,sid.79] (Obs. att utvecklige av + är väldigt ekel att mias [P,sid.8,lägst er].) arcta arcta ( ) Z +t e +s Z t ds +( +s) Z t D arcta e de " +( s+s /) s + s / + s + s / + s + s / +s s /+s s + s 4 /4+s Z t +s + s /+s ds t + t + t + t Tag i formel (9) i [P,sid.78], och flytta över på väster sida, så fås : arcta +θ. <., är. 9.4 Om vi följer tipset, så får vi f () ta, f (), f () +ta, f (), f () ta +ta ta +ta, f (), f () +ta +ta +ta θ π/4, f ta θ (θ) + f () f (θ) ds +( s + s /) # 9.5 Tag i formel (4) i [P,sid.77], e gåg för att uttrycka e ochegåg före, d.v.s. sätt i i stället för överallt. (Obs. att ma då i regel har olika θ!) e + + /+ /+e θ 4 /4 e + / /+e θ 4 /4 e + e + eθ + e θ 4 4 varav olikhete följer eftersom (Atige är, varvid θ θ, eller <, varvid θ θ ) e θ + e θ e θ + e θ e + e e Tag i formel (7) i [P,sid.78]: si Dividera båda sidor med ochavädatt cos θ. Z si d Z cos θ + 5 5! d Hur skall ma veta hur måga termer ma skall ta med? Z d Att böckeras lösigar iehåller precis så måga som behövs iebär ite att matematiker ser det reda frå börja! Läs i [P,sid.87, lägst er]. I vårt fall verkar det behövas fler termer / >. och vi ville ju ha 4 korrekta decimaler. Så det gäller att läma gott om fri plats (...) på pappret och fylla på efterhad om det skulle behövas! si cos θ

4 Z si d rest rest, med 54 7 Z Z rest cos θ d 9 d (Jag försöker visa att feluppskattige ka göras för had.) Alltså: itegrale är.9488 ± 4 eheter i de sista (sjude) decimale, vilket ger oss 5 korrekta decimaler: l, är à e cos + + +! [boke sid.8 lägst er!] + + si arcta Vid det här laget börjar det väl bli oitressat att ideera alla : det skall väl ite behöva bli ågot missförståd om vi låter betecka olika begräsade fuktioer i e och samma räkig: e si (si ) (si ) (si )4 [si, är ]+(si) (si) ) e cos cos +g (), där g () e +g ()+ g () + g () à e ! e Hur måga termer skall ma ta med är ma räkar ut gräsvärde? För att avgöra gräsvärdet av e kvot är, räcker det att få fram eakt lägstagradstermera för täljare och ämare a m /b m, om m f () a m m + a m+ m g () b + b f () g () a m m ( + ) b ( + ), om m> iget gräsvärde, om m< 4

5 9.9b l +si l si / e ) l(+si e ( + 4 ) e 9. 9.b si si si si arcta (cos ) /+ 5 ( + ) /+ 4 + /+ + /+ 5 /+ 5 ³ /+ 5 () /+ 4 l + à + 5 /+ +! + +, + e e l(+ ) e + e 9. e cos + + /+ /+ 4 /4 + 5 / + /+ 4 / /+ 4 / + 5, för Defiiera f (), så får ma f () f () +/+ f () (I och med att ma ka framställa f () som ett oädligt polyom (s.k. potesserie) för alla i e omgivig av geom att kombiera ihop formler () och () i [P,sid.9] så ka ma (fast det är ite bevisat i boke) direkt dra slutsatse att f (är ma väl defiierat f () till ) är oädligt måga gåger deriverbar i och avläsa derivatora geom att jämföra med Taylors formel och sätta termer av samma gradtal lika: f () f () + f () + f () + f () () + f (4) () 4 + f (5) () f () () Ger: f (), f () /, f () (), f (4) () 4 /, etc. Det är bara för att illustrera detta som jag tagit med så måga termer i räkige ova.) a (a) (a) (a ) a +... Om a, så uppför sig kvote som / ugefär, är. Därför a och då blir gräsvärdet. + + e (+)l(+ ) l + t t à t/+t t t t t /+t t t t + t + t! t + t 5

6 9.4b cos l ( + ) si ( )( ) Det är ite självklart att ett sådat polyom fis, och äve om det skulle fias så behöver det ite vara Taylorpolyomet i utvecklige krig (och ite heller i utvecklige krig ågo aa pukt!), me vi ka ju försöka... [P,sid.78] formel () med ger ( + ) / + + rest () + rest 5 () ( + θ ()) / [.] Låt θ cirkelbåge AP :s lägd, f (θ) (avstådet RA) /r (Divisioe med r föreklar kommade räkigar. Vi skulle lika gära kuat ta r till lägdehet.), P vikelräta projektioe av P på RA. Då är lägde av P A r r cos θ. Triaglara RP P och RQA är likformiga: f (θ) θ θ cos θ θ si θ QA PP RA RP rθ r si θ rf (θ) rf (θ) (r r cos θ) θ θ θ /+θ 4 θ θ θ /+θ 5 θ /+θ 5 θ /+θ 5, är θ m c q v c m c α(α ) θ v m v α m c à α v m v + m c α (α ) v 4 α θ v c 4 c c α v 4 c 4 ( /) ( /) ³ v ³ θ v 5/ c c c + α (α ) θ v c α 4( 5/ )! v 4 c 4 4( ) 5/ 4( ) eftersom + 8 > 4 arcta (cos ) si arcta cos si 9.48 l ( + si ) si ( si ) + ( si )

7 Asymptoter ka oftast bestämmas eklare med Taylorutvecklig ä med gräsvärdestraggladet i kap.4. De räta lije y k + m säges vara e asymptot till f () är (eller ) omf () k m då.alltså,omvikahitta kostater k och m sådaa att f () k+ m +(ågot som ), så ka vi avläsa e asymptot! Eempel hämtade ur [LTH, 4.,4.5,4.] (överallt är det uderförstått att är begräsad då / ligger i e omgivig av, d.v.s. är är tillräckligt stort positivt eller stort egativt): e / Ã! + + y är asymptot är ± y är asymptot är ± + + e/ e / Gräsvärde med rottecke är e aa tillämpig, [LTH,.-.7]: p + p + r + r Ur äldre upplaga 997: 9.8 eräka gräsvärdet lim + y är asymptot är ± l (cos ) e + är Lösig: l (cos ) e l /+ 4 (( + + /+ ) ) /+ 4 + /+ 4 /+ /+ 4 /+ (4, 898) Vid e viss beräkig öskar ma ersätta fuktioe f () l med dess Maclauripolyom p 4 () av grad 4. Age p 4 samt uppskatta hur mycket f () maimalt skiljer sig frå p 4 i itervallet /4. Lösig: Tag (5) i [P,sid.78] med l + (+θ ( )) p 4 () 4, l p 4 () ( ) (/4) ³ (/4) (4 ) < [ > ] <