REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

Transkript

1 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal DFA. b) skriv ett reguljärt uttryck som maskie accepterar. a b. [+(+)(+)*]* (+)(+)* 2. eguljärt eller ite? Bevisa! (8 p) Problem. l a) = { a b är e multipel av l} [INZ, Problem 3: (23/9c)] l b) = { a b där l = 2} l c) = { a b + = }

2 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA l a) = { a b är e multipel av l} ICKEEGUJÄT Ata motsatse, att is reguljärt. Eftersom språket är reguljärt och oädligt säger pumpsatse att det fis ett m för varje sträg w i språket av lägde mist m som ka skrivas på forme w = xyz sådat att xy m, y = k >, och då äve alla strägar xy i z i hör till språket. Ta e sträg w = xyz = a m b m vars lägd är 2m > m. Eftersom xy m, xy a m y = a k Ta xy 2 z a (m+k) b m l (m+k) = m (defiitio = { a b är e multipel av l} ) me k < m m = m < m+k < m+m = 2m (m+k) = m vilket är motsägelse. är ickereguljär! l b) = { a b där l = 2} ICKEEGUJÄT Vi aväder pumpsatse ige. Vi atar att är reguljär. åt w =xyz = a m b (m-2) ( (m) (m 2) == 2) Eftersom xy < m, xy a m y = a k 2

3 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA Ta xy 2 z a (m+k) b (m-2) (m+k) (m 2) = k + 2 = k + 2 = 2 (defiitio av ) k = me k > (defiitio av reguljärt) vilket är motsägelse. är ickereguljär! l c) = { a b + = } EGUJÄT är fiit ( elemet), och alla fiita språk är reguljära; därför är reguljär. SAMMANHANGSFIA SPÅK (6p + 8p) 3. PDA (6 p) Problem: Vilket språk accepteras av följade PDA? (Sipser p.5) : ={a i b j c k i, j, k och i = j eller i = k} 3

4 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA 4. Sammahagsfria språk (8 p) Problem Vilka av följade språk är sammahagsfria? Bevisa ditt svar! a) : = { a b j a b j :,j } b). = { a b j a j b :,j a) Ite sammahagsfritt Ka bevisas med hjälp av pumpsatse. Om är sammahagsfritt skall varje sträg w i av lägd w K kua söderdelas i w = uvxyz där vxy K, så att v och y ka repeteras uta att de resulterade strägar faller ur. Se t.ex sträge a K b K a K b K. För att e pumpad versio av dea sträg skall ligga i så måste åtmistoe båda förekomstera av a: eller b: påverkas. Dessa ligger mist K tecke ifrå vara (atalet tecke mella det sista tecket av de första delsträge a K och det första tecket av de sista delsträge a K, och motsvarade för b). Med ett pumpblock som iehåller högst K tecke så är detta omöjligt, och alltså är ite sammahagsfritt. b) Sammahagsfritt Följade sammahagsfria grammatik producerar språket: S asb X X bxa λ 4

5 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA ESTIKTIONSFIA SPÅK (6p + 6p) 5. Turigmaski (6 p) (Sallig, tetame mars 22) Problem Turigmaskie i figure är e fuktiosberäkade typ med iputalfabet { } och tapealfabet {, X, }. Vilke fuktio beräkar de? Provkör! C X / X / X X / S Hjälpmaskiera,,, S och C är stadardmaskiera frå kursboke. Maskie beräkar 2, för godtyckliga aturliga tal represeterade uärt. MOTIVEING: Efter ett varv i (de stora) sliga frå de iledade -maskie och tillbaka till desamma förädras tapekofiguratioe X X till. Dvs efter ett varv har tape delats i i två block som vart och ett består av ickeblaka tecke. Efter två varv har tape delats i i tre block: X X X Osv.... Efter varv fås block: X X X X När i detta läge de iledade -maskie körs igåg ige drivs de giva Turigmaskie ite rut i ämda sliga lägre. Nej, u drivs de istället "rakt fram" mot -maskiera. Strax ia första startas ser tape ut så här: 5

6 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA X X X X Dea -maski kommer efter varv i si ögla att förädra tape till X X X Därefter står de adra -maskie i begrepp att dras igåg och därmed kommer e y (stor) sliga att gås igeom, ärmare betstämt frå de seast ämda -maskie och tillbaka ige. För varje varv i sliga västershiftas blocket lägst till höger ihop med blocket till väster om detsamma, samtidigt som samtliga X i det seare blocket skrivs om till :or. Uder tex första varvet förädras tape till X X X Efter varv har samtliga block shiftats ihop till ett eda block som iehåller :or som eda ickeblaka tecke, ärmare bestämt stycke. äshuvudet står u till väster om detta block är -et står i begrepp att dras igåg för sista gåge. Nu bär det iväg till stopptillstådet, och resultatet av beräkige är att stycke :or blev till 2 dvs de fuktio som beräkas är. stycke, 6. Avgörbart? Motivera! (6p) a) åt vara ett språk som edast består av sträge s där: om det fis adra itelligeta varelser i vår galax s = aars Är avgörbart? Varför? Varför ite? Motivera ditt svar! b) Är (M) oädlig? Givet att M är e godtycklig DFA. c) Är (M) oädlig? Givet att M är e godtycklig TM. 6

7 CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA a. AVGÖBAT! Oavsett om det fis adra itelligeta varelser i vår galax, består språket av ebart e sträg. Eftersom varje fiit språk är avgörbart (fiita språk är reguljära) så är äve avgörbart. b. AVGÖBAT! Ma behöver bara kotrollera om M iehåkker ågo sliga på väg till acceptas, vilket ka göras i ädligt måga steg. Formellt: Se kursboke uppgift 7.2. c. OAVGÖBAT! Följer av ices sats, om ma väljer Ω som mägde av alla oädliga Turigaccepterbara språk, eftersom dea mägd är icketrivial. efereser. Sallig: Formella språk, automater och beräkigar 2 2. iz, A Itroductio to Formal aguages ad Automata, Joes & Bartlett 2 3. Sipser, Itroductio to the Theory of Computatio, PWS Sudkamp, aguages ad Machies, Addiso Wesley Kiber-Smith, Theory of Computig, A Getle Itroductio, Pretice Hall 2 7