x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Transkript

1 Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z x x x x 1 blir igåede basvariabel och divisiostestet ger att x 6 blir utgåede basvariabel. Z x x x x 2 blir igåede basvariabel och divisiostestet ger att x 5 blir utgåede basvariabel. Z x /3 1/3 10/3 x /3-2/3 10/3 x /3 1/3 40/3 Vi har u e optimal tablå och vår baslösig är (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = (40/3, 10/3, 0, 10/3, 0, 0) och vårt optimala målfuktiosvärde är Z = 30. Eftersom det fis e olla uder e ickebasvariabel (x 6 ) i målfuktiosrade fis det ett oädligt atal lösigar. b) Motsvarade hörpukt till vår baslösig är (x 1, x 2, x 3 ) = (40/3, 10/3, 0). Dea pukt defiieras av begräsigslijera 2x 1 + x 2 + x 3 = 30, x 1 x 2 + 2x 3 = 10 och x 3 = 0. c) Utgå frå de optimala tablå ova och låt x 6 bli igåede basvariabel. Då blir x 4 utgåede basvariabel och vi fier e alterativ lösig. Z x x x De optimala baslösige frå dea tablå är (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = (10, 10, 0, 0, 0, 10), vilke aturligtvis också ger det optimala målfuktiosvärdet Z = 30. Som sagt fis det oädligt måga optimala lösigar. 1

2 Uppgift 2 Det duala problemet blir: där y 1 0, y 2 0, y 3 0. Komplemetvillkor: max W = 120y y y 3 då 2y 1 + 2y 2 + y y 1 + y 2 + y y 1 + 3y 2 + y x 1 (2y 1 + 2y 2 + y 3 150) = 0 = 2y 1 + 2y 2 + y 3 = 150 ty x 1 > 0 x 2 (y 1 + y 2 + y 3 250) = 0 x 3 (y 1 + 3y 2 + y 3 120) = 0 = y 1 + 3y 2 + y 3 = 120 ty x 3 > 0 y 1 (2x 1 + x 2 + x 3 120) = 0 y 2 (2x 1 + x 2 + 3x 3 180) = 0 = y 2 = 0 ty 2x 1 + x 2 + 3x 3 > 180 y 3 (x 1 + x 2 + x 3 100) = 0 Detta ger de duala lösige: (y 1, y 2, y 3 ) = (30, 0, 90). Isättig i bivillkore ger att dea lösig är tillåte. Komplemetvillkore samt (y 1, y 2, y 3 ) = (30, 0, 90) ger de primala lösige: (x 1, x 2, x 3 ) = (20, 0, 80), vilke också är tillåte (Obs. detta måste kotrolleras!). Alltså, de giva iformatioe: x 1 > 0, x 3 > 0 och bivillkor (ii) uppfyllt med strikt olikhet i optimum, resulterar i e tillåte lösig i både primale och duale, vilket betyder att lösige är optimal. Alltså, hypotese stämmer. Agåede deluppgift b), så behöver vi edast kotrollera att det adra bivillkoret i duale fortfarade är uppfyllt, dvs, y1 + y 2 + y 3 c 2. Alltså, då c så är det sat att x 1 > 0, x 3 > 0 och bivillkor (ii) uppfyllt med strikt olikhet i optimum. 2

3 Uppgift 3 a) Låt x 1 vara atalet P1 som skall produceras och låt x 2 vara atalet P2 som skall produceras. Viste som skall maximeras beteckar vi med Z. Problemet blir då maximera Z =4x 1 + 4x 2 då 3x 1 + 2x 2 24 x 1 + 2x 2 12 x 1 4, x 2 0. b) Problemet löses grafiskt eligt figure eda. I figure ses att de optimala lösige ges av skärigspukte mella de båda bivillkore, det vill säga x 1 = 6 x 2 = 3, vilket ger det optimala målfuktiosvärdet Z = = Carl skall alltså tillverka sex st P1 och tre st P2 och tjäar då 3600 kr. c) Skuggpriset för det första bivillkoret (moterig) beräkas geom 3x 1 + 2x 2 = 24 + b 1 x 1 + 2x 2 = 12 x 1 = b 1 x 2 = b 1, vilket ger Z = b 1. Skuggpriset är alltså 100 kr/h. Skuggpriset för det adra bivillkoret (målig) beräkas på motsvarade sätt och vi får x 1 = b 2 x 2 = b, 2 3

4 viklet ger Z = b 2. Skuggpriset är alltså 100 kr/h. Skuggpris defiieras som margialförädrige av det optimala målfuktiosvärdet då tillgåge på e resurs ökas. I det här fallet ka ma tolka det som hur mycket det skulle vara värt för Carl att ha ytterligare e timme tillgäglig för moterig respektive målig. Uppgift 4 a) Itroducera variablera: x ij = pegabelopp som perso i ger till perso j. Modelle blir som följer. mi Z = b) Itroducera variablera, y ij : i=1 då f i + y ij = Modelle omformuleras eligt: mi Z = x ij x ij x ji = f j, i = 1,...,. x ij 0, i = 1,...,, j = 1,...,. 1, om perso i ger ågra pegar till perso j 0, aars i=1 då f i + x ij x ij y ij = 1, x ji = f j, i = 1,..., i = 1,..., x ij My ij, i = 1,...,, j = 1,..., y ij 0, 1}, i = 1,...,, j = 1,..., x ij 0, i = 1,...,, j = 1,..., M är ett stort tal. 4

5 Uppgift 5 a) Tillstådsgrafe ka ses i figure eda, där tillstådet ager atalet kuder i systemet. 3/4 /2 / μ μ μ μ För att beräka tillstådssaolikhetera aväds sittmetode, vilke ger P 0 = P 1 P 1 = P 0 = P P 1 = P 2 P 2 = 3 ( ) 2 P 0 = P P 2 = P 3 P 3 = 3 ( ) 3 P 0 = P P 3 = P 4 P 4 = 3 ( ) 4 P 0 = P 0. Summa av alla tillstådssaolikheter skall vara lika med ett, vilket ger oss värdet på P 0 och vi får b) Förvätat atal kuder i systemet ges av L = ( P k = 1 P ) = 1 P 0 = 32 0, P 0 = ,31 P 1 = ,31 P 2 = ,23 P 3 = ,12 P 4 = ,03. kp k = 0P 0 + P 1 + 2P 2 + 3P 3 + 4P 4 = 4P 0 = ,24. Förvätad tid e kud tillbrigar i systemet ges av W = L, där = k P k = P P P P 3 + 0P 4 = P 0 = ,07, 5

6 vilket ger W = 128/ /103 = ,60. c) Förvätat atal förlorade kuder per tidsehet ges av Uppgift 6 k 4 P k = P P P P 4 = = ,93. a) Tillstådsgrafe för problemet ses eda, där tillståd är defiierat som atal kuder i systemet μ μ μ 2μ 3μ 4μ Figur 1: Tillstådsgraf. Exempelvis, itesitete att gå frå tillståd 5 till tillståd 4 är + 2 = 3 eftersom det fis två kuder i kö som har tre kuder eller fler framför sig. Sittmetode ger P k = ( ) k P 0 för k = 0, 1, 2, 3. Fortsätt att aväda sittmetode för att ta fram övriga tillstådssaolikheter. Detta ger ( ) P k = (/)k 3 (k 2)! P 3 = (/)k 3 3 P 0 = (/)k (k 2)! (k 2)! P 0 för k = 4, 5, Det som återstår är att beräka P 0, vilke fås ur ormerigsvillkoret P k = 1. Vi får P k = P 0 ( 3 ( ) k + ) ( (/) k 3 = P 0 (k 2)! Serie i detta uttryck ka direkt utvecklas eligt ( ) k + ( ) 2 ) (/) k+2. (k + 2)! (/) k+2 (k + 2)! (/) k = k! (1 + /) = e / (1 + /). Alltså, P 0 fås eligt P 0 = ( ( ) 2 e / ) 1. 6

7 b) De geomsittliga itesitete för vilka kuder lämar systemet (apoteket) är lika med de geomsittliga akomstitesitete eftersom både tider mella akomster och betjäigstider är expoetialfördelade, samt att atal köplatser är obegräsat. Alltså, = k=1 kp k = kp k =. Om detta förhållade ite ises, så ka de geomsittliga itesitete för vilka kuder lämar systemet (apoteket) beräkas eligt k P k = (P 1 + P 2 + P 3 ) + (k 2)P k k=1 = (P 1 + P 2 + P 3 ) + (k 2) (/)k 3 (k 2)! P 3 = (P 1 + P 2 + P 3 ) + (/)k 3 (k 3)! P 3 = (P 1 + P 2 + P 3 ) + P 3 (e / 1), där P k, k = 0, 1, 2,..., är käda frå deluppgift a). Geom att utveckla detta uttryck kommer ma till slut fram till att k=1 kp k =. 7