c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Transkript

1 P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt värde på x får vi e umerisk serie, som ka vara koverget eller diverget. P.. Sats (Existes av och beräkig av kovergesradie). Till varje potesserie c x fis ett etydigt bestämt R, R, kallat kovergesradie, sådat att c x är { absolutkoverget om x < R diverget om x > R Om lim c existerar, så säger det s.k. rotkriteriet att lim c R. Om lim c + c existerar, så säger det s.k. kvotkriteriet att lim c + c R. (P.) (P.) Om ågot av dessa gräsvärde är eller ska det tolkas som att R respektive R. Bevis av Sats P. i ett specialfall. Vi ska här visa specialfallet att om lim c existerar, så fis R med de öskade egeskapera och sambadet (P.) gäller; det allmäa fallet utelämas. Atag att G lim c existerar, och att < G <. Välj (ett midre tal) M och (ett större tal) S sådaa att < M < G < S <. Då fis ett heltal N (som beror på M och S) sådat att För fixt x med x r gäller därför M c S, d.v.s. M c S, för alla N. (P.3) (Mr) c x (Sr) för alla N. Om u Mr > får vi alltså att talföljde {c x } N är obegräsad, så potesserie är diverget; om å adra sida Sr < är c x (Sr) (Sr)N, och därmed är potesserie absolutkoverget. Sr N N Alltså, för varje par av tal M och S med < M < G < S < gäller att potesserie { c x absolutkoverget om x < /S är diverget om x > /M Me om x < /G fis S med x < /S < /G, och om x > /G fis M med x > /M > /G, och därför gäller att { c x absolutkoverget om x < /G är diverget om x > /G

2 och därmed uppfyller R /G egeskapera i satse. Om G ka vi hitta S (me ite M), och potesserie är absolutkoverget är x < /S, me eftersom S > ka göras hur lite som helst är potessserie alltså absolutkoverget för alla x. Om G ka vi hitta M (me ite S), och potesserie är diverget är x > /M, me eftersom M < ka göras hur stor som helst är potessserie alltså diverget för alla x. P.. Amärkig. Variabel x ka mycket väl vara komplex, därav amet kovergesradie. P.3. Amärkig. I själva verket ka vårt resoemag i beviset geomföras oförädrat om vi i (P.3) edast kräver att olikhete M c ska gälla för oädligt måga N (till skillad frå alla N). Detta är samma sak som att säga att lim sup c G (till skillad frå lim c G), där lim sup, limes superior, övre gräsvärdet, är det största möjliga gräsvärdet av ågo delföljd. Detta gräsvärde existerar alltid, och R /G, alltid. Observera att satse ite säger ågot om kovergese då x R. I själva verket ka allt häda; se Exempel P.4 eda. I tillämpigara är de reella radpuktera x ±R dock sälla av itresse. (I komplex aalys är dock det samlade beteedet över hela radcirkel itressat.) P.4. Exempel. De tre potesseriera s (x) x, s (x) x och s (x) har alla kovergesradie R, vilket eklast ses med kvotkriteriet; t.ex. får vi för s c + c (+) ( + då. ) R Alltså är seriera absolutkovergeta för x < och divergeta för x >. Om x ± iträffar olika saker: serie s är diverget i båda puktera, serie s är (absolut)koverget i båda, meda serie s är diverget i x me koverget (dock ej absolutkoverget) i x. P.5. Exempel. För att udersöka om de positiva serie ( + ) är koverget ka vi bestämma kovergesradie R för potesserie ( + ) x 7 7 och seda se efter om x / ligger iaför eller utaför. Rotkriteriet verkar eklast att aväda i detta fall: ( + ) ( + ( l( + exp ) ) ) exp e då, så R /e, och eftersom / > /e är serie diverget. P.6. Exempel. För att bestämma kovergesradie för potesserie ()! x3 ka vi istället betrakta potesserie ()! t, där t x 3. Kvotkriteriet ger för t-serie c + c ( + ( ) ) ()! + (( + ))! ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + då, ) x

3 så R, d.v.s. t-serie är koverget för alla t, och därmed är de ursprugliga x-serie koverget för alla x. Att multiplicera och/eller dividera e potesseries koefficieter med polyom påverkar ite kovergesradie, vilket beror på att lim p() för alla ollskilda polyom p. Vi preciserar: P.7. Propositio. Om p och q är polyom (båda skilda frå ollpolyomet), så har potesseriera c x p() och q() c x samma kovergesradie. p() Speciellt har alla potesserier av forme q() x kovergesradie. Vi har u kommit till huvudresultatet för potesserier: P.8. Sats (Termvis deriverig och itegrerig). Atag att f(x) c x c + c x + c x + c 3 x har kovergesradie R >. Då är f kotiuerlig och deriverbar i ] R, R[, och och x f (x) f(t) dt c x c + c x + 3c 3 x +... c + x+ c x + c x + c x 3 + c 3x , 3 4 båda då x < R. Potesseriera för derivata och itegrale har också kovergesradie R. För att visa dea cetrala sats behöver vi e tekisk hjälpsats. P.9. Hjälpsats. Om a r och x r, så gäller Om dessutom x a så gäller också x a x a Bevis. Beviset bygger på idetitete x a r x a,,,... (P.4) a ( ) r x a,, 3,... (P.5) x a (x a)(x + x a + x 3 a x a 3 + xa + a ) (P.6) som ises geom direkt utvecklig av högerledet. Eftersom det fis precis termer i de högra paretese och alla termer där har belopp högst r får vi x a x a ( x + x a x a + a ) x a r, och därmed är (P.4) bevisad. 3

4 Aväder vi seda (P.6) då x a och (P.4) upprepade gåger får vi x a x a a x + x a xa + a a och därmed är beviset klart. (x a ) + (x a )a (x a)a x a + x a a x a a x a ( )r + x a ( )r 3 r x a r x a (( ) + ( ) )r x a ( ) r, Bevis av Sats P.8. Propositio P.7 medför geast att potesseriera också har kovergesradie R. c x och Fixera a med a < R. Välj seda r så att a < r < R; då ger Propositio P.7 att seriera ( ) och c r är kovergeta. Om x < r får vi eligt Hjälpsats P.9 f(x) f(a) c x c a c (x a ) c x a x a c r, c + x+ c r där de sista serie kovergerar och summa är oberoede av x. Alltså får vi att f(x) f(a) då x a, så f är kotiuerlig i a. Om x a får vi också, återige frå Hjälpsats P.9, f(x) f(a) c a ( x a ) c x a x a a c x a x a a ( ) x a c r, där de sista serie, som är oberoede av x, kovergerar, så f f(x) f(a) (a) lim c a. x a x a Beviset för termvis itegrerig lämas som Övig P.. Geom att aväda termvis deriverig upprepade gåger och seda sätta x, får vi P.. Följdsats. Om f(x) c x har kovergesradie R >, så har f kotiuerliga derivator av alla ordigar i x < R, och c f () (),,,,....! Speciellt är potesseries koefficieter etydigt bestämda av potesseries summa. 4

5 P.. Exempel. De geometriska serie ka ju beräkas: Termvis deriverig av dea ger + x + x + x 3 + x x + 3x + 4x x d dx och därmed ka vi t.ex. räka ut följade umeriska serie: 3 3 x, x <. x ( ) x, x <, ( x) ( 3 ) /x 3 /, iaför kovergesradie 3 ( 3 3 ) 4. Å adra sida ger termvis itegrerig av de geometriska serie att x + x + x3 3 + x4 4 + x och därmed att t.ex. / Byt idex, k + x + x + / k dt l( x), x <, t ( )k+ k + l( ) l l. Om ma, som e approximatio till l, tar de tio första termera, säg, får ma l, så l , där felet i approximatioe, svase, ka uppskattas t.ex. så här: < < 4. Av detta ka ma dra slutsatse att l,693 med tre korrekta decimaler. Lösig av differetialekvatioer med hjälp av potesserier P.. Exempel. Ett sätt att härleda potesserie för expoetialfuktioe e x är att utyttja att dea fuktio är de etydiga lösige till differetialekvatioe Asätt därför y y y, y(). c x. Iaför (de äu okäda) kovergesradie R gäller y c x ( + )c + x, 5

6 så y y om och edast om ( + )c + c för alla, och eftersom c y() får vi c, c c, c c, c 3 c 3 3,..., c c!. Alltså blir y x, och kovergesradie R, ty! c + c (+)!! då. + x!. De termvisa deriverige är alltså tillåte för alla x, och därmed har vi visat att e x P.3. Exempel. Vi asätter e potesserielösig y c x till differetialekvatioe ( x )y xy + y, y(), y (), och får alltså iaför (de äu okäda) kovergesradie R och därför y c x och y ( )c x, ( x )y xy + y ( x ) ( )c x x c x + c x ( )c x ( )c x c x + c x (( + )( + )c + ( )c c + c ) x ( ( + )( + )c+ ( ) + )c x, x < R, där vi i steg * har bytt summatiosidex frå till + i de första serie så att vi äve där får x ; observera också att summora ( )c x och c x lika gära ka börja i, eftersom de extra termera ädå är. Vår potesserie löser alltså differetialekvatioe då x < R precis då alla koefficieter är, och detta tillsammas med begyelsevillkore ger d.v.s. ( + )( + )c + ( + )c,,,... c y() c y () c + + ( + )( + ) c ( + )( ) ( + )( + ) c + c,,,,..., c, c. Vi får således för jäma idex c c, c 4 3 c 3, c c 4 5,..., c,,,,..., 6

7 och för udda idex c 3 c, därmed c 3 c 5 c 7..., så y x x + x x x4 3 x6 5 x8..., x < R. 7 Geom att sätta t x ser vi att kovergesradie m.a.p. t är och därmed att R. I itervallet x < är alltså ovaståede räkigar giltiga, och därmed är vår potesserie e lösig till differetialekvatioe i detta itervall. Övig P.. Bevisa de del av Sats P.8 som hadlar om termvis itegrerig geom att aväda resultatet för termvis deriverig. Övig P.. Härled potesserie för cos x geom att aväda att dea fuktio är de etydiga lösige till y + y, y(), y (). Härled seda potesserie för si x. Kovergesradier? Övig P.3. Härled potesserie för l( + x) geom att itegrera potesserie för dess derivata. Övig P.4. Härled potesserie för arcta x. Övig P.5. Härled potesserie för ( + x) α geom att lösa differetialekvatioe ( + x)y αy, y(). Övig P.6. Bestäm e potesserie som löser differetialekvatioe Räka speciellt ut koefficietera c,..., c 7. y + xy + y, y(), y (). Potesserier för elemetära fuktioer (Maclauri-serier) I föregåede avsitt härleddes edaståede serier i exempel eller i övigar. Alla dessa serier är helt ekelt de valiga Maclauri-utveckligara utsträckta i oädlighet. Vi sammafattar: e x cos x si x arcta x l( + x) ( + x) α x! ( ) x ()! ( ) x + ( + )! ( ) x + + ( ) + x ( ) α x + αx + + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! + x7 7! +..., R, x! + x4 4! x6 6! +..., R, x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., R, x x3 3 + x5 5 x , R, x x + x3 3 x4 4 + x5 5 x , R, α(α ) x + α(α )(α ) x , R. 3 P.4. Exempel. Med x i stället för x i expoetialutvecklige, som ju har oädlig kovergesradie, får vi (där * idikerar termvis itegrerig): I e x dx ( x ) dx! ( ) x ( ) dx!!( + ). 7

8 Eftersom dea umeriska serie är altererade och!( + ) växer mot får vi med Leibiz t.ex. 4 I ( )!( + ) < 5!( 5 + ) < 3, d.v.s. I med fel midre ä 3. Övig P.7. Sätt formellt i ix i stället för x i expoetialutvecklige och tag real- och imagiärdelar. Slutsats? Övig P.8. Beräka arcta 3 med ett fel av högst 4. Övig P.9. Härled potesserieutvecklige för arcsi x. Age m.h.a. dea e umerisk serie som beskriver talet π, och beräka de första termera i dea serie. Övig P.. Skriv l som e serie geom att välja x lämpligt i l + x. Tycker du att dea serie är x bättre eller sämre ä de som härleddes i Exempel P.? Vilke serie kovergerar sabbast mot l? Övig P.. Visa att potesserie för att därigeom beräka potesseries summa. x satisfierar differetialekvatioe ()! y y, y(), y (), Övig P.. Beräka summa av följade potesserier: Övig P.3. Som framgår ova är (a) x 4 (4)! l( x) x + x + x3 3 + x , R. Vad ka du säga om potesserie x + x 4 + x3 9 + x ? (b) x 3 (3)! Svar till ågra övigar P.6 y + ( ) (4 3) x x ()! + 5x4 4 x , R P.8 arcta , med abs(fel) < < 7 4 ( ) / ( ) x + P.9 arcsi x, R ; + ( ) / ( ) (/) + π ! ( + ) P. l P. y cosh x ex + e x cosh x + cos x P. (a) (b) 3 ex + 3 e x/ cos x 3 x l( t) P.3 dt, R t LA ovember 4 8