Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Transkript

1 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV kl Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: poäg, betyg 5: 48 poäg eller mera. Bouspoäg frå igår. Lösigar samt uppgifter om graskig av rättade tetor kommer på kurses hemsida: kriv program och iskrivigsår på omslaget, skriv persoliga kode på samtliga ilämade papper.. (a) Fuktioe f(x, y) = x y 3 + (y ) har e eda statioär pukt. Hitta de och bestäm dess karaktär: lokalt maximum, lokalt miimum eller sadelpukt. (b) Temperature i ett område beskrivs av fuktioe T (x, y, z) = x + yz 4z +. Bestäm temperatures förädrig per lägdehet då ma i pukte (,, ) rör sig i riktige v = (,, ). (c) Bestäm e potetial till vektorfältet F = (4x 3 y + e y, x 4 + xe y y) och beräka kurvitegrale C F dr där C är kurva y = x + frå (, ) till (, ). (3p). Beräka koordiatera för tygdpukte av de del av ehetsklotet x + y + z som har alla koordiater positiva. Massfördelige atas vara homoge. 3. (a) Beräka (b) Beräka l( x + y ) dxdy där = {(x, y) : x + y }. (x +y) dxdy där = {(x, y) : x, y mi( x, x +)}. 4. Hastighetsvektor i e gasströmig är v = (ye z, xe z, x + z) och dess masstäthet är ρ(x, y, z) = z. å är vektorfältet F = ρv flödet av massa per tidsehet och areaehet. (a) Beräka massflödet (massa per tidsehet) som strömmar ut geom det område som begräsas av koe z = x + y och plaet z =. (b) Hur stort är flödet geom bara de koformade dele av begräsigsyta? (5p) (p) 5. Blad alla tagetpla till yta xy z =, bestäm det eller de som har störst avståd till origo. 6. Formulera och bevisa Grees formel. 7. (a) Formulera tokes sats. (3p) (b) Bevisa att e x dx = π Lycka till!/lf

2 Lösigar till teta 8 3. (a) För statioär(a) pukt(er) löser vi ekvatiossystemet f = : { xy 3 = 3x y + (y ) = e första ekvatioe ger x = eller y =. Bara det förra ger lösig av de adra ekvatioe: y =. da statioära pukt är alltså (, ). ess karaktär bestäms av de kvadratiska forme Q(h) = f xx(, )h + f xy(, )hk + f yy(, )k där h = x, k = y. Vi har f xx(x, y) = y 3, f xy(x, y) = 6xy, f yy(x, y) = 6x y +, vilket ger Q(h) = h + k, som är positivt defiit (dvs positiv för alla (h, k) (, ). etta medför att (, ) är ett lokalt miimum. (b) et som efterfrågas är riktigsderivata av T i pukte (,, ) och riktige som ges av vektor v = (,, ). För e differetierbar fuktio, vilket ju varje polyom är, ka dea derivata beräkas eligt formel T v(,, ) = e T (,, ), där e är e ehetsvektor i v:s riktig. Nu är T = (4x, z, y 4), T (,, ) = (4,, ), e = 3 (,, ) och därmed T v(,, ) = (,, ) (4,, ) = 4. 3 (c) Om U är e potetial till F så gäller U = F, dvs U x = 4x 3 y + e y, U y = x 4 + xe y y. et första villkoret iebär att U = x 4 y + xe y + g(y), där g är deriverbar. et adra villkoret kräver då att g (y) = y, så vi ka välja g(y) = y och potetiale är U = x 4 y + xe y y. Fältet F har e potetial i hela rummet. å är itegrale lägs e kurva lika med potetialdifferese: C F dr = U(, ) U(, ) = ( + e ) ( ) = + e. Av symmetriskäl iser vi att x- y- och z-koordiatera för tygdpukte är lika. et räcker alltså att beräka tygdpuktes z-koordiat: z T = z dxdydz dxdydz, där ämare uttrycker kroppes volym, vilke vi käer = 4π 3 = π Täljare ka beräkas med sfäriska koordiater eller upprepad itegratio med valiga polära koordiater i adra steget. Här väljer jag det förstämda (äve om de adra variate kaske är kortast): z = r cos θ, J = r si θ, r, θ π, ϕ π π π z dxdydz = r cos θ r si θ drdθdϕ = r 3 dr cos θ si θ dθ dϕ = [ ] r 4 [ ] π (si θ) = π 4 = π 6 och därmed blir z T = = 3 8. Tygdpuktes koordiater är ( 3 8, 3 8, 3 8 ). π 6 π 6

3 3. (a) Av symmetriskäl är itegrale lika med I = 4 l(x + y) dxdy där = {(x, y) : x, y, x + y } (dvs e triagelformad fjärdedel av de sedställda kvadrate ). Itegrade är odefiierad i origo, me har kostat tecke (mius) i. Vi bildar e uttömmade följd av mägder = {(x, y) : x, y, x + y }, så att I = 4 lim l(x + y) dxdy. För att beräka de sistämda itegrale byter vi variabler eligt: { u = x + y v = y { x = u v y = v med Jacobiae J = = Nytt område blir = {(u, v) : u, v u} och vi får: u l(x + y) dxdy = l u J dudv = l u du dv = [ ] u [ ] = l u u u u du = u l u 4 Härav följer att I =. = 4 + l 4 4 u l u du = (partiell itegratio) då. (b) Metod I { aturlig variabelsubstitutio (p g a radkurvora y x = och xy = ) är u = y x med iversa Jacobiae J = v = xy x y x = x y och därmed J = (x + y), vilket gör att de ya itegrade blir. Vi översätter radkurvora till ya koordiater: y = x + u = y = x v = x = v = u + x =, y v =, u y =, x v =, u y y = x + y = x v v = x = v = u + u = x u Observera hur två vikelräta lijer avbildas på var si sträcka av u-axel och att dessa sträckor möts i de pukt där J =. Om ma ser variabelbytet åt adra hållet, så är det ite värre ä att Jacobiae är oll i e pukt på rade ( i det ire, vilket är det som krävs). Vi fullföljer u beräkige, som blir baal: (x + y) dxdy = dudv = m() =, 5 Metod II urvora y = x + och y = x skär varadra i x (varav följer att x 3 = x ). Vi delar upp itervallet i två delar (uta variabelbyte): x dx x + (x + y) dy + x dx x (x + y) dy = x = (x 6 + x 4 + x x 3 + ) + x = (sätt i x3 = x ) = ( ) ( x ) + x ( x ) + x ( x ) + x (5x4 + 6x + ) dx + (x + x x ) dx = + = x (x ) + =, 5

4 4. Hastighetsvektor i e gasströmig är v = (ye z, xe z, x + z) och dess masstäthet är ρ(x, y, z) = z. å är vektorfältet F = ρv flödet av massa per tidsehet och areaehet. (a) Vi vill beräka ytitegrale Φ = F Nd = (yze z, xze z, xz + z ) Nd, där är de sluta yta (ko + lock ) och N är dess utåtriktade ormalvektor. Här är Gauss sats tillämpbar (fältet är C, området kompakt med C -rad. å är Φ = F Nd = divf dxdydz = (x + z) dxdydz Av symmetriskäl blir itegrale av x på de koiska kroppe lika med oll, så vi har Φ = dxdy z dz = ( x y ) dxdy = (med polära koordiater) x +y = π x +y ( r )r dr = π. x +y (b) För att få flödet geom de koformade dele av ka vi subtrahera flödet geom locket, som är lättare att beräka. etta flöde blir med uppåtriktad ormal, z = isatt (återige itegreras x till oll på ehetscirkelskiva): (ye, xe, x + ) (,, ) dxdy = dxdy = π (area av ehetscirkelskiva). x +y x +y lutlige subtraheras detta frå Φ så vi får flödet geom de koiska yta till π (det flödar alltså sarare i geom de yta). Uppgift 5 på ästa sida!

5 5. Yta f(x, y, z) = med f(x, y, z) = xy z har tagetpla i varje pukt. I pukte (a, b, c) är tagetplaets ekvatio f(a, b, c) (x a, y b, z c) = (b c, abc, ab c) (x a, y b, z c) = b c x + abc y + ab cz = ab c + ab c + ab c = 5 (då (a, b, c) ligger på yta, är ju ab c =!) Ma ka också aväda sambadet till att skriva om plaet lite eklare: x a + y b + z c = 5 Vi ser att iget tagetpla ka gå geom origo (origo isatt ger VL=, HL=5). För ett pla Ax + By + Cz = som ite går geom origo, har de pukt som är ärmast origo e ormal som går geom origo. Vi tar e såda ormal (x, y, z) = t(a, B, C) och sätter i i plaets ekvatio och får de pukt som är ärmast origo: ta + tb + tc = t = kurs!) A + B + C avstådet är t (A, B, C) = (kaske reda kät frå aa A + B + C Nu vet vi därmed att tagetplaet i (a, b, c) har (mista) avstådet 5 och uppgifte är att maximera a + 4 b + 4 c detta uttryck, dvs att miimera uttrycket h(a, b, c) = a + 4 b + 4 c uder bivillkoret f(a, b, c) = ab c =. et fis olika sätt att hatera detta, här väljer jag att elimiera variabel a med bivillkoret: a = h(a, b, c) = b 4 c b c b + 4 =: H(b, c) c Fuktioe H är defiierad och differetierbar i hela si defiitiosmägd. Vi söker först dess statioära pukter: H = b 4 c 6 = b 6 c 4 = b = c = Härav fier vi att det fis fyra statioära pukter som uppfyller b = c = 5 4 och alla ger H = 5 5. För att visa att dessa ger vårt miimum (och alltså maximum för avstådet) väljer vi e kompakt mägd = {(b, c) : bc = R} {(b, c) : R b R, R c R } där R är stort og för att våra statioära pukter ska fias i det ire av. c R bc = R R b För b R och c R är H 4R, för bc R är H R 8, så om R är valt tillräckligt stort, så är värdet av H större på och utaför rade till ä i de statioära puktera. ftersom de kotiuerliga fuktioe H måste ha både största och mista värde på, och dessa atas på rade eller i statioära pukter, så har vi mista värdet i de statioära puktera. etta värde är också mist i hela H. et tidigare beräkade avstådet till de aktuella plae blir 5, 6946 och ekvatioera för de sökta plae (fyra stycke) med a = 4 5, b = ±, c = ± blir x ± 9 y ± 9 z = 5.