Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl"

Max Lindgren
för 7 år sedan
Visningar:

1 TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte För godkät krävs poäg av möjliga poäg. etgsgräser: För betg,, C, D, E krävs, 9,, respektive poäg. För betget F krävs 9 poäg. F är ett uderkät betg me med möjlighet till kompletterig. Kompletterige ka edast göras upp till betg E. Fullstädiga lösigar skall preseteras på alla uppgifter örja varje uppgift på ett tt blad, detta gör att rättige blir säkrare. Skriv edast på e sida av papperet. Skriv am och persoummer på varje blad. Ilämade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Uppgift ka du som är godkäd på KS hoppa över. Uppgift. a eräka area av triagel C, där,,,,, och C,,. p b estäm vikel mella rmddiagoale av e kub och e av kubes kater. p Uppgift. Vektor v r har lägde lägdeheter och är parallell med vektor,,. p a estäm koordiater för vektor v r. b eräka vikelräta projektioe av v r på riktige,,. p c Dela upp vektor v r i två komposater b r och c r r r r, v b c, på så sätt att b r är de vikelräta projektioe av v r på riktige,,. ge de båda vektorera b r och c r! p Var god väd.

2 TEN HF9 Uppgift. a E parallellepiped späs upp av vektorera u,,, v,, och w,, t. estäm kostate t så att volme av parallellepipede blir volm ehet. p b estäm det eller de tal a för vilket lijera L och L skär varadra. L : L : a estäm äve skärigspukte P. p Uppgift a Lös följade matrisekvatio, där är e okäd matris: C om, och C p b estäm iverse till följade matris: p Uppgift. För vilka värde på parameter har följade lijära ekvatiossstem, med obekata,, och, e etdig lösig, dvs. eakt e lösig? 7 8 Uppgift. p Givet två parallella lijer L och L : t L : t, L : t s s s a estäm avstådet det kortaste avstådet mella dessa parallella lijer L och L. p b ge ekvatioe för det pla som iehåller de två parallella lijera L och L. p Lcka till!

3 TEN HF9 Lösigsförslag med prelimiära rättigsmall Uppgift. a eräka area av triagel C, där,,,,, och C,,. p b estäm vikel mella rmddiagoale av e kub och e av kubes kater. p Lösig: a,,, C,,, rea av triagel C är C Eftersom r r r i j k r r r C i j k har vi rea C 8. rea b Rmddiagoale ges av vektor r mella origo och kubes hörpukt a, a, a. r a a a a Vikel α mella rmddiagoal vektor och e av kube sidor som defiieras av t e vektor a,, i -led beloppet a. Detta ger o r cosα r α arccos ο Rättigsmall: a Korrekt vektorprodukt ger p llt korrekt i a-dele p. b p för korrekt uppställt problem. llt korrekt i b dele p.

4 TEN HF9 Uppgift. Vektor v r har lägde lägdeheter och är parallell med vektor,,. p a estäm koordiater för vektor v r. b eräka vikelräta projektioe av v r på riktige,,. p c Dela upp vektor v r i två komposater b r och c r r r r, v b c, på så sätt att b r är de vikelräta projektioe av v r på riktige,,. ge de båda vektorera b r och c r! p Lösig: estäm först v r på koordiatform.,, har rätt riktig, me fel lägd, eftersom:,, v r har alltså samma riktig som,,, me dubbla lägde, d.v.s v r,,,8,. De vikelräta projektioe, b r, av v r på a r,, ska bestämmas. r r r v o a r,8, o,, 8 b r r a,,,,,, a o a,, o,, 8,,,, De adra komposate ska också bestämmas: r r r v r r v b c c v b c v,8,,,,,,,,, Svar: b r 8,, och c v,, Rättigsmall: Felaktig bestämig av v r på koordiatform -p Felaktig bestämig av de vikelräta projektioe, b r -p Felaktig bestämig av komposat c v -p Uppgift. a E parallellepiped späs upp av vektorera u,,, v,, och w,, t. estäm kostate t så att volme av parallellepipede blir volm ehet. p b estäm det eller de tal a för vilket lijera L och L skär varadra. L : L : a estäm äve skärigspukte P. p Lösig: a Volme V ges av

5 TEN HF9 V u v o w t t t ± t, t Rättigsmall: Estaka räkefel -p aars rätt eller fel. b lterativ : Om lijera skär varadra i e pukt,, då fis det, och som satisfierar alla ekvatioer a som vi ka skriva som fra ekvatioer: ekv, ekv a ekv ekv Vi substituerar och i tredje och fjärde ekv och får: a ekv och ekv Frå ekv har vi / som efter subst i ekv ger /a8/ och a / b lterativ : Skriv om lijeras ekvatio på parameterform t a s s L : t, L : t där s och t är reella tal. s Eftersom lijera skär varadra så,, s 8 t s och ekvatiossstemet har lösige: t s t 8 Isättig i a a Och därmed är skärigspuktes koordiat: P,, Rättigsmall: Rätt kostat a p, rätt skärigspukt P p. slutlige Uppgift

6 TEN HF9 a Lös följade matrisekvatio, där är e okäd matris: C om, och C p b estäm iverse till följade matris: p Lösig: a. Lös först ut matrise i ekvatioe: C C C C C Nu ka ma sätta i siffervärde i slututtrcket för matrise : C b. Vi iverterar återige med Jacobis metod: elimiera uppåt och edåt frå huvuddiagoale på väster sida multiplicera radera med lämpliga tal 9 8 9

7 TEN HF Iverse blir alltså: Svar: a b Rättigsmall: Korrekt a dele ger p. Korrekt b dele ger p. Uppgift. För vilka värde på parameter har följade lijära ekvatiossstem, med obekata,, och, e etdig lösig, dvs. eakt e lösig? 8 7 Vi beteckar sstemets determiat med D. Sstemet har e etdig lösig, dvs. eakt e lösig om och edast om D D [87] [8] [7] för alla SLUTSTS: D oavsett värdet på. dvs det sakas som gör att detta sstem får etdig lösig.

8 TEN HF9 Rättigsmall: Rätt räkat p. Rätt slutsats p till. Det otdliga svaret: Det fis ige lösig ger poäg om rätt räkat.. Uppgift. Givet två parallella lijer L och L : t L : t, L : t s s s a estäm avstådet det kortaste avstådet mella dessa parallella lijer L och L. p b ge ekvatioe för det pla som iehåller de två parallella lijera L och L. p Lösig: a Lijeras riktigsvektor är r,, Välj e godtcklig pukt t.e. P,, frå de ea lije L som avstådet frå dea pukt till de adra lije, L skall bestämmas. E godtcklig pukt t.e. P,, -/ frå de adra lije L skall äve väljas. P P,, v D där vektor v är de ortogoala projektioe av vektor P P i lijes riktigsvektor, meda avstådet ges via beloppet av vektor D r.,, o,, r o PP v r,, r r D PP v,,,,, 9 9 r D Rättigsmall: Rätt vektor D r p, rätt belopp t e b Frå a-dele: r,, och P P,, P P r plaets ormal,, Plaets ekvatio är: 7, 9,, 7 9 vstådet 9 D 7 7 ger p. 8

9 TEN HF9 9,, d ger P d d c b a Rättigsmall: Rätt ormalvektor p, rätt plaets ekvatio p.

Relevanta dokument

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på