Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva. Svar. I ärete av x gäller att f x) 5 x, f ), f x) x, f ). Tagete ar därför ekvatioe y x ) 9 x.. Bestäm gräsvärdet x si x L lim x 0 e x x x cos x geom att Maclauriutveckla de igåede fuktioera. Svar. Vi får { x x x L 3 /6 + Ox 5 )) lim x 0 + x + x / + x 3 /6) x x x / + Ox )) x3 /6 + Ox 5 ) x 3 /6) + Ox )) + } Ox ) + Ox) Bestäm f ) om f x) x + x+.

2 Svar. Vi ar f ) oc l f x) x + ) l x +. Logaritmisk deriverig ger { f x) f x) D l f x) x + } + l x + f x) + l x + ) x + Alltså ar vi f ).. Beräka itegrale I dx x + x Svar. Vi gör substitutioe u x, x u, dx u du oc får u du du I u + u u + C + lu + ) C + l + x) 5. Beräka itegrale I l x x dx. Svar. Partiell itegratio ger I x l x dx [ x l x ] x x dx [x l + { x x x dx } ) x ] x 6. Beräka itegrale x x + ) dx. ) Svar. Vi partialbråksutvecklar itegrade: x x + ) A x + B x + C Axx + ) + Bx + ) + Cx x + x x + ) A + C)x + A + B)x + B x x + ) oc får ekvatiossystemet 0 A + C, 0 A + B, B med lösige A, B, C. Alltså ar vi x x + ) x + x + x + frå vilket följer att x x + ) dx x + x + ) dx C l x + l x +. x + x

3 7. Visa att fuktioe f x) x x + ar ett mista värde, me sakar största värde, på itervallet < x. Svar. Vi ar f x) x 0 då x oc får tecketabelle x + f x) f x) 3 3 Av dea framgår att y f x) atar miimum y 3, då x, oc att värdemägde y < 3. Något maximum atas alltså ite. är 3 8. Lös differetialekvatioe xy y x 3 e x. Svar. Det är är fråga om e lijär differetialekvatio av första ordige med stadardforme y x y x e x Vi ar gx) x, Gx) l x l x så e itegrerade faktor är expgx)) expl x ) x. Efter det att ekvatioe multiplicerats med de itegrerade faktor ka de skrivas d [ ] x y x x e x x e x dx Lösige till de sista ekvatioe ges av x y x e x dx C + ex Alltså ar vi y x C + e x) 9. Lös differetialekvatioe y y xy + y, y0). Svar. Ekvatioe är separabel oc lösige ges av y y dy x + ) dx x + x + C) Alltså y ) y x + x + C) Här ska äve gälla att y0) C C Lösige är alltså y x + x + ). 0. Lös differetialekvatioe y + y + y e x IH).

4 Svar. Motsvarade omogea ekvatio y + y + y 0 ar de karakteristiska ekvatioe 0 r + r + r + ), med röttera r r. De allmäa lösige till de omogea ekvatioe är därför y Ax + B) e x. För e partikulärlösig gör vi asatse y y p a e x, y a e x, y a e x, vilket ger e x y + y + y a a + a) e x a e x Alltså ar vi a, y p e x. Allmäa lösige till IH) är y y p + y e x + Ax + B) e x. Avgör kovergese os serie Svar. Kojugatförlägig ger + a ) ). + + Vi väljer därför att försöka jämföra med serie b där b. Dea serie är koverget eftersom 3 >. Vi ar 3/ a b ) + + ) + + +, då. Eftersom < oc b är koverget, så ger u Grästestet att a är koverget. SVAR: Serie är koverget.. Låt f x) 3x + l x 3, x > 0. Visa att f är iverterbar samt bestäm f ) 3), dvs iverses derivata i pukte 3. Svar. Eftersom f x) 3x + l x), så ar vi derivata f x) 3 x + ). Eftersom x f x) > 0 för alla x > 0 så är f strägt växade. Det följer att varje fuktiosvärde edast ka atas e gåg, så att f är ett-till-ett oc därför iverterbar. Iverses derivata i pukte 3 är f ) 3) f a)

5 där a uppfyller att f a) 3. Vi beöver alltså itta a så att 3a + l a) 3, dvs så att a + l a. Vi ser att a passar bra. Eftersom f ) 3 + ) 9 så ar vi u SVAR: f ) 3) 9. f ) 3) f ) 9. Del B 3. Låt D vara det område i xy-plaet som begräsas av kurva y l x, x-axel oc lijera x oc x e. Beräka volyme av de kropp som geereras då D roterar krig a) x-axel, b) y-axel. Svar. a) Skivformel ger volyme e π l x) dx som vi löser med partiell itegratio där vi väljer f π oc g l x). Då är f πx oc g l x, oc volyme blir x [πx l x) ] e e πx l x x dx e e ) πe π l x dx π e l x dx Nu gör vi ytterligare e partiell itegratio, med f oc g l x, oc får e ) e π e l x dx π e [x l x] e x )) x dx e ) π e [x l x] e + dx π e e + [x] e ) π e + e ) π e ). b) Vid rotatio krig y-axel aväder vi skalformel, oc partiell itegratio: e [x V πx l x dx π l x ] e e x ) x dx e ) [ ] x π e x dx π e e ) e π e )) e π + ) π e + ). SVAR: a) π e ). b) π e + ).

6 D e D begräsas av kurva y l x, x-axel oc lije x e.. Rita kurva y + x. Beräka extremvärde oc asymptoter. Age itervall där kurva är kovex eller kokav. + x ) Svar. Vi börjar med att studera kurva för x 0. Då är y + x + x + + x. Derivatora är för x > 0) y + x) < 0 oc y + x) 3 > 0, så y är strägt avtagade oc kovex till öger om 0. För x < 0 gäller att y + x x x Derivatora blir för x < 0) x x y 6 x) > 0 oc y x) 3 > 0, så kurva är sträg växade oc kovex till väster om 0. Eftersom lim y lim + ) oc lim x x + x y lim + 6 ), x x x så är lije y e orisotell asymptot till öger, oc lije y e asymptot till väster. Hur ser kurva ut ära x 0? Vi udersöker om de är deriverbar geom att y) y0) titta på differeskvote. Eftersom y0), så ar vi för > 0 y) y0) ) + ) + ) + då 0+. För < 0 ar vi i stället y) y0) + + ) ) 3 ) 3 3 då 0. Vid x 0 är alltså väster oc ögerderivata ite lika, så fuktioe är ite deriverbar där kurva ar ett ör där). Eftersom y är strägt växade till väster oc strägt avtagade till öger om x 0, så atar y sitt största värde vid x 0.

7 SVAR: Globalt maximum vid x 0, med värdet. Asymptot till öger: y. Asymptot till väster: y. Kovex i både, 0] oc [0, ). 5. Ett skåp ar yllor i form av alvcirklar med radie R på avstådet a frå varadra. Bestäm volyme av de största rektagulära box som får plats på e ylla. Hur stor del av de tillgägliga volyme mella två yllor fyller dea box? ) Svar. Låt lådas bottesidor vara b oc c, se figur. c R b Lådas volym är V a b c, me c R b, så vi ka skriva volyme som e fuktio av b a oc R är kostater giva i uppgifte): Derivata av V fås av produktregel: Vb) ab R b, 0 < b < R. V b) a R b b + ab R b a R b R b, så V b) 0 R b b R. Ma ser att V b) > 0 för 0 < b < R, oc V b) < 0 för R < b < R. Alltså är b 0 R e global maxpukt. Eftersom b 0 R, så är R b0 R, oc de maximala volyme av boxe blir ) R V ab 0 R b0 ab 0 ab R R 0 a ar.

8 De tillgägliga volyme mella två yllor är πr a, varför de efterfrågade adele blir ar πr a π. SVAR: Maximala volyme av boxe är ar, som utgör adele av de tillgägliga π volyme på ylla. 6. För fuktioe f gäller att f x) ex för x > 0, meda f x) ax + b för x 0. x Bestäm kostatera a oc b så att f blir kotiuerlig oc deriverbar överallt. ) Svar. Ma ser direkt att f är kotiuerlig oc deriverbar för alla x 0. För att f ska vara kotiuerlig i x 0 krävs att ) f 0) är defiierad oc ) f 0) lim f x). Vi ar x 0 f 0) b. Eftersom lim x 0 f x) lim + b) b, så krävs alltså att äve lim x 0 ax f x) x 0 + e x lim b. Med Maclauriutvecklige e x + x + O x ) får vi x 0 + x e x + x + O x ) lim lim lim + O x)), x 0 + x x 0 + x x 0 + oc alltså krävs för kotiuitet att b. f ) f 0) Deriverbarete vid x 0 studeras med differeskvote. Deriverbaret medför kotiuitet, så vi ar b f 0). Västergräsvärdet av differeskvote blir f ) a + b a + lim lim lim lim a a. 0 Gräsvärdet frå öger blir f ) lim 0 + lim 0 + lim 0 + e + O ). e + + lim 0 + lim + O 3) 0 + För att f ska vara deriverbar i x 0 krävs alltså att a oc b. SVAR: För kotiuitet krävs b. För deriverbaret krävs a oc b. a oc b.