Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt 5 poäg För betyg, 4, 5 krävs mist 8, 5 respektive poäg Lösigara skall vara försedda med motiverigar Påbörja varje uppgift på ytt papper och skriv edast på papperets ea sida Problem löses edast om Du hade färre ä poäg på dugga som gavs 9 5 Låt a och b vara två reella tal Bestäm a och b så att fuktioe { + l, e f) a + b, < e blir deriverbar i pukte e Problem löses edast om Du hade färre ä 5 poäg på dugga som gavs 9 5 Beräka, om det eisterar, gräsvärdet arcta si cos) Låt f) e Skissera kurva y f), med agivade av defiitiosmägd, lokala etrempukter, koveitetsegeskaper, samt evetuella asymptoter 4 Beräka itegralera a) π/ cost + si dt b) t + d 5 Lös differetialekvatioera a) y + y 4y + b) + )y y +, med begyelsevillkoret y) 6 Låt D vara det område i y plaet som ges av y e, l Beräka volyme hos de kropp som alstras då D roteras ett varv rut y ael 7 Avgör om följade serier är kovergeta eller divergeta: a) b) si ) 4 8 E ste släpps i e damm, meter frå ärmaste ladremsa, och orsakar e cirkelformad våg Våge fortplatar sig på så sätt att förädrige av area iaför våge är proportioell mot rote ur radie hos cirkel det vill säga proportioell mot r, där r är cirkels radie)

2 a) Härled ett uttryck som beskriver våges utbredig b) Vid e viss tidpukt, då area iaför våge är π m, ökar area med m per sekud Hur låg tid efter det att stee träffat vatteyta kommer våge att å lad? Lycka till!

3 Svar till tetame i Evariabelaalys, hp Om f är deriverbar, så är de äve kotiuerlig För att f skall vara kotiuerlig i e krävs att f) fe) Vi har att e f) fe) + l) och f) a + b) ae + b e+ e+ e e Alltså måste vi ha att ae + b För deriverbarhet krävs att höger och västerderivatora eisterar, och är lika, det vill säga fe + h) fe) fe + h) fe) h h h + h Vi får Vidare är fe + h) fe) + le + h) + le) le + h) le) h + h h + h h + h eligt ova är ae + b ) Alltså måste d d l) e e fe + h) fe) ae + h) + b ae + b + ah h h h h h h ah h h a a e och ae + b a e och b McLauriutvecklig ger arcta si cos) ) + O5 )! + O 5 )! + O4 ) )) 6 + O5 ) + O5 ) 6 + O ) + O ), Defiitiosmägd: Fuktioe är uppebarlige defiierad för alla R Speciellt fis då iga lodräta asymptoter Lokala etrempukter: Då f är deriverbar i alla pukter, så fis evetuella lokala etrempukter blad de statioära puktera, det vill säga där f ) Vi får f ) e 4 ) ± Vi ser också att f ) 4 ) + ) e, och teckestudium av f ger att / är ett lokalt miimum och / ett lokalt maimum, f / ) e / och f/ ) e / Koveitetsegeskaper: Vi får f ) 4e ) eller ±

4 Faktoriserig av f ger f ) 8e ) + ) Alltså är f ) > det vill säga kove) för / < < och > /, och f ) < det vill säga kokav) för < / och < < / Teckestudium av f och f IF eda står för ifleiospukt): f ) f ) f) ց IF ց mi ր IF ր ma ց IF ց Asymptoter: Några lodräta fis ej, eligt ova Vi ser att så y är vertikal asymptot i ± Grafe: Ritad för 4 4) f) ± ± e, K4 K K K 4 K K4 K6 K8 4 a) Byt variabel: u sit, ger du costdt, och t, t π/ ger u respektive u π/ cost b) Partialbråksuppdela itegrade: si t + dt ) ) A + arcta π 9 B + + du u + [arctau] C A, B, C

5 Alltså är + d ) d l +l + +l +C l där C är e godtycklig, reell kostat +C, 5 a) De homogea ekvatioe har karaktäristisk ekvatio r +r 4 ± 5 Homogea lösige är alltså y h c e + c e 4, där c, c R För att hitta e partikulärlösig asätts y A + B Isatt i ekvatioe ger dea asats y + y 4y A 4A + B) 4A + A 4B + A, B 5 8 Lösige är alltså y y h + y p c e + c e b) Dea är lijär, första ordige, och ka skrivas Itegrerade faktor är µ) e R y + y + + d e l+) Vi får, efter multiplikatio med µ), ) d d + y + + y + arcta + C, + där C R är e godtycklig kostat Alltså är y + arcta + C) Begyelsevillkoret y) ger arcta + C C, det vill säga C, vilket ger 6 Låt f) e Vi får att volyme är två partiella itegratioer) π [ e ] l V π l l e d y + arcta + ) ) f)d π π l l ) e d [e ] l l e d π l ) 4 l + [e ] l ) π l ) 4 l + ) 4πl ) 7 a) Vi får uppskatta ämare med , om ): )) Eftersom diverget är termer i e diverget serie, så ger jämförelsekriteriet att de giva summa är

6 b) Eftersom så får vi att si t, t t si si Detta medför att si om är stort Vi får för tillräckligt stort) si ) 4 4 4, där vi också avät olikhete 4 4 som gäller om > ) Alltså är si ) 4 4, och eftersom är termer i e koverget serie, så kovergerar de giva serie 8 a) Area hos cirkel är A πr Vi har dessutom att da dt k r, där k > Alltså är observera att rt) ej är idetiskt, på grud av problemets atur) k r da dt d dt πr ) πr dr dt rdr k π dt r/ kt kt π + C rt) 4π + C ) /, där C > är e godtycklig kostat Ma ka förstås också beskriva våge utbredig geom att age At) πrt) kt 4π + C ) 4/ b) Sätt A π och A Låt t vara de tidpukt då At) A π och A t) A Vi får A) A πr) A r) π Detta ger Vidare är r) Isatt i uttrycket för rt) i uppgift a) ger detta ) / C C A ) A k r) k A r) rt) kt 4π + C ) / Stee träffade vatte yta då rt ), det vill säga rt ) ) / t π + t π + ) / t π

7 Våge år lad då rt ), det vill säga Alltså träffar våge lad sekuder efter edslaget rt ) ) / t π + t / ) π t t / ) π + π π / π