TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN kl Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara väl motiverade och så utförliga att räkigara och de bakomliggade takara är lätta att följa. Lösigara skall reskrivas och avslutas med ett tydligt svar som skall vara så föreklat som möjligt. Betygsgräser: Betyget E: poäg, betyget D: poäg, betyget C: 5 poäg, betyget B: 7 poäg, betyget A: poäg ( av ma 0 p) betyget F: 8 p. rätt till kompletterigstetame de 5 maj kl 8.5-0:00 Dea tetameslapp lämar du i tillsammas med dia lösigar. Uppgift. (3p) Frekvesfuktioe f () för e stokastisk variabel ξ är a, 0 0 för övrigt a) Bestäm kostate a. b) Bestäm fördeligsfuktioe c) Bestäm vätevärdet E(ξ) Uppgift. (3p) Låt P ( A) 0.3, 0.4 och C A B ) 0. a) Bestäm A b) Bestäm A c) Avgör om A och B är oberoede hädelser och motivera ditt svar. Uppgift 3. (p) I e fabrik fis 8 maskier som arbetar oberoede av varadra. Saolikhete för driftstopp uder e dag är för var och e av maskiera 0.0. Vad är saolikhete att a) eakt 3 b) mist av maskiera stoppar uder e viss dag? Uppgift 4. (p) Vid e automatförpackig av ke placeras dessa itill varadra mella två stöd, där stödavstådet är 0 cm. Tjockleke hos kee ka ases N(, 0.5) Vad är saolikhete att kepaketet iehåller åtmistoe ke. Var god väd! av 6

2 Uppgift 5. (p) Bestäm vätevärde och stadardavvikelse för volyme av e cylider då du vet att (bascirkels) radie ξ och höjde η är stokastiska variabler för vilka gäller: E( ξ ) m σ 0,03m E( η) 4m σ 0, 05m ξ η (lägdehet är meter m). Uppgift 6. (p) Låt (0, ) och (4, ) vara oberoede samt Bestäm de betigade saolikhete att >3 givet att < <5, dvs bestäm ( > 3 < < 5 ). Uppgift 7. (3p) Vid e udersökig av hålfasthet hos tegel av typ A och tegel av typ B erhölls följade observatioer ( i lämpliga eheter) Typ A 63, 64, 6, 6, 66 Typ B 6, 65, 63, 60, 63, 64, 68 Udersök om det fis ågo skillad mella de två typer, typ A och typ B, geom att bestämma ett 5% kofidesitervall för skillade mella medelvärdea, μ μ. Motivera ditt svar. Uppgift 8. (3p) Frekvesfuktioe f () för e stokastisk variabel ξ är a + a) Bestäm eakt värde för kostate a. b) Bestäm fördeligsfuktio för ξ. c) Visa att vätevärdet för ξ ite eisterar. Lycka till! av 6

3 Lösigar/facit Uppgift. (3p) Frekvesfuktioe f () för e stokastisk variabel ξ är a, 0 0 för övrigt a) Bestäm kostate a. b) Bestäm fördeligsfuktioe c) Bestäm vätevärdet E(ξ) a) 0 a d a 3 3/ 0 8a a 8 b) 0, 3/ F ( ), 7, < 0 0 > 3 / 5 / 7 c) E(ξ) d 8 d 8 8 5/ Uppgift. (3p) Låt P ( A) 0.3, 0.4 och C A B ) 0. a) Bestäm A b) Bestäm A c) Avgör om A och B är oberoede hädelser och motivera ditt svar. C a) P ( A A) A B ) 0. ( rita grafe!) b) P ( A A) + A 0,3 + 0,4 0, 0. 5 c) P ( A 0., P ( A) 0. Ej oberoede eftersom A A) Uppgift 3. (p) I e fabrik fis 8 maskier som arbetar oberoede av varadra. Saolikhete för driftstopp uder e dag är för var och e av maskiera 0.0. Vad är saolikhete att a) eakt 3 b) mist av maskiera stoppar uder e viss dag? a) eakt 3) , b) mist ) - ( ) av 6

4 Uppgift 4. (p) Vid e automatförpackig av ke placeras dessa itill varadra mella två stöd, där stödavstådet är 0 cm. Tjockleke hos kee ka ases N(, 0.5) Vad är saolikhete att kepaketet iehåller åtmistoe ke. Låt ξ k vara lägde av ke ummer k och η ξ + ξ + L + ξ Då gäller (, 0.5 ), d v s (8,.5) Kepaketet iehåller åtmistoe ke om ( 0) (0) ( ) 0..5 Uppgift 5. (p) Bestäm vätevärde och stadardavvikelse för volyme av e cylider då du vet att (bascirkels) radie ξ och höjde η är stokastiska variabler för vilka gäller: E( ξ ) m σ 0,03m E( η) 4m σ 0, 05m ξ η (lägdehet är meter m). g g 5. g( ξ, η) π ξ η πξη och πξ.566 ξ η E ( g( ξ, η)) g( μ m, μ) π 4 6π g g V ξ η 6 ( g( ξ ; η)) ( ) σ ξ + ( ) ση (50.65) (.566) m σ m 3 Uppgift 6. (p) Låt (0, ) och (4, ) vara oberoede samt Bestäm de betigade saolikhete att >3 givet att < <5, dvs bestäm ( > 3 < < 5 ). ( ) ( ) (,.88) 4 av 6

5 Om vi beteckar med A hädelse >3 och med B hädelse < <5 Då gäller 3 < < 5 och ( ) ( ) ( ) (3 < < 5 ) ( < < 5) (5) (3) (5) () 0.44 (eftersom (5) ( ) , (3) och () ). Svar: ( > 3 < < 5 ) 0.44 Uppgift 7. (3p) Vid e udersökig av hålfasthet hos tegel av typ A och tegel av typ B erhölls följade observatioer ( i lämpliga eheter) Typ A 63, 64, 6, 6, 66 Typ B 6, 65, 63, 60, 63, 64, 68 Udersök om det fis ågo skillad mella de två typer, typ A och typ B, geom att bestämma ett 5% kofidesitervall för skillade mella medelvärdea, μ μ. Motivera ditt svar. Vi aväder formel för kofidesitervall för μ μ med kofidesgrad α : σ okät y t α / ( + ) σ +, y + t α / ( + ) σ + där σ ( ) σ + ( ) σ + y Här har vi två stickprov som har medelvärde 63.0, y 63.57; variaser σ 3.7 och σ y 6.857; och stadardavvikelser..5 ( ) σ + ( ) Därför σ y σ.6 + t α / ( + ) t α / (0).8 Substitutioe i formel ger itervallet KI[ -3.36,.68] Eftersom 0 ligger i itervallet ka vi INTE påvisa skillade mella TypA och TypB-tegel. 5 av 6

6 Uppgift 8. (3p) Frekvesfuktioe f () för e stokastisk variabel ξ är a + a) Bestäm eakt värde för kostate a. b) Bestäm fördeligsfuktio för ξ. c) Visa att vätevärdet för ξ ite eisterar ) + [ ] [ ( )] b) F() ( ) ( ) ( ) + c) ( + ( ) ) Alltså vätevärdet för ξ eisterar ite. ( är ite ett reellt tal). 6 av 6