Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Transkript

1 Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med approximatiosschema) och tabellsamlig (dessa skall retureras). Ege miiräkare. Asvarig lärare: Catri Bergkvist, telefo Övrigt: För att få maximala 10 poäg på e uppgift krävs att atagade och motiverigar oga ages samt att lösige äve i övrigt är så utförlig att de uta svårighet ka följas! För betyget Godkäd krävs mist 40 poäg, för betyget Väl Godkäd krävs mist 60 poäg. Uppgift 1 Tabelle edaför visar lägde av 80 bultar tillverkad av e maski (A) uder 4 timmar på ett visst företag. Bultara utvaldes på ett slumpmässigt sätt. Klassgräser (i mm) Frekves 30 x < x < x < x < x < 40 a) I vilke dataivå ka vi klassificera ovaför observatioer? Dvs. Nomialskala, ordialskala, itervallskala eller kvotskala? b) Redovisa materialet i ett lämpligt digram. c) Beräka medelvärdet. d) Beräka stadardavvikelse. På samma företag fis det e aa maski (B) som också tillverkar bultar. På likade sätt som ovaför geomfördes e udersökig av lägde av bultara; medelvärdet var 50mm och stadardavvikelse 13mm. e) När det gäller lägde av bultara, ka vi lita mer på kvalitet av maski A ä maski B? Dvs. Fis det större spridig i lägde av bultara tillverkad av maski A jämfört med maski B? Motivera ditt svar geom att beräka och tolka variatioskoefficiete för maski A och B (coefficiet of variatio, CV).

2 Uppgift I e statistikkurs för företagsekoomer förekommer e frivillig ilämigsuppgift. I e klass på 60 studeter var det 0 % som lämade i ilämigsuppgiftera. Tre stycke studeter som lämat i ilämigsuppgifte klarade ite tetame vid första tillfället. Totalt klarade 70 % av studetera tetame. Beräka saolikhete att e studet, givet att ha/ho lämat i ilämigsuppgifte, klarar tetame. Uppgift 3 a) Formulera Cetrala gräsvärdessatse. b) Förklara skillade mella praktiskt sigifikas (dvs. relevat sigifikas ) kotra statistisk sigifikas. c) Vilket kofidesitervall är bredast, ett med e 99 % kofidesgrad eller ett med e 90 % kofidesgrad (allt aat lika). Motivera. σ d) Härled V ( x) =, där V ( x) = σ. Uppgift 4 I Göteborg fis det ett motioslopp på 1 km som kallas Göteborgsvarvet. I år så är det 5 års jubileum och ma hoppas därför extra mycket på att det ska bli barekord. Tidigare år så har ma haft följade bästa tider; År Viar tid Atag att det fis ett lijärt sambad mella år och viartid (mi), dvs att y=a+xb, där y beteckar viartide, x året och a respektive b är kostater. a) Skatta a och b. b) Är det ett egativt eller positivt sambad (motivera). c) Skatta viartide d) Är det okej att utifrå de skattade regressioslije progostisera årets tid? Uppgift 5 I april 00 rapporterades det att det fis farliga mägder akrylamid i chips. De geomsittliga kosumtioe av chips per vecka och per perso var 50 gram. Nu ville ma mäta om kosumtioe påverkades av larmet. E måad efter rapporte så frågade ma 100 slumpmässigt utvalda persoer om de har miskat si kosumtio till följd av larmet. Låt X betecka atal persoer som miskat si kosumtio. a) Age de teoretiska fördelige för X. b) Det visar sig att 61 % har miskat si kosumtio. Beräka ett 90 % kofidesitervall för adele persoer som miskat kosumtioe. c) Tolka itervallet, ka vi påvisa e miskig?

3 Uppgift 6 I e hotellhiss fis e skylt med texte; Högst 8 persoer eller 900 kg. I stade pågår det e brottigstävlig i de tygre klassera. Vikte för e brottare ka ases följa e ormalfördelig. a) Fem slumpmässigt utvalda brottare väger; 106 kg, 115 kg, 104 kg, 11 kg, 114 kg. Beräka ett 95 % kofidesitervall för vätevärdet (ata att stadardavvikelse är 5 kg). b) Beräka saolikhete att de sammalagda vikte för 8 brottare som kliver i i hisse ite överstiger gräse på 900 kg om vätevärdet är 110 kg och stadaravvikelse 5 kg. Deltagaras vikter är oberoede. Uppgift 7 Ett el-bolag har udersökt data frå de seaste åre för at se hur låg tid det tar kudera att betala el-fakture. Det visade att betaligstide var ugefär ormalfördelad med medelvärde 5.8 veckor och stadardavvikelse.3 veckor. Chefe asvarig för redovisige fick uppdraget att miska kuderas betaligstid; ho har itroducerat ett ytt system där kude får betala 5% räta per vecka om fakture ite betalas iom tre veckor. Chefe öskar u udersöka om geomsittsbetaligstide har miskat. I ett stickprov omfattade 10 kuder, som hade fått e av de ya fakturora, hade betaligstide miskat till 4.9 veckor i sitt. Fis det tillräckligt bevis för att kua säga chefe har ått företagets mål? Dvs. Testa om geomsittsbetaligstide har miskat med det ya systemet. a) Sätt upp hypotesera för testet. b) Age hur du skall räka ut testvariabel. Vilka fördelig har de? c) Age beslutsregel för testet. d) Räka ut observerat värde på testvariabel. e) Formulera slutsatse. Fis det tillräcklig bevis för att kua säga chefe har ått företagets mål? Uppgift 8 E stor fackföreig plaerar e strejkaktio. De vill rådfråga sia medlemmar först för att se om det fis tillräckligt stöd blad medlemmara för strejkaktio, dvs. mer ä 50% av medlemmara måste rösta för strejkaktio, ågot midre kommer ite vara og. E opiiosudersökig geomfördes blad e slumpmässig utvald grupp av medlemmara; av de 60 udersökta, var 37 för strejke. Gå det att avgöra om röstige ge ödvädigt majoritet för strejkaktio? a) Beskriv kortfattat hur du ka aväda ett hypotestest för att svara på dea fråga. b) Sätt upp hypotesera för ett, i detta sammahag, lämpligt statistiskt test. c) Ta fram kritisk gräs där sigifikasivå är 5% och formulera beslutsregel tydligt. Illustrera med ett lämpligt diagram. d) Räka ut observerat värde på testvariabel. e) Formulera slutsatse så att ågo som ite läst statistik ka förstå det hela. Var som valigt oga med att age motiverigar och alla evetuella atagade du gör!

4 STA A10 tetame 04036, lösigar Uppgift 1 Vi har klassidelad data i e frekvestabell. För att räka ut medelvärdet och stadardavvikelse vi måste aväda klassmitte som vår x i Klassgräser f (i mm) 30 x < 3 10 Klassmitt: x m fx fx m = = = 31 3 x < x < x < x < Summa: f = = 80 i= fx = 7 1 i = fx i 1 i =9880 a) Kvotskala: det är meigsfullt att bilda kvoter, värdet oll ka ite uderskridas. b) Ett histogram, eftersom det är kotiuerliga data. m 40 Ett histogram som visar lägde av 80 bultera tillverkad av maski A Frekves Lägde av bultara tillverkad av maski A (mm)

5 x = s c) Stickprovsmedelvärdet i= xi fxi 1 i= 1 7 = = = 34,03mm 80 d) Stickprovsstadardavvikelse. ( fx ) i= 1 i ( x x) fxi i= 1 i i= 1 = = 1 1 s = s = 3,34 = 1, 83mm (7) 9880 = = 3,34mm e) Eftersom medelvärdea är lågt ifrå varadra, och data är i samma eheter (mm), ka vi aväda CV för att jämföra spridig i lägde av bultara. (Vi ka aväda CV eftersom vi har data på kvotskaleivå). sa 1,83 CV A = ( 100) = (100) 5% xa 34,03 sb 13 CV B = ( 100) = (100) 5% xb 50 Det fis ige skillad i relative spridig i lägde av bultara frå maski A och B. Uppgift T- klarar tetame I- lämar i ilämigsuppgifte I I* T *0.7=4 T* *0.= P ( ) ( T I ) 9 P T I = = = 0.75 P I 1 ( ) Uppgift 3 a) Sid. 78 i boke b) Om ma har tillräckligt måga observatioer så ka ma hitta e sigifikat skillad. Dea skillad behöver ite ha ågo praktiskt betydelse dock! c) Ett 99% kofidesitervall är säkrare ä ett 95%, dvs. det är bredare. x V ( x) σ σ d) V ( x) = V = = =

6 Uppgift 4 X-årtal Y-viartid = 6 x = x = y = 38 y = 4334 xy = a) [13-5] ger ˆ b = = = [13-6] ger a ˆ = bˆ11930 = b) Ett egativt sambad, ty lutige är egativ. c) y ( 1984) = = d) Nej, det är alltid vaskligt att skatta värdet utaför datamägde! Uppgift 5 a) X- atal persoer som miskat si kosumtio av chips. X är bi(,p)- fördelad. pˆ(1 pˆ) b) Ι : ˆ p p ± z = [ 0.53;0.69] där z=1.645 c) Med 95 % saolikhet så har mella 53% och 69% miskat si kosumtio. Uppgift 6 X- vikte hos e brottare. a) x = 551 = 5 z = 1.96 Ι µ = x ± z σ = [ 105.8;114.6] b) X N P( X < 900) X N P ( µ, σ ) = P ( µ, σ / ) 900 ( < 900) = X X P < = P( X < 11.5) X µ = P < 1.41 = σ / X µ < = 5 8 P σ 8 X µ < 1.41 = σ X µ = P < = σ / 5/ 8

7 Uppgift 7 a) Sätt X = atal veckor det tar kudera att betala el-faktura H 0 : Det vi försöker motbevisa, geomsittsbetaligstide har ite ädrats uder det ya systemet. H 1 : Vi misstäker att geomsittsbetaligstide har miskat uder det ya systemet. H : µ = 5,8 0 H1 : µ < 5,8 Det är ett esidigt test (väster sida). b) Betaligstid är Normalfördelad X N( µ = 5,8; σ =,3), populatiosstadardavvikelse är käd. Eligt CGS (populatioe är Normalfördelad x är Normalfördelad för 1): x µ x 5,8 så vore testvariabel z = = exakt ormalfördelad, Z är N(0,1). σ,3 c) Välj e lämplig sigifikasivå: α = 5% (esidigt test, väster sida). P ( Z < z) = 0.05 z α = = 1,645 {Frå N(0,1) tabelle} Beslutsregel: Om testvariabel (z) ligger i det kritiska området då förkastar vi H 0. Dvs. Om z<-1,645 förkasta H 0. (Illustrerar med ett diagram som visar där vi ka och ka ite förkasta H 0 ). x 5,8 4,9 5,8 d) Testvariabel: z = = = 1, 37,3,3 10 Det ligger ite tillräckligt lågt ut i väster svase för att kua förkasta ollhypotese. e) På 5% sigifikasivå, vi ka ite förkasta H 0, det fis ite tillräckligt bevis. Vi har ite, med 95% säkerhet, lyckats bevisa att chefe har miskat geomsittsbetaligstide av el-fakture.

8 Uppgift 8 a) Se boke Kap.10. b) Sätt X = atal medlemmara som rösta för strejkaktio H 0 : Det vi försöker motbevisa, det fis ige stöd blad medlemmara. H 1 : Vi misstäker att det fis tillräcklig stöd blad medlemmara, dvs. mer ä 50%. H : π 0,5 (eller midre ä 50%) 0 = H 1 : π > 0,5 c) Tumregel uppfylld: X Bi(60;0,5) π > 5och ( 1 π ) > 5 CGS gäller: p π p 0,5 testvariabel z = = exakt omalfördelad, Z är N(0,1). π (1 π ) 0,5 Sigifikasivå: α = 5% (esidigt test, höger sida). P ( Z > z) = 0.05 z1 α = = 1,645 {Frå N(0,1) tabelle} Beslutsregel: Om testvariabel (z) ligger i det kritiska området då förkastar vi H 0. Dvs. Om z>1,645 förkasta H 0. (Illustrerar med ett diagram som visar där vi ka och ka ite förkasta H 0 ). x 37 d) p = = ,5 p 0,5 Testvariabel: z = = 60 = 1, 807 0,5 0,5 60 Det ligger i höger svase, vi ka förkasta ollhypotese. e) På 5% sigifikasivå, vi ka förkasta H 0, det fis tillräckligt bevis. Vi har, med 95% säkerhet, lyckats bevisa att medlemmara kommer att rösta för strejkaktio. Kom ihåg att urvalsresultat är bara e sap shot av opiio dea dag. Medlemmara var kaske ite ärlig med deras svar, eller de kaske kommer att ädra opiio är det kommer till valdage. Om vi tar 1% sigifikasivå, vi ka ite förkasta H 0. Beviset är ite särskilt stark. Sigifikasivå: α = 1% (esidigt test, höger sida). P Z z) = 0.01 z,36 {Frå N(0,1) tabelle} ( > 1 α = =