Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Transkript

1 Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: Hjälpmedel: Miiräkare Totalt atal poäg på tetame: 50 För att få respektive betyg krävs: G = 5 poäg VG = 37.5 poäg Allmäa avisigar: Nästkommade tetamestillfälle: februari 016 Rättigstide är i ormalfall 15 arbetsdagar, aars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm ite att skriva Tetameskod på alla blad du lämar i. Lycka till! Asvarig lärare: Sara Loré Telefoummer: ,

2 Fråga 1: (7p) a) Vad meas med e ivå iom försöksplaerig? (1p) b) Vad meas med e huvudeffekt iom försöksplaerig? (1p) c) Vad meas med e experimetehet iom försöksplaerig? (1p) d) Ge exempel på är det är bra att aväda blockig iom försöksplaerig. (1p) e) Beskriv skillade mella ett balaserat försök och ett obalaserat försök. (1p) f) Förklara vad pseudo-replikat är för ågot iom försöksplaerig. (1p) g) Vad vier ma på att radomisera försöksordige? (1p) Fråga : (8p) a) Förklara skillade mella e fix faktor och e slumpmässig faktor. (p) b) Vad aväder ma ANOVA till och vad är det ma jämför med varadra. (p) c) Vad är e outliers och hur ka ma upptäcka e outliers. (p) d) Vad är heteroscedasticitet? Hur ka ma upptäcka heteroscedasticitet? (p) Fråga 3: (6p) a) Beskriv skillade mella ett reducerat faktorförsök och ett fullstädigt faktorförsök? (p) b) Näm e fördel och e ackdel med reducerade faktorförsök (p) c) Iom reducerade faktorförsök förekommer bla begreppe upplösig och geerator. Förklara dessa begrepp. (p)

3 Fråga 4: (16p) Ett experimet utfördes för att udersöka skevhete på kopparplåtar. De två faktorer ma udersökte var temperature och mägde koppar i plåtara. Resposvariabel var ett mått på skevhete och fis agive för de olika kombiatioera av temperatur och kopparmägd i tabell 1. Ma gjorde två stycke replikat av varje försök. För att uderlätta beräkigara är vissa summor uträkade Summa av alla 3 observatioer är 669. Summa av kvadrate på alla observatioer är Radsummora fias agiva i tabelle tex 175 är summa av alla försök med temperature 50. Äve kolumsummora är agiva tex 14 är summa av alla försök med koppariehåll 40%. Tabell 1: Data till uppgift 4 Koppar iehåll (%) Temp Summa Summa a) Rita e samspelsgraf som illustrerar ett evetuellt samspel mella koppariehåll och temperatur. (p) b) Skriv upp e modell för dea typ av data. Age äve vilka förutsättigar som måste gälla för att beräkigara i variasaalyse ska gälla (variasaalyse ska göras i c). Dvs atagade som ska gälla för att dia beräkigar i c) uppgifte ska stämma. (p) c) Gör e ANOVA och testa för sigifikata effekter aväd sigifikasivå =0.05. Presetera e ANOVA tabell och age vilka faktorer och samspel som är sigifikata. (6p) d) Hur ka ma kotrollera förutsättigara? Beskriv hur ma gör du behöver ej geomföra det. (p) e) Gör två olika parvisa jämförelser för temperature. Är det skillad i resultatet (skevhete) mella temperatur 75 och 15? Är det skillad i resultatet (skevhete) mella 50 och 15? Aväd sigifikativå 0.05 för båda jämförelsera. (4p) 3

4 Fråga 5: (8p) Ett experimet gjordes för att se hur olika kemikalier påverkade blekige av pappersmassa. Fyra kemikalier valdes slumpmässigt ut frå e stor populatio av möjliga kemikalier. Resultatet av försöket fis i tabell. I Tabell 3 fis e ANOVA tabell för motsvarade data. Tabell : Data till uppgift 5 Kemikalie, A Massas ljushet Tabell 3: Data till uppgift 5 ANOVA Variatiosorsak SS df MS Kemikalie A Residual Totalt a) Förklara varför ma ska se faktor som slumpmässig här. (p) b) Skatta variatioe iom kemikalie. (p) c) Skatta variatioe för kemikalie. (p) d) Förklara skillade mella dia två skattigar i b) och c) i ord. Dvs vad är det du har beräkat i b) respektive c). (p) Fråga 6: (5p) Ma gjorde ett försök för att studera hur e faktor A påverkade e respos y. Ma hade 5 stycke ivåer på faktor A. Ma desigade försöket som ett blockförsök där ma hade 4 olika block. Totalt gjordes 0 stycke. I tabell 4 preseteras ANOVA tabelle för experimetet. Kolume med p är p-värdet. Tabell 4 : ANOVA till uppgift 6 Variatiosorsak SS df MS F p Faktor A Block Residual Total a) Vilke slutsats ka ma dra om behadligseffekte (faktor A)? (1p) b) Vilke slutsats ka ma dra om blockeffekte? (p) c) Vad bör ma täka på ved e upprepig av försöket? Utifrå svaret i b) (p) 4

5 Formelsamlig för Statistisk försöksplaerig HT15 Kotiuerliga Fördeligar Normal (x) = 1 1 σ π e (x μ σ E[X] = μ Var(X) = σ Expoetial f(x) = λe λx, x 0 E[X] = 1 Var(X) = 1 λ λ Diskreta Fördeligar Biomial Poissio Stickprovsvarias ), < x < p(x) = ( x ) px (1 p) x, = 0,1,, E[X] = p Var(X) = p(1 p) p(x) = e λ λ x, x = 0,1,. E[X] = λ x! Var(X) = λ s = i=1 (x i x ) 1 Sammavägd (Poolad) stickprovsvarias Kofidesitervall i=1 ) x i ( x i i=1 = 1 s p = ( 1 1)s 1 + ( 1)s 1 + X stokastisk variabel med okät vätevärde μ och käd varias σ. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för μ σ x z α/ μ x + z σ α/ X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för μ s x tα, 1 μ x + s tα, 1 X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för σ ( 1)s σ ( 1)s χα χ, 1 α 1, 1 Hypotestest X stokastisk variabel med okät vätevärde μ och käd varias σ Test statistika för test av vätevärde Z 0 = x μ 0 σ X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ. Test statistika för test av vätevärde t 0 = x μ 0 s X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ. Test statistika för test av varias χ 0 = ( 1)s σ 0 Test av hypoteser på μ 1-μ variase käd, ormalfördelade populatioer Z 0 = x 1 x Δ 0 Test av hypoteser på μ 1-μ i ormalfördelige variase okäd t 0 = x 1 x Δ 0 s p σ 1 1 +σ Test av lika varias för två oberoede ormal fördeligar H 0 : σ 1 = σ, H 1 : σ 1 < σ F 0 = s Förkastigs kriterium F 0 > F α, 1, 1 1 s 1 5

6 Lijära kotraster L = i h i μ i där i h i = 0 σ L = i h i y i Var(L ) = h i i Variasskattige är Var (L ) = h MS e i i i i L t = Var (L ) Evägs ANOVA (balaserad) Variatioskälla SS Df MS F 0 Faktor SS Faktor a-1 MS Faktor MS Faktor Error SSError a(-1) rror rror Total SS Total a-1 a SS Total = y ij y.. a i=1 j=1 SS Faktor = y i. a Evägs ANOVA med block (balaserad) Variatioskälla SS Df MS F 0 i=1 y.. a Faktor SS Faktor a-1 MS Faktor Block SS B b-1 MS Block MS Faktor rror MS Block rror Error SS Error (a-1)(b-1) rror Total SS Total ab-1 a b SS Total = y ij y.. a i=1 j=1 SS Faktor = y i. a b i=1 y.. b a b SS Block = y b.j j=1 y.. a a b Tvåvägs ANOVA (balaserad) Variatioskälla SS Df MS F 0 A SS A a-1 MS A = SS A a 1 B SS B b-1 MS B = SS B b 1 SS AB Samspel SS AB (a-1)(b-1) MS AB = (a 1)(b 1) Error SS E ab(-1) SS E = ab( 1) Total SS T ab-1 F 0 = MS A F 0 = MS B F 0 = MS AB a b i=1 j=1 y ab b y.j. j=1 y a ab SS T = k=1 y ijk SS B = SS A = y ij. y a i.. i=1 y b ab a b SS AB = i=1 j=1 y SS ab A SS B SS E = SS T SS A SS B SS AB Effekt = Kotrast k 1 SS = (Kotrast) k SS pure quadratic = F C (y F y C) F + C 6

7 Tvåvägs ANOVA med block (balaserad) Variatioskälla SS Df MS F 0 Block SS Block b-1 MS Block F 0 = MS Block A SS A a-1 MS A F 0 = MS A C SS C c-1 MS C F 0 = MS C AC SS AC (a-1)(c-1) MS AC F 0 = MS AC Error SS E (ac-1)(b-1) Total SS T abc-1 a b c i=1 j=1 y abc SS T = k=1 y ijk SS A = y a i.. i=1 y bc abc SS C = c y..k k=1 y ab abc SS B = SS Block = b y.j. j=1 y ac abc y i.k a c SS AC = i=1 k=1 y SS b abc A SS C E slumpmässig factor y ij = μ + a i + e ij i = 1,, a, j = 1,,, N = a a i ~ IND(0, σ A ) e ij ~ IND(0, σ e ) atar att a i och e ij är oberoede av varadra μ = y.. Det gäller att E[y.. ] = μ och att Var(y.. ) = σ A E[MS A ] = σ A + σ e och E[MS e ] = σ e Ekel lijär regressio + σ e a N Modell y = β 0 + β 1 x i + e Skattigar β 1 = b 1 = 1=1 (x i x )(y i y ) = x iy i x iy i 1=1 i 1=1(x i x ) ( x x i i i ) 1=1 och β 0 = b 0 = y b 1 x På matrisform β = (X X) 1 X y i ) SS T = i=1 (y i y ) = y i ( y i 1=1 SS x = SS Modell = (y i y ) b 1 i=1 (x i x ) SS E = (y i y i) = (e i) = SS T SS x i=1 R = SS Modell SS T s e SE b1 = (x i x ) i=1 i=1 Kofidesitervall för E[y x ] y = b 0 + b 1 x ± t (1 α, ) s e ( 1 Progositervall för y x : y = b 0 + b 1 x ± t (1 α, ) s e (1 + 1 (x x ) + i=1 (x i x ) (x x ) + i=1 (x i x ) ) ) i=1 = 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 1