Formelsamling. Enkel linjär regressionsananalys: Modell: y i = β 0 + β 1 x i + ε i. Anpassad regressionslinje: ŷ = b 0 + b 1 x. (x i x) (y i ȳ) ( x)2

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska istitutioe Statistik, ANd Formelsamlig Ekel lijär regressiosaaalys: Modell: y i β 0 + β x i + ε i ε N(0,σ. Apassad regressioslije: ŷ b 0 + b x b (x i x (y i ȳ (x i x 2 x i y i x ȳ xi 2 ( x2 x i y i ( x i ( y i xi 2 ( x i 2 b 0 ȳ b x Kvadratsummor: x i y i ( x i ( y i x 2 i ( x i 2 Total: SST (y i ȳ 2 y 2 i (ȳ2 y 2 i ( y i 2 Residual: SSE (y i ŷ i 2 (y i ȳ 2 b (x i x (y i ȳ y 2 i b 0 y i b x i y i Regressio: SSR (ŷ i ȳ 2 SST SSE Förekligsformler: Se ova för (y i ȳ 2 och samma ka avädas på (x i x 2 (x i x (y i ȳ x i y i x ȳ x i y i ( x i ( y i Obs!! (x i x (y i ȳ x i y i ( x i ( y i Dea variat aväds bara i uttryck för b och r då motsvarade variat aväds i ämare! Variasskattig σ 2 s 2 MSE SSE 2 s MSE SSE 2 Förklarigsgrad: r 2 SST SSR Korrelatioskoefficiet: r r 2 (x i x (y i ȳ (xi x 2 (y i ȳ 2 x i y i x ȳ ( xi 2 ( x2 ( y 2 i (ȳ2 Kofidesitervall, progositervall och hypotesprövig Stickprovsfördeligar: ( b N β, σ (xi x 2 ( b 0 N β 0,σ b 0 + b x 0 N + ( x2 (x i x 2 ( β 0 + β x 0,σ + (x 0 x 2 (x i x 2

2 Kofidesitervall för β : b ±t ( 2 s (xi x 2 Kofidesitervall för β 0 : ( + b 0 ±t ( 2 s ( x2 (x i x 2 Kofidesitervall för µ y0 x 0 β 0 + β x 0 : ( b 0 + b x 0 ±t ( 2 s + (x 0 x 2 (x i x 2 Progositervall för y 0 β 0 + β x 0 + ε 0 : ( b 0 + b x 0 ±t ( 2 s + + (x 0 x 2 (x i x 2 Formellt t-test av H 0 : β 0 0: Testfuktio: t b 0 s b0 Jämför med ±t ( 2 b 0 s ( + Formellt t-test av H 0 : β 0: Testfuktio: t b s b Jämför med ±t ( 2 b s (x i x 2 ( x2 (x i x 2 Formellt t-test av H 0 : β B ( B är ågot aat ä 0: Testfuktio: t b B s b b B s Jämför med ±t ( 2 (x i x 2 Vid ekelsidiga mothypotseser jämförs t med t ( 2 Formellt F-test av H 0 : β 0: Testfuktio: F MSE MSR SSR/ SSE/( 2 Jämför med F (, 2 Multipel lijär regressiosaaalys: Modell: y i β 0 + β x i + β 2 x i β k x ik + ε i ε i N(0,σ. Apassad modell: ŷ b 0 + b x + b 2 x b k x k (eller med -t ( 2 beroede på mothypoteses riktig.

3 Kvadratsummor: SSTSSE+SSR Total: SST (y i ȳ 2 y 2 i (ȳ2 y 2 i ( y i 2 Residual: SSE (y i ŷ i 2 Regressio: SSR (ŷ i ȳ 2 SST SSE SSE har k frihetsgrader, SSR har k frihetsgrader. Variasskattig: σ 2 s 2 MSE Förklarigsgrad: SSE k R 2 SSR SST Justerad förklarigsgrad: R 2 adj R2 SSE/( k SST/( Kofidesitervall och hypotesprövig Stickprovsfördeligar: b j N(β j,σ b j Formellt F-test av H 0 : β β 2... β k 0: Testfuktio: F MSE MSR SSR/k SSE/( k Jämför med F (k, k Kofidesitervall för β j : b j ±t ( k s b j s b j hämtas frå datorutskrift. Formellt t-test av H 0 : β j 0: Testfuktio: t b j s b j Jämför med t ( k Kofidesitervall för µ y0 x 0,...,x 0k : ŷ 0 ±t ( k s Distace value s MSE och Distace value (eller s Distace value bestäms frå datorutskrift. Progositervall för y 0 : ŷ 0 ±t ( k s + Distace value s MSE och Distace value (eller s + Distace value bestäms frå datorutskrift.

4 Partiellt F-test av H 0 : β g+... β k 0: Testfuktio: F (SSE R SSE C /(k g (SSR C SSR R /(k g SSE C /( k SSE C /( k SSE R Residualkvadratsumma i de midre (reducerade modelle och SSE C Residualkvadratsumma i de större (kompletta modelle. Jämför med F (k g, k. Variace Iflatio Factor (VIF: VIF R 2 j R 2 j Förklarigsgrade i modell x j är y-variabel och övriga x-variabler är förklarigsvariabler. Sekvetiella kvadratsummor: SSR SSR(x + SSR(x 2 x SSR(x k x,...,x k SSR(x j x,...,x j är tillskottet till SSR då variabel x j läggs till e modell med variablera x,x 2,...,x j. Ett partiellt F-test av H 0 : β g+... β k 0 ka då göras med testfuktioe F (SSR(x g+ x,...,x g + SSR(x g+2 x,...,x g SSR(x k x,...,x k /(k g MSE, Jämför med F (k g, k förutsatt att variablera matas i i ordige x,x 2,...,x k i modelle. Expoetiella sambad och elasticitetsmodeller: Expoetiell modell: y β 0 (β x δ logδ N(0,σ logy logβ 0 + (logβ x + logδ Apassad modell: ŷ b 0 (b x logb (x i x (logy i logy (x i x 2 x i logy i x logy xi 2 ( x2 x i logy i ( x i ( logy i xi 2 ( x x [ i logy i ( x i ( logy i i 2 x 2 i ( x i 2 logy ] logy i och logb 0 logy (logb x Kvadratsummor, variasskattig och test: SST (logy i logy 2 (logy i 2 (logy 2 SSE SST (logb (x i x (logy i logy SST (logb ( x i logy i x logy (logy i 2 (logb 0 logy i (logb x i logy i σ 2 SSE 2 Test av H 0 : β dvs iget sambad mella y och x logβ 0: SSE/( 2 (x i x 2 Testfuktio t logb, jämför med t ( 2

5 Elasticitetsmodeller: Q A (P EP δ, Q α (I EI δ Q A (P EP (I EI δ logq loga + E P logp + logδ logq loga + E I logi + logδ logq loga + E P logp + E I logi + logδ logδ N(0,σ Exempel på apassad modell: Q a (PÊP, Ê P (logp i logp (logq i logq (logp i logp 2 (logp i (logq i logp logq (logp i 2 (logp 2 och [ loga logq Ê P logp logp logp i och logq logq ] i Kvadratsummor, variasskattig och test: SST (logq i logq 2 (logq i 2 (logq 2 SSE SST Ê P (logp i logp (logq i logq SST Ê P [ (logp i (logq i logp logq ] (logq i 2 (loga logq i Ê P (logp i (logq i σ 2 SSE 2 Test av H 0 : E P B B är ett ifrågasatt värde på E P : Testfuktio t Idex Ê P B Sammasatta fastbasidex:, jämför med t SSE/( 2 (logp i logp 2 I t i,t w + i 2,t w i,t w ( 2 och vid ekelsidig mothypotes med t ( 2 eller t ( 2. är atalet igåede varor/tjäster, i,t,...,i,t är ekla prisidex för igåede varor, alla med basår t 0 och w,...,w väljs eligt ett viktsystem: Laspeyre: w i p i,t 0 q i,t0 j p j,t0 q j,t0 Paasche: w i p i,t 0 q i,t j p j,t0 q j,t Kedjeprisidex: I t L 0, L,2... L t,t 00 L t,t i p i,t p i,t w i,t,t är årsläke frå år t till t för igåede varor/tjäster. w i,t,t väljs eligt ett viktsystem: Laspeyre: w L Försäljigsvärdet för vara i år t i,t,t Totala försäljigsvärdet år t Paasche: w P i,t,t Försäljigsvärdet för vara i år t i priser för år t Totala försäljigsvärdet år t i priser för år t Med represetatvaror byts Försäljigsvärdet för vara i mot Försäljigsvärdet för varugrupp i i viktera.

6 Implicitprisidex: I t Försäljigsvärdet av vara/tjäste/gruppe år t i löpade priser Försäljigsvärdet av vara/tj aste/gruppe år t i basårets priser 00 Relativprisidex: It R Iv t It 0 00 It v Prisidex för aktuell vara/tjäst/grupp och It 0 Prisidex för de större jämförelsegruppe, t ex KPI. Tidsserieaalys Tidsserieregressio: Modell: y t TR t + SN t + ε t TR t β 0 + β t eller TR t β 0 + β t + β 2 t 2 och SN t L i β si x si,t med L Atal säsoger och x si,t om t tillhör säsog i och 0 aars. Durbi-Watso s test: Test av H 0 : Residualera är okorrelerade. Testfuktio d t2 (e t e t 2 t e2 t e t y t ŷ t. Jämförelser: Om d < d L,α/2 eller (4 d < d L,α/2 Förkasta H 0 Om d > d U,α/2 och (4 d > d U,α/2 Förkasta ej H 0 Om d L,α/2 d d U,α/2 och d L,α/2 (4 d d U,α/2 Iget uttalade ka ges Kompoetuppdelig: Modeller: Multiplikativ modell: y t TR t SN t CL t IR t Additiv modell: y t TR t + SN t + CL t + IR t Ekel expoetiell utjämig: Modell: y t β 0 + ε t Uppdaterigsschema för skattig av β 0 : l T α y T + ( α l T 0 < α < Progos: ŷ T +τ (T l T Progositervall: l t ± z s + α 2 z.96 för 95% itervall, för 99% itervall och s T T t (y t ȳ 2